第4章 四边形中常用辅助线 专题训练课件 2025--2026学年浙教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦八年级下册四边形中常用辅助线专题，涵盖平行四边形、矩形、菱形、正方形的辅助线作法，通过具体例题连接性质与判定定理，构建从基础到综合的学习支架。 其亮点在于结合“名师点拨”总结辅助线规律，如矩形作垂线构造直角三角形，菱形连接对角线等，培养学生几何直观与推理能力。例题从证明（如平行四边形OE与AD互相平分）到计算（如矩形阴影面积），帮助学生用数学语言规范表达，提升解题能力，也为教师提供系统教学资料。

八年级数学(下)——测试卷(二十四) 四边形中常用辅助线专题训练 一、平行四边形有关的辅助线作法 1．如图，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形． 求证：OE与AD互相平分． 1．证明：连结AE、OD， 因为四边形OCDE是平行四边形， 所以OC∥DE，OC＝DE，因为O是AC的中点，所以AO∥ED，AO＝ED，所以四边形AODE是平行四边形，所以AD与OE互相平分． 2．平行四边形的其中一个判定定理是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．请你证明这个判定定理． 已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC. 求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明： 2．证明：连接AC，如图所示： 可证△ABC≌△CDA(SSS)， ∴∠BAC＝∠DCA，∠ACB＝∠CAD，∴AB∥CD，BC∥AD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 3．如图，在△ABC中，E，F为AB上两点，AE＝BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证：ED＋FG＝AC. 3．证明：过点E作EH∥BC，交AC于H，因为ED∥AC，所以四边形CDEH是平行四边形，所以ED＝HC，又FG∥AC，EH∥BC，所以∠AEH＝∠B，∠A＝∠BFG，又AE＝BF，所以△AEH≌△FBG，所以AH＝FG，所以FG＋DE＝AH＋HC＝AC. 4．在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E.如图，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB＝AE.求证：ED－AG＝FC. 4．证明：作AQ⊥BE交DF的延长线于P，垂足为Q，连接PB，PE，∵AB＝AE，AQ⊥BE，∴∠ABE＝∠AEB，BQ＝EQ，∴PB＝PE，∴∠PBE＝∠PEB，∴∠ABP＝∠AEP，∵AB∥CD，AF⊥CD，∴AF⊥AB， ∴∠BAF＝90°，∵AQ⊥BE， ∴∠ABG＝∠FAP，可证△ABG≌△FAP(ASA)， ∴AG＝FP， ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴∠ABP＋∠BPC＝180°，∠BCP＝∠D，∵∠AEP＋∠PED＝180°， ∴∠BPC＝∠PED，可证△BPC≌△PED(AAS)，∴PC＝ED， ∴ED－AG＝PC－AG＝PC－FP＝FC. 二、与矩形有关的辅助线作法． 名师点拨　和矩形有关的题型一般有两种： (1)计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题； (2)证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题． 5．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD.若AE＝2，PF＝8.求图中阴影部分的面积． 6．如图，已知矩形ABCD内一点P，PA＝3，PB＝4，PC＝5.求PD的长． 6．过点P分别作两组对边的平行线EF，GH交AB于E，交CD于F，交BC于点H，交AD于G. 因为四边形ABCD是矩形， 所以PF2＝CH2＝PC2－PH2， DF2＝AE2＝AP2－EP2， PH2＋PE2＝BP2，所以PD2＝PC2－PH2＋AP2－EP2＝PC2＋AP2－PB2＝52＋32－42＝18， 7．如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长． 7．连接EG，∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝BC，AD∥BC，∵E为AD中点， ∴AE＝ED，易证△DEH≌△BGF， ∴BG＝DE，∴AE＝BG，AE∥BG， ∴四边形ABGE是平行四边形，∴AB＝EG，∵EG＝FH＝2，∴AB＝2， ∴菱形ABCD的周长＝8. 8．如图，点E，F，G，H分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA(不包括端点)上运动，且满足AE＝CG，AH＝CF. (1)求证：△AEH≌△CGF； (2)试判断四边形EFGH的形状，并说明理由． (3)请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由． 证明：(1)∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠C.可证△AEH≌△CGF(SAS)；　 (2)∵由(1)知，△AEH≌△CGF，则EH＝GF，同理证得△EBF≌△GDH，则EF＝GH， ∴四边形EFGH是平行四边形；　 (3)四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．理由如下：作G关于BC的对称点G′，连接EG′，可得EG′的长度就是EF＋FG的最小值． 连接AC，∵CG′＝CG＝AE，AB∥CG′， ∴四边形AEG′C为平行四边形，∴EG′＝AC. 在△EFG′中，∵EF＋FG′≥EG′＝AC， ∴四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度． 三、和菱形有关的辅助线的作法 名师点拨　和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题． 9．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，求DP的长． 