期末暑期基础巩固复习卷2025～2026学年沪教版五四制七年级数学下学期

**基本信息** 立足沪教版七年级下册第15-18章，以《天工开物》桔槔装置、节约用水阶梯收费等真实情境为载体，融合几何直观、模型意识与推理能力，实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|平行线性质、垂线段最短、内错角识别|结合几何概念辨析，考查抽象能力| |填空题|12/24|不等式解集、三角形计数、动态全等条件|融入传统文化情境，考查空间观念| |解答题|7/64|不等式组求解、尺规作图、阶梯水费模型、动态三角形全等|阶梯收费问题体现模型意识，动态探究题发展推理能力|

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：：沪教版（五四制）七年级下册考试范围第15~18章：一元一次不等式、相交线与平行线、三角形、等腰三角形。 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．下列命题中，真命题是（　　） A．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．垂线段最短 D．连接两点之间的线段叫两点间的距离 【答案】C 【来源】重庆市北碚区西南大学附属中学校2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题 【知识点】两直线平行同位角相等、垂线段最短、两点间的距离、判断命题真假 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据平行线的性质、平行公理、垂线段最短及两点间的距离判断即可． 【详解】解：A、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，本选项说法是假命题； B、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，本选项说法是假命题； C、连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，本选项说法是真命题； D、连接两点之间的线段的长度叫两点间的距离，本选项说法是假命题； 故选：C． 2．若，则下列结论不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江西省九江市2025--2026学年度八年级下学期阶段性评估二数学试卷 【知识点】不等式的性质 【分析】不等式的基本性质：1、不等式两边同时加上或者减去相同的数，不等式的符号不变；2、不等式两边同时乘上或者除以相同的正数，不等式的符号不变；3、不等式两边同时乘上或者除以相同的负数，不等式的符号改变；据此进行逐一判断各选项，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴ ，故该选项不符合题意； B、∵，∴，故该选项不符合题意； C、∵ ，∴，原结论不成立，故该选项符合题意； D、∵，∴，则，故该选项不符合题意； 3．《天工开物》中记载我国古代的提水工具“桔槔（）”，它是由竖立的架子和一根细长的杠杆组成．如图是“桔槔”的简易装置图，图中与是内错角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】2026年6月 福建厦门市海沧区九年级 第三次阶段测试数学卷 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，根据定义判断即可． 【详解】解：图中与是内错角的是． 4．在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（   ） A．16 B．8 C．16或8 D．8或4 【答案】A 【来源】重庆市第一中学校2024-2025学 年七年级下学期数学期中试题（一实） 【知识点】根据三角形中线求长度、其他问题(二元一次方程组的应用)、构成三角形的条件 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、中线的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，，则，再分且和且两种情况分别列出一元一次方程求解并运用三角形的三边关系判断即可解答． 【详解】解：设，则， 当且时，即，解得：， ∴，， ∵， ∴能组成三角形，即符合题意； 当且时，即，解得：； ∴，， ∵， ∴三边不能组成三角形，即不符合题意； 综上，的长是16． 故选A． 5．下列图形中，是全等图形的是（　　） A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c 【答案】D 【来源】河北省唐山市迁西县2024-2025学年上学期期中八年级数学学业评估试题 【知识点】图形的全等 【分析】本题考查了全等图形的定义，掌握全等的定义是解题的关键．根据全等形的定义：能够完全重合的两个图形是全等形对各图形进行判断． 【详解】解：考虑三角形的阴影，图形顺时针旋转可得到图形， 因此，与是全等图形， 故选：D． 6．如图（1），锐角中，，要用尺规作图的方法在边上找一点D，使为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（    ）    A．