2027年高考数学一轮复习优质课件导数部分第❶课时　利用导数研究恒（能）成立问题（全国通用）

该高中数学高考复习课件聚焦“导数的综合应用——恒（能）成立问题”核心考点，依据高考评价体系梳理了分离参数法、等价转化法、存在成立问题三大考查方向，分析了其作为压轴题的高权重地位，归纳了求参数范围等常考题型，体现备考的针对性与实用性。 课件亮点在于“考点精研+方法提炼+针对训练”的系统设计，如通过例1分离参数法构造函数求最值，培养学生数学思维与逻辑推理能力，提炼“构造函数-求导分析-最值判定”解题流程。针对训练贴合高考难度，助力学生掌握答题技巧，教师可据此高效开展专题复习，提升备考效率。

第三章　导数及其应用 第三节　导数的综合应用 第❶课时　利用导数研究恒（能）成立问题 目 录 CONTENTS 01 关键能力 精准突破 　　恒成立问题与有解问题是高考数学的重要知识，其中不等式恒成立问题经常与 导数及其几何意义、函数、方程等知识相交汇，综合考查学生分析问题、解决问题 的能力，一般作为压轴题出现，难度略大. 考点1　分离参数法求参数范围 （精研通） 【例1】 已知函数 f （ x ）＝ x ln x ，若对于所有 x ≥1都有 f （ x ）≥ ax －1，求实 数 a 的取值范围. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 解：依题意，得 f （ x ）≥ ax －1在[1，＋∞）上恒成立， 即不等式 a ≤ln x ＋ 在 x ∈[1，＋∞）恒成立，亦即 a ≤（ln x ＋ ）min， x ∈[1， ＋∞）. 设 g （ x ）＝ln x ＋ （ x ≥1）， 则g'（ x ）＝ － ＝ . 当 x ≥1时，有g'（ x ）≥0，故 g （ x ）在[1，＋∞）上是增函数.所以 g （ x ）在 [1，＋∞）上的最小值是 g （1）＝1. 故 a 的取值范围是（－∞，1]. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路 用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数的正负的情况 下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量 表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 　已知函数 f （ x ）＝ x （ln x ＋ a ）＋ b ，曲线 y ＝ f （ x ）在点（1， f （1））处 的切线为2 x － y －1＝0. （1）求 a ， b 的值； （2）若对任意的 x ∈（1，＋∞）， f （ x ）≥ m （ x －1）恒成立，求正整数 m 的 最大值. 解：（1）由 f （ x ）＝ x （ln x ＋ a ）＋ b ，得f'（ x ）＝ln x ＋ a ＋1. 由切线方程可知， f （1）＝2－1＝1，∴f'（1）＝ a ＋1＝2， f （1）＝ a ＋ b ＝1， 解得 a ＝1， b ＝0. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 （2）由（1）知 f （ x ）＝ x （ln x ＋1）， 则 x ∈（1，＋∞）时， f （ x ）≥ m （ x －1）恒成立等价于 x ∈（1，＋∞）时， m ≤ 恒成立. 令 g （ x ）＝ ， x ＞1， 则g'（ x ）＝ . 令 h （ x ）＝ x －ln x －2，则h'（ x ）＝1－ ＝ ， ∴当 x ∈（1，＋∞）时，h'（ x ）＞0， h （ x ）单调递增. ∵ h （3）＝1－ln 3＜0， h （4）＝2－2ln 2＞0， 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 ∴∃ x0∈（3，4），使得 h （ x0）＝0， 当 x ∈（1， x0）时，g'（ x ）＜0， x ∈（ x0，＋∞）时，g'（ x ）＞0，∴ g （ x ） min＝ g （ x0）＝ . ∵ h （ x0）＝ x0－ln x0－2＝0，∴ln x0＝ x0－2， ∴ g （ x ）min＝ g （ x0）＝ ＝ x0∈（3，4）， ∴ m ≤ x0∈（3，4），即正整数 m 的最大值为3. