5.1 矩形（第2课时）（教学课件） 2025--2026学年浙教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦矩形判定定理，通过木工徒弟做门的生活情境导入，先复习矩形定义与性质，再引导学生从角和对角线角度探究判定方法，搭建旧知到新知的学习支架。 其特色是结合生活实例培养数学眼光，通过猜想证明发展数学思维，规范几何语言提升数学表达。如木工问题激发探究，证明过程强化推理，例题变式巩固应用。助力学生发展抽象能力与推理意识，为教师提供清晰教学流程和实用素材。

5.1 矩形 （第二课时） 第5章 特殊平行四边形 1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理. 2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题. 2 02 新知导入 问题1 矩形的定义是什么？ 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 问题2 矩形有哪些性质？ 矩形 边：对边平行且相等. 角：四个角都是直角. 对角线：对角线相等且互相平分. 一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟.一天，师傅有事外出，两徒弟就自己 练习.他们各用一块四边形的废料做了一扇矩形式的门，做成之后，两人都说对方 做的门不是矩形，而自己做的是矩形. 大徒弟说：“我用角尺量我做的门的任意三个角，发现他们都是直角，所以我做 的这个门一定是矩形”. 二徒弟说：“我用直尺量我做的门的两组对边和两条对角线，发现它们的长度相 等，所以我做的门一定是矩形”. 根据它们的对话，你能肯定他们做的门一定是矩形吗？ 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°. 证明：∵ ∠A=∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°. ∴AD∥BC，AB∥CD. 求证：四边形ABCD是矩形. ∴四边形ABCD是平行四边形. D B C A ∴四边形ABCD是矩形. 大徒弟做的门是矩形吗？ 03 新知讲解 问题3 你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？ 定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°， ∴四边形ABCD是矩形. 思考：你还有其他的判定方法吗？ A B C D 02 新知讲解 我们知道，矩形是四个角都是直角的四边形，它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？ 思考 逆命题：四个角都是直角的四边形是矩形. 成立. 至少有几个角是直角的四边形是矩形？ 一个直角 两个直角 三个直角 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形. 新课探究 提出问题：我们知道矩形的四个角都是直角。那么，反过来，一个四边形至少需要有几个角是直角，才能保证它是矩形呢？ 显然当一个四边形只有1个直角或2个直角的时候不是矩形 那么，当一个四边形有三个直角的时候是否为矩形呢？ 探究 1：从角的角度判定 新知探究 当有三个角是直角时，根据四边形内角和为360°，第四个角必然也是90° 探究 1：从角的角度判定 判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。 几何语言：在四边形ABCD中， ∵ ∠A = ∠B = ∠C = 90°， ∴ 四边形ABCD是矩形。 判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言： ∵四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°， ∴四边形ABCD是矩形. D B C A ∴△ADC≌△BCD(SSS). ∴∠ADC=∠BCD， 又∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠ADC=90°， ∴四边形ABCD是矩形.(有一个角是直角的平行四边形是矩形) 已知：在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，AC=BD. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：∵AB=CD，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AC=BD，AD=BC，DC=CD， 二徒弟做的门是矩形吗？ 02 新知讲解 证明：有三个角是直角的四边形是矩形. 如图，在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,求证：四边形ABCD是矩形. 证明:∵∠A=∠B=∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°. ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形. A B C D 03 新知探究 矩形的判定定理： 有三个角是直角的四边形是矩形． 