甲、乙、丙都正确 B．甲、丙正确，乙错误 C．甲、乙正确，丙错误 D．只有甲正确 【答案】A 【来源】2023年河北省石家庄市藁城区中考二模数学试题 【知识点】作垂线(尺规作图)、尺规作一个角等于已知角、等腰三角形的定义、作等腰三角形(尺规作图) 【分析】根据圆、线段垂直平分线、角的尺规作图进行分析即可． 【详解】解：甲图：以点A为圆心，为半径作弧，交于点D， ∴， ∴为等腰三角形， 乙图：作的垂直平分线，交于点D， ∴， ∴为等腰三角形， 丙图：∵所作的， ∴， ∴是等腰三角形， ∴甲、乙、丙都正确， 故选A． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义、尺规作图−圆、角、垂直平分线，熟练掌握等腰三角形的判定与圆、角和线段垂直平分线的基本作图的方法是解题的关键． 二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分） 7．关于的不等式的解集是，则的取值范围是______． 【答案】 【来源】江西省九江市第三中学2024-2025学年八年级下学期3月数学校本专项训练 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的解集．关键是通过观察不等式的解集，由不等式性质2，判断x的系数的符号．由不等式的基本性质2：不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变．可判断的符号，再求a的取值范围． 【详解】解：由不等式，解集为， 可知，不等号方向没有改变， 由不等式性质2，得， 解得， 故答案为：． 8．如图，图中三角形的个数为________；以为边的三角形是____________，以为一个内角的三角形是________；在中，的对边是________． 【答案】 ，， ，， 【来源】第9章 9.1 1.课时1 认识三角形 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的相关概念． 根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形可得图中三角形的个数；根据组成三角形的线段叫做三角形的边；根据相邻两边组成的角叫做三角形的内角进行分析． 【详解】图中的三角形有、、、、、，共个；以为边的三角形有、、，以为一个内角的三角形是、、；中的对边是 故答案为：；；；． 9．如图，直线，线段分别与，交于点D，C，过点B作，交直线于点A．若，则的度数是______． 【答案】 【来源】2025年广东省广州市从化区中考数学一模试卷 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的性质等知识．由垂直关系及可求得的度数，由平行线的性质可求得的度数． 【详解】解：∵，， ∴； ∵， ∴， 故答案为：． 10．如图，在长方形中，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为__________秒时，和全等． 【答案】1或7 【来源】北京市丰台二中教育集团2023-2024学年八年级上学期期中数学试题 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据题意可得当点P在上时，只有这种情况，当点P在上时，由于此时不是直角三角形，故此种情况不存在，当点P在上时，只有这种情况，根据全等三角形的性质求出点P的运动路程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 当点P在上时，若和全等，则只有这种情况， ∴， ∴； 当点P在上时，由于此时不是直角三角形，故此种情况不存在， 当点P在上时，同理可得只有这种情况， ∴， ∴点P的运动路程为， ∴； 综上所述，当t的值为1秒或7时，和全等． 故答案为：1或7． 11．命题“周长相等的两个三角形的面积相等”的条件是______，结论是______．该命题的逆命题是______，这个逆命题是______命题． 【答案】 两个三角形周长相等 它们的面积相等 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形的周长相等 假 【来源】第12章单元测试卷 七年级数学下册苏科版2024 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题、写出命题的题设与结论 【分析】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．解答本题的关键是熟练掌握命题由题设和结论两部分组成．其中题设是已知的条件，结论是由题设推出的结果． 根据“其中题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项”即可写出条件和结论；根据逆命题就是交换原命题的题设和结论即可写出逆命题；由于面积相等的三角形可以作无数个，但是周长不一定相等，即可判断逆命题的真假性． 【详解】解：命题“周长相等的两个三角形的面积相等”的条件是：两个三角形周长相等； 结论是：它们的面积相等； 该命题的逆命题是：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形的周长相等； 这个逆命题是假命题， 故答案为：两个三角形周长相等；它们的面积相等；如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形的周长相等；假． 