2027年高考数学一轮复习优质课件导数部分第❸课时　利用导数研究函数零点问题（全国通用）

该高中数学高考复习课件聚焦“导数的综合应用——利用导数研究函数零点问题”，覆盖函数零点个数判断和由零点个数求参数两大核心考点，依据高考评价体系梳理单调性讨论、极值分析等关键考查要求，归纳“讨论单调性求极值”“分离参数构函数”等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题融入与应试技巧指导，如以2021年全国甲卷真题为例，通过“数形结合定交点”“构造函数求最值”等方法突破考点，培养学生数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念），助力学生掌握解题技巧，教师可据此系统开展复习教学，提升备考效率。

第三章　导数及其应用 第三节　导数的综合应用 第❸课时　利用导数研究函数零点问题 目 录 01 关键能力 精准突破 考点1　函数零点的个数 （精研通） 【例1】 已知函数 f （ x ）＝e x － ax （ a ∈R）. （1）讨论函数 f （ x ）的单调性； （2）当 a ＝2时，求函数 g （ x ）＝ f （ x ）－ cos x 在（－ ，＋∞）上的零 点个数. 解：（1） f （ x ）＝e x － ax ，其定义域为R，f'（ x ）＝e x － a ， ①当 a ≤0时，因为f'（ x ）＞0，所以 f （ x ）在R上单调递增， 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 ②当 a ＞0时，令f'（ x ）＞0得 x ＞ln a ，令f'（ x ）＜0得 x ＜ln a ，所以 f （ x ）在 （－∞，ln a ）上单调递减，（ln a ，＋∞）上单调递增， 综上所述：当 a ≤0时， f （ x ）在R上单调递增；当 a ＞0时， f （ x ）在（－∞，ln a ）上单调递减，（ln a ，＋∞）上单调递增. （2）已知得 g （ x ）＝e x －2 x － cos x ， x ∈（－ ，＋∞），则g'（ x ）＝e x ＋ sin x －2. ①当 x ∈（－ ，0）时，因为g'（ x ）＝（e x －1）＋（ sin x －1）＜0，所以 g （ x ）在（－ ，0）上单调递减，所以 g （ x ）＞ g （0）＝0，所以 g （ x ）在（－ ，0）上无零点； 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 ②当 x ∈［0， ］时，因为g'（ x ）单调递增，且g'（0）＝ －1＜0，g'（ ）＝ －1＞0，所以存在 x0∈（0， ），使g'（ x0）＝0. 当 x ∈（0， x0）时，g'（ x ）＜0；当 x ∈（ x0， ）时，g'（ x ）＞0. 所以 g （ x ）在[0， x0）上单调递减，在（ x0， ］上单调递增，且 g （0）＝0，所 以 g （ x0）＜0， 又因为 g （ ）＝ －π＞0，所以 g （ x0）· g （ ）＜0，所以 g （ x ）在（ x0， ）上存在一个零点， 所以 g （ x ）在［0， ］上有两个零点； 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 ③当 x ∈（ ，＋∞）时，g'（ x ）＝e x ＋ sin x －2＞ －3＞0，所以 g （ x ）在（ ，＋∞）单调递增，因为 g （ ）＞0，所以 g （ x ）在（ ，＋ ∞）上无零点； 综上所述， g （ x ）在（－ ，＋∞）上的零点个数为2个. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 对于含参函数的零点个数，一般可从两个方面讨论： （1）利用导数研究函数的单调性和极值，作出函数的大致图象，根据极大值和极 小值的符号确定函数零点的个数，即“几个交点几个根，正负极值定乾坤”； （2）分离参数，将问题转化为求直线 y ＝ a 与函数 y ＝ f （ x ）的图象交点个数问 题，即“求根问题要通变，分离参数放左边”. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 　设函数 f （ x ）＝ln x ＋ ， m ∈R. （1）当 m ＝e（e为自然对数的底数）时，求 f （ x ）的极小值； （2）讨论函数 g （ x ）＝f'（ x ）－ 零点的个数. 解：（1）由题意知，当 m ＝e时， f （ x ）＝ln x ＋ （ x ＞0），则f'（ x ）＝ ，∴当 x ∈（0，e）时，f'（ x ）＜0， f （ x ）在（0，e）上单调递减，当 x ∈ （e，＋∞）时，f'（ x ）＞0， f （ x ）在（e，＋∞）上单调递增，∴当 x ＝e时， f （ x ）取得极小值 f （e）＝ln e＋ ＝2，∴ f （ x ）的极小值为2. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 （2）由题意知 g （ x ）＝f'（ x ）－ ＝ － － （ x ＞0），令 g （ x ）＝0，得 m ＝－ x3＋ x （ x ＞0）. 设φ（ x ）＝－ x3＋ x （ x ≥0），则φ'（ x ）＝－ x2＋1＝－（ x －1）（ x ＋1）. 当 x ∈（0，1）时，φ'（ x ）＞0，φ（ x ）在（0，1）上单调递增；当 x ∈（1，＋ ∞）时，φ'（ x ）＜0，φ（ x ）在（1，＋∞）上单调递减.