10．如图，已知A，F，C，D四点在同一条直线上，AF＝CD，AB∥DE，且AB＝DE.若EF＝3，DE＝4，∠DEF＝90°，求当四边形EFBC为菱形时，AF的长度． 11．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF. (1)求证：▱ABCD是菱形； (2)若AB＝5，AC＝6，求▱ABCD的面积． 11．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∵BE＝DF，∴△AEB≌△AFD∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形； 12．如图，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证：EF＋BF的最小值等于DE长． 12．证明：连结BD，DF.因为AC，BD是菱形的对角线，所以AC垂直BD且平分BD，所以BF＝DF，所以EF＋BF＝EF＋DF≥DE，当且仅当F运动到DE与AC的交点G处时，上式等号成立，所以EF＋BF的最小值恰好等于DE的长． 四、正方形的有关辅助线 名师点拨　正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多．解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线． 13．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG. (1)写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由； (2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长． 13．(1)证明：连接GC，由正方形的性质知AD＝CD，∠ADG＝∠CDG，可证△ADG≌△CDG，∴AG＝CG，由题意知∠GEC＝∠GFC＝∠DCB＝90°， ∴四边形GFCE是矩形，∴GF＝EC. 在Rt△GEC中，根据勾股定理， 得GC2＝GE2＋EC2，∴AG2＝GE2＋GF2； 14．在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E，F满足BE＝DF，连接AE，AF，CE，CF，如图所示． (1)求证：△ABE≌△ADF； (2)试判断四边形AECF的形状， 并说明理由． 14．证明：(1)∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠ABE＝∠ADF，可证△ABE≌△ADF(SAS)； (2)连接AC，四边形AECF是菱形． 理由：∵正方形ABCD，∴OA＝OC， OB＝OD，AC⊥EF，∴OB＋BE＝OD＋DF，即OE＝OF，∵OA＝OC，OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形． 15．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E，F分别在AB，BC上(AE＜BE)，且∠EOF＝90°，OE，DA的延长线交于点M，OF，AB的延长线交于点N，连接MN. (1)求证：OM＝ON. (2)若正方形ABCD的边长 为4，E为OM的中点，求MN的长． 15．(1)∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，∴∠OAM＝∠OBN＝135°，∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠BON，∴△OAM≌△OBN(ASA)，∴OM＝ON； 5．作PM⊥AD于M，交BC于N. 则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC＝S△ABC， S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM， S△PFC＝S△PCN，∴S△DFP＝S△PBE＝ eq \f(1,2) ×2×8＝8， ∴S阴＝8＋8＝16. 所以PD＝3 eq \r(2) . 9．连接BD交AC于O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AB＝2，可求得AC＝2 eq \r(3) ，由旋转的性质得：AE＝AB＝2，∠EAG＝∠BAD＝60°，∴CE＝AC－AE＝2 eq \r(3) －2， ∵四边形AEFG是菱形，∴EF∥AG， ∴∠CEP＝∠EAG＝60°， ∴∠CEP＋∠ACD＝90°，∴∠CPE＝90°， ∴PE＝ eq \f(1,2) CE＝ eq \r(3) －1，PC＝ eq \r(3) PE＝3－ eq \r(3) ， ∴DP＝CD－PC＝2－(3－ eq \r(3) )＝ eq \r(3) －1. 10．如图，连接EB交AD于O.在Rt△EFD中， ∵∠DEF＝90°，EF＝3，DE＝4， ∴DF＝ eq \r(32＋42) ＝5，∵四边形EFBC是菱形， ∴BE⊥CF，∴EO＝ eq \f(DE·EF,DF) ＝ eq \f(12,5) ， ∴OF＝OC＝ eq \r(EF2－EO2) ＝ eq \f(9,5) ，∴CF＝ eq \f(18,5) ， ∴AF＝CD＝DF－FC＝5－ eq \f(18,5) ＝ eq \f(7,5) . (2)连接BD交AC于O.∵四边形ABCD是菱形， AC＝6，∴AC⊥BD，AO＝OC＝ eq \f(1,2) AC＝ eq \f(1,2) ×6＝3，∵AB＝5，AO＝3，∴BO＝ eq \r(AB2－AO2) ＝ eq \r(52－32) ＝4，∴BD＝2BO＝8， ∴S平行四边形ABCD＝ eq \f(1,2) ×AC×BD＝24. (2)作AH⊥BD于点H，由题意知∠AGB＝60°， ∠ABG＝45°，∴△ABH为等腰直角三角形， △AGH为含30°角的直角三角形，∵AB＝1， ∴AH＝BH＝ eq \f(\r(2),2) ，HG＝ eq \f(\r(6),6) ，∴BG＝ eq \f(\r(2),2) ＋ eq \f(\r(6),6) . (2)如图，过点O作OH⊥AD于点H， ∵正方形的边长为4，∴OH＝HA＝2， ∵E为OM的中点，∴HM＝4， 则OM＝ eq \r(22＋42) ＝2 eq \r(5) ，∴MN＝ eq \r(2) OM＝2 eq \r(10) . $