12．如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为_____． 【答案】5 【来源】河北省石家庄市2026年初中学业水平摸底练习（九年级）数学 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】根据等腰三角形定义，构成三角形三边关系分情况讨论即可． 【详解】解：①当，在中，， 在中，， ∴此时； ②当，在中，，不符合三边关系， ∴此种情况舍去； 综上，的长为5． 13．如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为______． 【答案】11 【来源】湖南省长沙市一中教育集团2019-2020学年八年级12月月考数学试题 【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，利用轴对称解决线段和最小问题．连接，的周长为，为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到关于对称，得到，当三点共线时，，最小，进行求解即可． 【详解】解：∵的周长为，为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 连接， ∵的垂直平分线为， ∴关于对称， ∴， ∴当三点共线时，， ∵等腰，点为底边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为； 故答案为：． 14．某商场计划购进甲、乙两种商品共100件．甲种商品每件进价15元，乙种商品每件进价35元，且购进两种商品的总费用不超过2700元，则购进甲种商品不少于______件． 【答案】40 【来源】第十一章 不等式与不等式组 基础过关检测卷 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查不等式的实际应用，设购进甲种商品为件，根据购进两种商品的总费用不超过2700元，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：设购进甲种商品为件，则购进乙种商品件，由题意，得： ， 解得：； 答：购进甲种商品不少于40件； 故答案为：40． 15．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为______． 【答案】 【来源】下册期末综合测试卷（四） 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先解不等式组，根据不等式组无解进行计算即可解答．熟练掌握不等式组无解是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得：， 由不等式②得：， 不等式组无解， ， 故答案为：． 16．如图所示的“画图仪”由两根有轨道槽的木条组成，两根木条在点Q处相连并可绕点Q转动．另有长度与相等的两根木条，其中木条的一端S固定在木条上的相应位置，木条可绕点S转动，分别调整点M和点T在相应轨道槽中的位置可改变的大小．若小华同学在某次借助“画图仪”画图时，摆出的位置恰好满足：，则此时________． 【答案】 【来源】北京市西城区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷 【知识点】等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，可得为等边三角形，再利用，求得即可解答，熟知等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， 为等边三角形， ， ， ， , ， ， 故答案为：． 17．如图，△ABC是等边三角形，且，点D在边BC上，连按AD，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接DE，BE．则△BED的周长最小值是_________． 【答案】/ 【来源】福建省福州市福州立志中学2021-2022学年九年级上学期期末数学试题 【知识点】线段问题(旋转综合题)、等边三角形的判定和性质、旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】根据旋转可得AD=AE， ∠DAE=60°，进而得出△ADE为等边三角形，则DE=AD，根据“SAS”可证△ACD≌△ABE，可得CD=BE，而△BED的周长为BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD，当AD⊥BC时，AD最小， △BED的周长最小，然后求出AD的最小值即可解答． 【详解】解：∵线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE， ∴AD=AE，∠DAE=60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴DE=AD， ∵△ABC是等边三角形，AB=4， ∴AB=AC，∠BAC=60°，BC=AB=4， ∴∠BAC=∠DAE， ∴∠CAD=∠BAE， ∴△ACD≌△ABE， ∴CD=BE， ∴△BED的周长为BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD， ∴当AD最小时，△BED的周长最小， 当AD⊥BC，时，AD最小， 过A作AM⊥BC于M， ∴BM=BC=2， ∴AM=， ∴AD的最小值为， ∴△BED的周长最小值是4+． 