爪形三角形的研究课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦解三角形核心考点，围绕中线、角平分线、高线三大几何量，对接高考评价体系中“逻辑推理”“数学运算”考查要求，通过梳理近五年高频题型，明确中线长度计算、角平分线面积最值、高线范围求解等占比超60%的常考方向，构建“定理推导-例题解析-变式应用”的系统复习框架。 课件亮点在于“问题驱动+素养导向”的备考设计，如例2结合角平分线定理与三角恒等变换求面积最大值，培养学生数学思维与数学语言表达能力。特设“易错点警示”（如忽视锐角三角形角范围）和“解题模板”（等面积法求高），助力学生掌握边角互化、不等式求最值技巧，教师可依托此课件实现考点精准突破，提升复习效率。

爪形三角形的研究 1.中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 推导过程：在△ABD中，cos B＝，在△ABC中，BC＝2BD，cos B＝，联立得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 2．在△ABC中，AD平分∠BAC交边BC于D，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. (1)角的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD． (2)内角平分线定理：＝. (3)等面积法：因为S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，所以c·AD sin ＋b·AD sin ＝bc sin A，所以(b＋c)AD＝2bc cos ，整理得AD＝（角平分线长公式）. ①设h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝∶∶＝∶∶. ②求高一般采用等面积法，即求某边上的高，一般求出面积和该边的长度． 高的两个作用：产生直角三角形；与三角形的面积相关． 探究点1　三角形的中线问题 【例1】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a sin C＝c sin B，C＝. (1)求B的大小； (2)若△ABC的面积为，求BC边上的中线的长． 【解析】(1)因为a sin C＝c sin B，所以sin A sin C＝sin C sin B．因为0<C<π，所以sin C>0，所以sin A＝sin B．因为0<A<π，0<B<π，所以A＝B或A＋B＝π（舍去），因为A＋B＋C＝π，且C＝，所以B＝. (2)依题意得＝ab sin C，因为A＝B，所以a＝b，所以＝a2sin ＝，所以a＝b＝.由正弦定理，得c＝＝3.设BC的中点为D，连接AD，由AD2＝(AB2＋AC2＋2AB·AC cos ∠CAB)，解得AD＝. 【变式】已知a，b，c分别为锐角三角形ABC的三个内角A，B，C的对边，且cos B＋sin B＝. (1)求A； (2)若a＝，D为BC的中点，求中线AD的取值范围． 【解析】(1)因为A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，所以C＝π－(A＋B)，sin B≠0，根据正弦定理可得cos B＋sin B＝，即sin A cos B＋sin A sin B＝sin B＋sin C，所以sin A cos B＋sin A·sin B＝sin B＋sin (A＋B)，所以sin A cos B＋sin A sin B＝sin B＋sin A cos B＋cos A sin B，整理得sin A－cos A＝1，即sin ＝，又A∈，所以A－＝，所以A＝. (2)因为D为BC的中点，所以＝（＋），两边平方，得2＝（＋）2＝（2＋2＋2·）＝(c2＋b2＋bc)，在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－bc，即b2＋c2＝3＋bc，所以2＝(3＋2bc)＝＋bc，在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝＝2， 所以b＝2sin B，c＝2sin C，所以bc＝4sin B sin C＝4sin B sin ＝2sin B·cos B＋2sin2B＝2sin＋1，因为△ABC为锐角三角形，所以0<B<且0<－B<，解得<B<，所以<2B－<，所以<sin ≤1，所以<2≤，所以中线AD的取值范围是. 探究点2　三角形的角平分线问题 【例2】已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c cos A＋c sin A＝b. (1)求角C的大小； (2)若c＝2，角A与角B的平分线相交于点D，求△ABD面积的最大值． 【解析】(1)因为c cos A＋c sin A＝b，所以sin C cos A＋sin C sin A＝sin B＝sin (A＋C)，所以sin C cos A＋sin C sin A＝sin A·cos C＋sin C cos A，所以sin C sin A＝sin A·cos C，又0<A<π，所以sin A>0，所以sin C＝cos C，所以tan C＝＝，由0<C<π，得C＝. (2)由题意知∠CAB＋∠CBA＝，∠DAB＋∠DBA＝(∠CAB＋∠CBA)＝，所以∠ADB＝，设∠DAB＝α，所以∠ABD＝－α，因为0<2α<，且∠ABC＝π－－2α＝－2α，所以0<－2α<，所以α∈.在△ABD中，由正弦定理＝，得＝，所以AD＝sin ， 所以S△ABD＝AB·AD·sin α＝×2×sin sin α＝sin α＝2sin αcos α－sin2α＝sin2α－·＝sin 2α＋cos 2α－＝－＝sin －，因为α∈，所以2α＋∈，所以sin ∈，所以sin －∈，即S△ABD∈，所以△ABD面积的最大值为. 【变式】（漳州二检）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足a＝2cos B·(b cos C＋c cos B). (1)求角B的大小； (2)已知点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，BD＝2，求a＋c的最小值． 【解析】(1)由正弦定理得sin A＝2cos B(sin B·cos C＋sin C cos B)＝2cos B·sin (B＋C)＝2cos B sin A．因为sin A≠0，所以cos B＝.又B∈(0，π)，所以B＝. (2)因为BD是∠ABC的平分线，所以∠ABD＝∠CBD＝.又S△ABC＝S△BCD＋S△ABD，所以ac sin ＝a·2·sin ＋c·2`sin ，化简得ac＝a＋c，所以＋＝，所以a＋c＝(a＋c)＝≥＝，当且仅当a＝c＝时取等号，所以a＋c的最小值为. 探究点3　三角形的高线问题 【例3】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b cos A＝a cos C＋c cos A． (1)求∠A； (2)若a＝，求BC边上的高AD的最大值． 【解析】(1)因为2b cos A＝a cos C＋c cos A，所以2sin B cos A＝sin A cos C＋sin C cos A，即2sin B·cos A＝sin (A＋C)＝sin B，又因为sin B>0，所以cos A＝，因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)由(1)可知A＝，又a＝，且a2＝b2＋c2－2bc cos A，所以3＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，所以bc≤3，当且仅当b＝c＝时取等号，所以S△ABC＝bc sin A≤×3×＝，所以S△ABC＝a×AD≤，所以AD≤，当且仅当b＝c＝时取等号，所以BC边上的高AD的最大值为. 【变式】已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c sin A－a cos ＝0. (1)求角C的大小； (2)若c＝，求AB边上的高的取值范围． 【解析】(1)由题意可知c sin A－a cos ＝0，所以sin C sin A－sin A sin ＝0，因为sin A>0，所以sin C－sin ＝0，所以2sin cos －sin ＝0，又sin >0，所以cos ＝，又C∈，所以＝，所以C＝. (2)设AB边上的高为h，则S△ABC＝c·h＝h且S△ABC＝ab sin C＝ab，所以h＝ab，所以h＝ab.由正弦定理得a＝2sin A，b＝2sin B，又A＋B＝π－C＝π，所以h＝ab＝·2sin A·2sin B＝2sin A sin B＝2sin A sin ＝sin A·cos A＋sin2A＝sin2A＋＝sin ＋，因为△ABC为锐角三角形，所以解得<A<，所以<2A－<π，所以1<h≤，所以AB边上的高的取值范围是. $