∴ x ＝1是φ（ x ）的唯一 极值点，且是极大值点，∴ x ＝1也是φ（ x ）的最大值点，∴φ（ x ）的最大值为φ （1）＝ . 又φ（0）＝0，则结合 y ＝φ（ x ）的大致图象（如图）可知， 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 ①当 m ＞ 时，函数 g （ x ）无零点； ②当 m ＝ 时，函数 g （ x ）有且只有一个零点； ③当0＜ m ＜ 时，函数 g （ x ）有两个零点； ④当 m ≤0时，函数 g （ x ）有且只有一个零点. 综上，当 m ＞ 时，函数 g （ x ）无零点；当 m ＝ 或 m ≤0时，函数 g （ x ）有且 只有一个零点；当0＜ m ＜ 时，函数 g （ x ）有两个零点. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 考点2　由函数零点个数求参数问题 （精研通） 【例2】 （2021·全国甲卷）已知 a ＞0且 a ≠1，函数 f （ x ）＝ （ x ＞0）. （1）当 a ＝2时，求 f （ x ）的单调区间； （2）若曲线 y ＝ f （ x ）与直线 y ＝1有且仅有两个交点，求 a 的取值范围. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 解：（1）当 a ＝2时， f （ x ）＝ （ x ＞0），f'（ x ）＝ ＝ （ x ＞0）， 令f'（ x ）＝0，得 x ＝ ，当0＜ x ＜ 时，f'（ x ）＞0，当 x ＞ 时，f'（ x ） ＜0， ∴函数 f （ x ）在（0， ］上单调递增；在［ ，＋∞）上单调递减. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 （2） f （ x ）＝ ＝1⇔ ax ＝ xa ⇔ x ln a ＝ a ln x ⇔ ＝ . 设函数 g （ x ）＝ （ x ＞0），则g'（ x ）＝ . 令g'（ x ）＝0，得 x ＝e， 在（0，e）上g'（ x ）＞0， g （ x ）单调递增；在（e，＋∞）上g'（ x ）＜0， g （ x ）单调递减. ∴ g （ x ）max＝ g （e）＝ . 又 g （1）＝0，当 x 趋近于＋∞时， g （ x ）趋近于0， 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 ∴曲线 y ＝ f （ x ）与直线 y ＝1有且仅有两个交点，即曲线 y ＝ g （ x ）与直线 y ＝ 有两个交点的充分必要条件是0＜ ＜ ，即 g （1）＜ g （ a ）＜ g （e），结合 g （ x ）的单调性可知1＜ a ＜e或 a ＞e. ∴ a 的取值范围是（1，e）∪（e，＋∞）. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合”，即通过函数的单 调性确定函数图象与 x 轴的交点个数，或两个相关函数图象的交点个数确定参数满 足的条件，“先形后数”求得参数的取值范围. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 　已知函数 f （ x ）＝e2 x ＋（1－2 a ）e x － ax （ a ∈R）. （1）讨论 f （ x ）的单调性； （2）若 f （ x ）在定义域内至多有一个零点，求 a 的取值范围. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 解：（1）由题意，函数 f （ x ）的定义域为R， f'（ x ）＝2e2 x ＋（1－2 a ）e x － a ＝（2e x ＋1）（e x － a ）. 当 a ≤0时，f'（ x ）＞0， f （ x ）在R上为增函数； 当 a ＞0时，令f'（ x ）＝0，即e x － a ＝0，解得 x ＝ln a ， 当 x ∈（－∞，ln a ）时，f'（ x ）＜0， f （ x ）在（－∞，ln a ）上为减函数， 当 x ∈（ln a ，＋∞）时，f'（ x ）＞0， f （ x ）在（ln a ，＋∞）上为增函数. 综上，当 a ≤0时， f （ x ）在R上为增函数；当 a ＞0时， f （ x ）在（－∞，ln a ） 上为减函数，在（ln a ，＋∞）上为增函数. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 （2）由（1）知，当 a ≤0时，函数 f （ x ）在R上为增函数，所以 f （ x ）在定义域 上至多有一个零点，符合题意. 当 a ＞0时，由（1）知， f （ x ）在（－∞，ln a ）上单调递减，在（ln a ，＋∞） 上单调递增， 所以 f （ x ）min＝ f （ln a ）＝ a2＋（1－2 a ） a － a ln a ＝ a － a2－ a ln a . 因为 f （ x ）在R上至多有一个零点，则满足 f （ x ）min≥0，即1－ a －ln a ≥0. 设 g （ a ）＝ln a ＋ a －1， a ＞0，则g'（ a ）＝ ＋1＞0， 所以 g （ a ）在（0，＋∞）上单调递增，且 g （1）＝0，由 g （ a ）≤0，得0＜ a ≤1.即 f （ x ）min≥0时，可得0＜ a ≤1.综上，实数 a 的取值范围是（－∞，1]. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 谢谢观看！ $