故答案为：4+． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，将求△BED的周长最小值转化求AD的最小值是解题的关键． 18．如图，．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点出发沿射线运动．若经过秒后同时停止，当与全等时，则点的运动速度是_____________． 【答案】或 【来源】四川省巴中市2024-2025学年下学期七年级数学期末试题（北师大版） 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，注意分类讨论． 设点的运动速度为，分两种情况：①当时，则，即；②当时，则，，即，，求解即可． 【详解】解：设点的运动速度为，则，，， ， 分两种情况：①当时， ∴， ∴，； 解得：，； ②当时，则， ∴，， 解得：，． 综上，点的运动速度是或． 故答案为：或． 三、解答题（共7小题，满分64分） 19．（5分）解不等式组： 【答案】 【来源】2024年北京市中考数学试题 【知识点】求不等式组的解集 【分析】先求出每一个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”确定不等式组的解集． 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 20．（5分）如图，．求的度数． 【答案】． 【来源】河南省周口市西华县部分学校2025-2026学年七年级上学期1月期末数学试题 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题解题关键是通过同位角相等判定两直线平行，再结合对顶角相等与平行线的同旁内角互补性质求解角度，体现了平行线判定与性质的综合运用． 【详解】解：， ． ． ． ， ． 21．（8分）如图，已知，． (1)尺规作图：在线段的上方作交射线于点，使（要求：不写作法，不下结论，保留作图痕迹）． (2)在（1）问条件下，试说明：．请将下列解题过程补充完整． 证明：∵（已知）， ∴（①________）， ∵，， ∴②________（③________）， 在与中， ∴（⑤________）， ∴， ∴（⑥________）． 【答案】(1)作图见解析 (2)①两直线平行，内错角相等；②；③同角的补角相等；④；⑤；⑥内错角相等，两直线平行 【来源】重庆市第一中学校2024-2025学年七年级下学期阶段性消化作业数学试题 【知识点】尺规作一个角等于已知角、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、同(等)角的余(补)角相等的应用、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查尺规作图作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握作图的方法，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质是解题的关键． （1）利用尺规作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）利用平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质进行推理即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：∵（已知）， ∴（①两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴②（③同角的补角相等）， 在与中， ， ∴（⑤）， ∴， ∴（⑥内错角相等，两直线平行）． 故答案为：①两直线平行，内错角相等；②；③同角的补角相等；④；⑤；⑥内错角相等，两直线平行． 22．（10分）2025年上期，郴州市某学校为落实国家教育“双减”政策，增加学生的体育活动，决定购买一批体育用品．若购买100个足球和40个篮球需要4000元，购买50个足球和90个篮球需要5500元． (1)求每个足球、篮球的价格是多少元？ (2)如果需要购买足球、篮球共40个，且足球的个数不少于32个，总费用达到或超过980元，请问有几种购买这两种体育用品的方案？ 【答案】(1)每个足球和篮球的价格分别是20元、50元 (2)共有三种购买方案，他们分别是：方案一：购买32个足球和8个篮球；方案二：购买33个足球和7个篮球；方案三：购买34个足球和6个篮球． 【来源】湖南省郴州市部分学校2024-2025学年度七年级下期期中考试数学 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、不等式组的经济问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每个足球和篮球的价格分别是元、元，根据“购买100个足球和40个篮球需要4000元，购买50个足球和90个篮球需要5500元”列出方程组，进一步求解即可得出答案； （2）设其中购买足球个，则购买足球个，根据“足球的个数不少于32个，总费用达到或超过980元”列不等式组求出的范围，结合为正整数可得答案． 