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 考点2　等价转化法求参数范围 （精研通） 【例2】 已知函数 f （ x ）＝ln x － ax ， a ∈R. （1）求函数 f （ x ）的单调区间； （2）若不等式 f （ x ）＋ a ＜0在 x ∈（1，＋∞）上恒成立，求 a 的取值范围. 解：（1）函数 f （ x ）的定义域为（0，＋∞），f'（ x ）＝ － a . ①当 a ≤0时，f'（ x ）＞0恒成立，则 f （ x ）的单调递增区间是（0，＋∞），无单 调递减区间. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 ②当 a ＞0时，由f'（ x ）＞0，得0＜ x ＜ ；由f'（ x ）＜0，得 x ＞ . 所以 f （ x ）的单调递增区间是（0， ），单调递减区间是（ ，＋∞）. （2） f （ x ）＋ a ＜0在 x ∈（1，＋∞）上恒成立，即ln x － a （ x －1）＜0在 x ∈ （1，＋∞）上恒成立. 设 g （ x ）＝ln x － a （ x －1）， x ＞0，则g'（ x ）＝ － a ，且 g （1）＝0. ①当 a ≥1时，g'（ x ）＜0在 x ∈（1，＋∞）上恒成立， 则 g （ x ）在 x ∈（1，＋∞）上单调递减，所以 g （ x ）＜ g （1）＝0，即 a ≥1时 满足题意. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 ②当0＜ a ＜1时，由（1）知， g （ x ）在（1， ）上单调递增，所以当 x ∈（1， ）时， g （ x ）＞ g （1）＝0， 即0＜ a ＜1时不满足题意（舍去）. ③当 a ≤0时，由（1）知， g （ x ）在（1，＋∞）上单调递增，所以 g （ x ）＞ g （1）＝0，即 a ≤0时不满足题意（舍去）. 综上，实数 a 的取值范围是[1，＋∞）. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 等价转化法求参数范围的思路 遇到 f （ x ）≥ g （ x ）型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造 “左减右”的函数 h （ x ）＝ f （ x ）－ g （ x ）或“右减左”的函数 u （ x ）＝ g （ x ）－ f （ x ），进而只需满足 h （ x ）min≥0或 u （ x ） max≤0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围 较广，但是往往需要对参数进行分类讨论. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 　已知函数 f （ x ）＝（ x ＋ a －1）e x ， g （ x ）＝ x2＋ ax ，其中 a 为常数. （1）当 a ＝2时，求函数 f （ x ）在点（0， f （0））处的切线方程； （2）若对任意的 x ∈[0，＋∞），不等式 f （ x ）≥ g （ x ）恒成立，求实数 a 的取 值范围. 解：（1）因为 a ＝2，所以 f （ x ）＝（ x ＋1）e x ， f （0）＝1， 则f'（ x ）＝（ x ＋2）e x ，所以f'（0）＝2， 所以所求切线方程为2 x － y ＋1＝0. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 （2）令 h （ x ）＝ f （ x ）－ g （ x ），由题意得 h （ x ）min≥0在 x ∈[0，＋∞）上 恒成立. 因为 h （ x ）＝（ x ＋ a －1）e x － x2－ ax ， 所以h'（ x ）＝（ x ＋ a ）（e x －1）. ①若 a ≥0，则当 x ∈[0，＋∞）时，h'（ x ）≥0，所以函数 h （ x ）在 [0，＋∞） 上单调递增， 所以 h （ x ）min＝ h （0）＝ a －1，则 a －1≥0，得 a ≥1. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 ②若 a ＜0，则当 x ∈[0，－ a ）时，h'（ x ）≤0； 当 x ∈（－ a ，＋∞）时，h'（ x ）＞0. 所以函数 h （ x ）在[0，－ a ）上单调递减，在（－ a ，＋∞）上单调递增，所以 h （ x ）min＝ h （－ a ）. 