符号语言表示： ∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴四边形ABCD是矩形. A B C D 新知探究 我们知道矩形的对角线相等。那么，对角线相等的四边形一定是矩形吗？ 探究 2：从“对角线”的角度判定 追问：如果这个四边形首先是平行四边形，再加上对角线相等这个条件，它会是矩形吗？ 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形。 同桌之间交流沟通一下，看能否给出证明？ 新知探究 已知：如图所示，在▱ABCD中，AC=BD。求证：▱ABCD是矩形。 探究 2：从“对角线”的角度判定 证明：如图所示,在□ABCD中，AB=CD。 ∵AC=DB,BC=CB, ∴△ABC≌△DCB,所以∠ABC=∠DCB。 ∵AB//CD, ∴∠ABC+∠DCB=180°,得∠ABC=×180°=90°。 所以▱ABCD是矩形(矩形的定义)。 定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。 判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言： ∵在□ABCD中，AC=BD， ∴□ABCD是矩形. 例1.已知：如图，M为▱ABCD的AD边上的中点，且MB=MC. 求证：▱ABCD是矩形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD. ∵AM=DM，MB=MC， ∴△ABM≌△DCM. ∴∠A=∠D. ∵AB∥CD， ∴∠A+∠D=180°. ∴∠A=90°，∴▱ABCD是矩形. 02 新知讲解 证明：对角线相等的平行四边形是矩形。 已知：如图，在▱ABCD中，AC＝BD。 求证：▱ABCD是矩形。 分析：要证明▱ABCD是矩形，只要证明其中一个角是直角，这可以通过证明一组邻角相等得到。 A B C D O 证明：如图，在▱ABCD中，AB＝CD。 又因为AC＝DB，BC＝CB， 所以△ABC≌△DCB， 所以∠ABC＝∠DCB。 因为AB∥CD， 所以∠ABC＋∠DCB＝180°， 得∠ABC＝×180°＝90°。 所以▱ABCD是矩形（矩形的定义）。 03 新知探究 矩形的判定定理： 对角线相等的平行四边形是矩形. D C A B O 符号语言表示： ∵四边形ABCD是平行四边形,且AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形. 典例分析 例题1. 如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM=CM,∠1=∠2.求证：▱ABCD为矩形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD,∠A+∠D=180°. 在△ABM和△DCM中， ∴△ABM≌△DCM(SAS), ∴∠A=∠D, 又∠A+∠D=180°,∴∠A=∠D=90°, ∴▱ABCD为矩形. 变式训练 如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，延长AB至点F，使得BF=AB，连接DF、AE、BD，DF=2AC，求证：四边形ABDE是矩形 证明：∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AC=CD,BC=CE, ∴四边形ABDE是平行四边形. DF=2AC=AC+CD=AD,且AB=BF,∴BD⊥AF, 即∠ABD=90°, ∴四边形ABDE是矩形. 例2.一张四边形的纸板ABCD的形状如图，它的两条对角线互相垂直. 若要从这张纸板中剪出一个矩形，并使它的四个顶点分别落在四边形 ABCD的四条边上，可怎么剪？ D A C B 03 新知讲解 例2 如图，一张四边形纸板 ABCD 的两条对角线互相垂直。若要从这张纸板中剪出一个矩形，并使它的四个顶点分别落在四边形 ABCD的四条边上，可怎样剪？ 因为AC⊥BD， 所以EF⊥BD。 因为EH是△ABD的一条中位线， 所以EH∥BD， 所以EF⊥EH，即∠HEF＝90°。 同理，∠EHG＝90°，∠HGF＝90°。 所以四边形EFGH是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）。 典例分析 例题2.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点M，P，N，Q分别在OA，OB，OC，OD上，连接而成的四边形MPNQ是矩形， 且AM=BP=CN=DQ，求证：四边形ABCD是矩形. 解：四边形MPNQ是矩形OM=OP=ON=OQ AM=BP=CN=DQ ∴OA=OB=OC=OD 四边形ABCD是平行四边形，AC=BD平行四边形ABCD是矩形. 课堂小结 矩形的判定方法 方法一：定义判定法（最基础） ·条件：有一个角是直角的平行四边形。 ·结论：是矩形。 方法二：对角线判定法 ·条件：对角线相等的平行四边形。 ·结论：是矩形。 方法三：直角判定法（针对四边形） ·条件：有三个角是直角的四边形。 ·结论：是矩形。 矩形的判定方法： 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形(定义)； 有三个角是直角的四边形是矩形(矩形的判定定理1)； 对角线相等的平行四边形是矩形(矩形的判定定理2). 05 课堂小结 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 运用定理进行计算和证明 矩形的判定 判定定理 $