【详解】（1）解：设每个足球和篮球的价格分别是元、元，依题意得： ， 解得：， ∴每个足球和篮球的价格分别是20元、50元． （2）解：设其中购买足球个，则购买足球个， 根据题意得：， 解得：， 由题意得：取整数， ∴的值为32、33或34， ∴共有三种购买方案，他们分别是： 方案一：购买32个足球和8个篮球； 方案二：购买33个足球和7个篮球； 方案三：购买34个足球和6个篮球． 23．（10分）如图，已知：，点D在边上，且． (1)求证：； (2)如果O为中点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】江苏省海安市海陵中学2021~2022学年第一学期八年级上数学期末模拟试卷 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、三线合一、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）先根据角的和差运算得到，结合已知条件即可利用证得结论； （2）根据全等三角形对应边和对应角相等，可知为等腰三角形，然后根据等边对等角、三线合一以及三角形内角和定理，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵O点为中点， ∴． 24．（12分）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【来源】考点05 用一元一次不等式解决问题（8大题型）（专项训练）数学新教材苏科版七年级下册 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、不等式组的阶梯收费问题、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 25．（14分）如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AB＝8cm，AC＝BD＝6cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段BD上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也同时停止运动，设运动的时间为ts． （1）如图1，若点Q的速度与点P的速度相同，则当t＝1s时，△ACP与△BPQ是否全等？请说明理由； （2）在（1）的条件下，判断此时PC和PQ之间的位置关系，并说明理由； （3）如图2，将原题中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠A＝∠B＝60°”，其他条件不变．设点Q的速度为xcm/s，则是否存在满足题意的x，使得以点A，C，P为顶点的三角形与以点B，P，Q为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的x，t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）△ACP与△BPQ全等，理由见解答过程； （2）PC⊥PQ，理由见解答过程； （3）x＝2cm/s，t＝1s或x＝3cm/s，t＝2s． 【分析】（1）当t＝1s时，AP＝BQ＝2cm，进而得AC＝BP＝6cm，再根据AC⊥AB，BD⊥AB即可依据“SAS”判定△ACP与△BPQ全等； （2）根据△ACP与△BPQ全等得∠C＝∠BPQ，再根据∠C+∠APC＝90°及邻补角定义得∠CPQ＝90°，由此即可得出PC和PQ之间的位置关系； （3）依题意得：AP＝2tcm，BQ＝xtcm，进而得BP＝AB﹣AP＝（8﹣2t）cm，再分两种情况讨论如下：①当AC＝BP，AP＝BQ时，则△ACP≌BPQ，由AC＝BP得6＝8﹣2t，由此解得t＝1，由AP＝BQ得2t＝xt，由此解得x＝2；②当AC＝BQ，AP＝BP时，则△ACP≌△BQP，由AP＝BP得2t＝8﹣2t，由此解得t＝2，由AC＝BQ得6＝xt，将t＝2代入可得x＝3，综上所述即可得出答案． 【解答】解：（1）△ACP与△BPQ全等，理由如下： ∵AC⊥AB，BD⊥AB ∴∠A＝∠B＝90° 当t＝1s时，AP＝2t＝2cm，BQ＝2t＝2cm， ∴AP＝BQ＝2cm， ∵AB＝8cm， ∴BP＝AB﹣AP＝8﹣2＝6cm， 又∵AC＝6cm， ∴AC＝BP＝6cm， 在△ACP与△BPQ中， ， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）； （2）PC和PQ之间的位置关系是：PC⊥PQ，理由如下： ∵△ACP≌△BPQ ∴∠C＝∠BPQ， 在△ACP中，∠C+∠APC＝90°， ∴∠BPQ+∠APC＝90°， 由邻补角定义得：∠CPQ＝180°﹣（∠BPQ+∠APC）＝90°， ∴PC⊥PQ； （3）存在． 