又因为 h （－ a ）＜ h （0）＝ a －1＜0，所以不合题意. 综上，实数 a 的取值范围为[1，＋∞）. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 考点3　不等式存在成立问题 （精研通） 【例3】 已知函数 f （ x ）＝ x － a ln x ， g （ x ）＝－ （ a ∈R）.若在[1，e]上 存在一点 x0，使得 f （ x0）＜ g （ x0）成立，求 a 的取值范围. 解：依题意，只需[ f （ x0）－ g （ x0）]min＜0， x0∈[1，e]即可. 令 h （ x ）＝ f （ x ）－ g （ x ）＝ x － a ln x ＋ ， x ∈[1，e]， 则h'（ x ）＝1－ － ＝ ＝ . 令h'（ x ）＝0，得 x ＝ a ＋1. ①当 a ＋1≤1，即 a ≤0时，h'（ x ）≥0， h （ x ）单调递增， h （ x ）min＝ h （1） ＝ a ＋2＜0，得 a ＜－2. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 ③当 a ＋1≥e，即 a ≥e－1时， h （ x ）在[1，e]上单调递减，则 h （ x ）min＝ h （e）＝e－ a ＋ ＜0， 得 a ＞ ＞e－1成立，所以 a ＞ . 综上， a 的取值范围为（－∞，－2）∪（ ，＋∞）. ②当1＜ a ＋1＜e，即0＜ a ＜e－1时， h （ x ）在[1， a ＋1）上单调递减，在（ a ＋ 1，e]上单调递增， 故 h （ x ）min＝ h （ a ＋1）＝（ a ＋1）－ a ln（ a ＋1）＋1＝ a [1－ln（ a ＋1）]＋ 2＞2， a ∈（0，e－1）与 h （ x ）＜0不符合，故舍去. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 1. 含参数的能成立（存在型）问题的解题方法 a ≥ f （ x ）在 x ∈ D 上能成立，则 a ≥ f （ x ）min； a ≤ f （ x ）在 x ∈ D 上能成 立，则 a ≤ f （ x ）max. 2. 含全称量词、存在量词不等式能成立问题 （1）存在 x1∈ A ，对任意 x2∈ B 使 f （ x1）≥ g （ x2）成立，则 f （ x ）max≥ g （ x ）max； （2）任意 x1∈ A ，存在 x2∈ B ，使 f （ x1）≥ g （ x2）成立，则 f （ x ）min≥ g （ x ）min. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 　设函数 f （ x ）＝2ln x － mx2＋1. （1）讨论函数 f （ x ）的单调性； （2）当 f （ x ）有极值时，若存在 x0，使得 f （ x0）＞ m －1成立，求实数 m 的取值 范围. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 解：（1）函数 f （ x ）的定义域为（0，＋∞），f'（ x ）＝ －2 mx ＝ ， 当 m ≤0时，f'（ x ）＞0，∴ f （ x ）在（0，＋∞）上单调递增； 当 m ＞0时，令f'（ x ）＞0，得0＜ x ＜ ， 令f'（ x ）＜0，得 x ＞ ，∴ f （ x ）在（0， ）上单调递增，在（ ，＋∞） 上单调递减. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 （2）由（1）知，当 f （ x ）有极值时， m ＞0，且 f （ x ）在（0， ）上单调递 增，在（ ，＋∞）上单调递减. ∴ f （ x ）max＝ f （ ）＝2ln － m · ＋1＝－ln m . 若存在 x0，使得 f （ x0）＞ m －1成立，则 f （ x ）max＞ m －1，即－ln m ＞ m －1， ln m ＋ m －1＜0成立. 令 g （ x ）＝ x ＋ln x －1（ x ＞0）. ∵g'（ x ）＝1＋ ＞0， ∴ g （ x ）在（0，＋∞）上单调递增，且 g （1）＝0， ∴0＜ m ＜1. ∴实数 m 的取值范围是（0，1）. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 $