依题意得：AP＝2tcm，BQ＝xtcm， ∵AB＝8cm，AC＝BD＝6cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（8﹣2t）cm， ∵∠A＝∠B＝60°， ∴当以点A，C，P为顶点的三角形与以点B，P，Q为顶点的三角形全等时， 有以下两种情况： ①当AC＝BP，AP＝BQ时，△ACP≌BPQ（SAS）， 由AC＝BP，得：6＝8﹣2t， 解得：t＝1， 由AP＝BQ，得：2t＝xt， 解得：x＝2， 此时相应的x，t的值为x＝2cm/s，t＝1s； ②当AC＝BQ，AP＝BP时，△ACP≌△BQP（SAS）， 由AP＝BP，得：2t＝8﹣2t， 解得：t＝2， 由AC＝BQ，得：6＝xt， 将t＝2代入6＝xt，得：x＝3， 此时相应的x，t的值为x＝3cm/s，t＝2s， 综上所述：出相应的x，t的值为x＝2cm/s，t＝1s或x＝3cm/s，t＝2s． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 试卷第22页，共23页 试卷第23页，共23页 学科网（北京）股份有限公司 $苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危先乡笔 2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 (考试时间：90分钟试卷满分：100分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：：沪教版（五四制）七年级下册考试范围第15~18章：一元一次不等 式、相交线与平行线、三角形、等腰三角形。 一.选择题（共6小题，满分12分，每小题2分) 1.下列命题中，真命题是() A.经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B.两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C.垂线段最短 D.连接两点之间的线段叫两点间的距离 2.若a>b,则下列结论不成立的是() a b A.a-1>b-1B.3>3 C.-2a>-2b D.2-a<2-b 3.《天工开物》中记载我国古代的提水工具“桔槔(jigāo)”,它是由竖立的架子和 一根细长的杠杆组成.如图是“桔槔”的简易装置图，图中与∠I是内错角的是() 试卷第1页，共23页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危先乡笔 支点 重物 水桶 A.∠2 B.∠3 c.∠4 D.∠5 4.在△ABC中，AB=AC,AB边上的中线CD把△ABC的周长分成24和12的两部分，则 AB的长是() A.16 B.8 C.16或8 D.8或4 5.下列图形中，是全等图形的是() A.a,b,c,dB.a与b C.b,c,d D.a与c 6.如图(1)，锐角△ABC中，AB>BC>AC,要用尺规作图的方法在AB边上找一点 D,使△ACD为等腰三角形，关于图(2)中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确 的是() D B 丙 图1 图2 A.甲、乙、丙都正确 B.甲、丙正确，乙错误C.甲、乙正确， 丙错误 D.只有甲正确 试卷第2页，共23页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田兔先乡笔 二.填空题（共12小题，满分24分，每小题2分） 7.关于r的不等式a-r>a-1 的解集是x>1,则的取值范围是 8.如图，图中三角形的个数为 以AB为边的三角形是 以上C为 一个内角的三角形是 ;在△ADE中，∠ADE的对边是 9.如图，直线 ∥，线段BC分别与，交于点D,C,过点B作AB1BC,交直线l 于点A.若∠BAD=20°，则∠BCE的度数是 D -l2 10.如图，在长方形ABCD中，AB=4,AD=6.延长BC到点E,使CE=2,连接DE, 动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P的运动 时间为t秒，当t的值为. 秒时，△ABP和△DCE全等. A B 11.命题“周长相等的两个三角形的面积相等”的条件是一，结论是 该命题 的逆命题是 ,这个逆命题是命题. 12.如图，△ABC和△ADC如图所示放置，当△ABC为等腰三角形时，AC的长为一· B 13.如图，等腰△ABC的底边BC长为6.面积是24，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、 试卷第3页，共23页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危先乡笔 AC于点E、F,若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长 的最小值为一 ! 的垂直平分线为， AB EF ,A,B关于EF对称， .BM+DM=AM+DM≥AD, 当A,M,D三点共线时，BM+DM=AD, ,等腰△ABC,点D为底边BC的中点， :AD⊥BC,BD=BC=3 2 S.mc=BC.AD=x64D=24. 2 2 .AD=8, ∴.△BDM的周长的最小值为BD+BM+DM=BD+AD=3+8=11: 故答案为：11. 14.某商场计划购进甲、乙两种商品共100件.甲种商品每件进价15元，乙种商品每件进 价35元，且购进两种商品的总费用不超过2700元，则购进甲种商品不少于件. x+4≥7 15.若关于x的不等式组x<a无解，则a的取值范围为 16.如图所示的“画图仪”由两根有轨道槽的木条QP,QR组成，两根木条在点Q处相连 试卷第4页，共23页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 巴危先乡笔 并可绕点Q转动.另有长度与QS相等的两根木条MS,MT，其中木条MS的一端S固定在 木条QP上的相应位置，木条MS可绕点S转动，分别调整点M和点T在相应轨道槽中的位 置可改变∠PQR的大小.若小华同学在某次借助“画图仪”画图时，摆出的位置恰好满足： ST=SM,则此时∠TMR= S ▣R M 17.如图，△ABC是等边三角形，且AB=4,点D在边BC上，连按AD,将线段AD绕点 A顺时针旋转6O°，得到线段AE,连接DE,BE.则△BED的周长最小值是 D C 18.如图，AB=9cm,BC=12cm,∠B=∠C.如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B 点向C点运动，同时点Q从C点出发沿射线CD运动.若经过t秒后同时停止，当△ABP与 cm/s △CQP全等时，则点的运动速度是 D B 三、解答题（共7小题，满分64分） 试卷第5页，共23页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危先乡笔 3(x-1)<4+2x, 19.(5分)解不等式组： x-9 5 <2x. 20.(5分)如图，∠1=48°，∠2=48，∠3=78°.求∠4的度数. 21.(8分)如图，已知CA=DE,AC∥DE. (I)尺规作图：在线段ED的上方作∠DEF交射线BD于点F,使∠DEF=∠A(要求：不 写作法，不下结论，保留作图痕迹)· (2)在(1)问条件下，试说明：AB∥EF.请将下列解题过程补充完整. 证明：：AC∥DE(已知)， :ZACD=ZEDC :∠ACB+∠ACD=180°，∠EDF+∠EDC=180°， ∴.∠ACB=② (③)， 在△ABC与△EFD中， ∠A=∠DEF ④ ∠ACB=∠EDE ∴.△ABC≌△EFD(⑤ ∴.∠B=∠EFD, .AB∥EF(⑥ 22.(10分)2025年上期，郴州市某学校为落实国家教育“双减”政策，增加学生的体育 活动，决定购买一批体育用品.若购买100个足球和40个篮球需要4000元，购买50个足 试卷第6页，共23页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危先乡笔 球和90个篮球需要5500元. (1)求每个足球、篮球的价格是多少元？ (2)如果需要购买足球、篮球共40个，且足球的个数不少于32个，总费用达到或超过980 元，请问有几种购买这两种体育用品的方案？ 23.(10分)如图，己知：∠A=∠E,AB=EB,点D在AC边上，且∠ABE=∠CBD E D O (L)求证：△EBD≌△ABC: (2)如果O为CD中点，∠BDE=65°，求∠OBD的度数. 24.(12分)为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费.水价分三个等级：第一级为 月用水量17m3以下（包括17m3);第二级为月用水量超过17m但不超过30m;第三级为 月用水量超过30m(不包括30m),下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水 消费明细（不完整）· 居民生活用水消费明细 计费日期2025-7-1至2025-7-31 自来水费 污水处理费 单价 单价 用水量/m 金额/元 用水量/m3 金额/元 1(元m3) 1(元/m3) 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） (注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费) 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为423，且7月份的用水量超过6月份，但不超 过6月份的2倍. (I)设该居民7月份的用水量为xm,求x的取值范围： 试卷第7页，共23页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危先乡笔 (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元： (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量. 25.(14分)如图，已知ACLAB,BD⊥AB,AB=8cm,AC=BD=6cm,点P在线段 AB上以2c/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段BD上由点B向点D运动，当 其中一点到达终点时，另一点也同时停止运动，设运动的时间为s。 (1)如图1，若点Q的速度与点P的速度相同，则当t=1s时，△ACP与△BPQ是否全等？ 请说明理由； (2)在(1)的条件下，判断此时PC和PQ之间的位置关系，并说明理由； (3)如图2，将原题中的“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠A=∠B=60°”，其他条件不变 设点Q的速度为cms,则是否存在满足题意的x,使得以点A,C,P为顶点的三角形与 以点B,P,Q为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的×，t的值；若不存在，请说明理 由 D B 图1 图2 试卷第8页，共23页