精品解析：天津市第四中学2025-2026学年高二下学期数学学科阶段检测题

高二年级数学学科阶段检测 一、单选题：本题共9小题，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据并集及补集运算求解即可. 【详解】由已知得，全集， 故． 故选：C 2. 设，，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】充分性证明:当 ①若,则有,于是; ②若,则有于是; ③若,则有,于是,因为,,所以有成立. “”是“”的充分条件. 必要性证明:当 (1)若时，由，可得，则，于是; (2) 时，由，可得，则，于是; (3)若,,则有,于是; (4)若 , ,则有,满足条件,于是成立; (5)若 ,,则不成立,不满足条件; (6)若 , ,由,可得,即,所以有. “”是“”的必要条件. 综上所述,“”是“”的充要条件. 3. 已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性、单调性排除选项求解 【详解】由图可知，关于原点中心对称，且不是上的单调函数； 对于B，是偶函数，不符合，排除B； 对于C， 的定义域不含 ，不符合，排除C； 对于D，由复合函数的单调性知是单调递增函数，排除D； 所以A正确. 4. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数 在上单调递增，由,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数在上连续单调递增， 且, 所以函数的零点在区间内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续. 5. 若函数在区间内有极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，依题意可得在区间内有零点，参变分离可得，根据对勾函数的性质求出的取值范围，即可得到的取值范围，最后检验 时不符合题意，即可得解. 【详解】函数，， 若函数在区间上有极值点， 则在区间内有零点， 由可得， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，， 当 时，，不符合题意， 所以实数的取值范围是. 故选：C． 6. 定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知可得是周期函数，可将自变量，转化到，再利用奇函数对称性，即可求解 【详解】依题意，，所以， 所以为周期函数，周期为4. 又， . 故选:B. 【点睛】本题考查函数的性质，利用函数周期性和奇偶性求函数值，属于中档题. 7. 已知幂函数，在上单调递增．若 ，， ，则，，大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数运算法则，对数函数、指数函数单调性及已知比较大小. 【详解】 ，， 而 ， ，因此 ， 又幂函数在上单调递增，则 ， 所以 大小关系是 . 8. 已知满足．若为增函数，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将中的由来替代，与原式联立求，由此可得，结合导数与函数的单调性的关系可得恒成立，利用基本不等式求得的最大值可得结论. 【详解】将中的由来替代，得到， 联立， 消去两个式子中的得到． 令， ， 则，解得． 又（当且仅当时，等号成立）， . 故选：D． 9. 已知函数，若有另一函数有且仅有3个不同零点，则常数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分段函数的图象，来分析二次方程根的分布，最后利用根的分布可列参数满足的不等式，并进行求解即可. 【详解】作出函数的图象： 函数的零点等价于方程， 当 时，此时方程化为可得， 由，结合图象，可得方程仅有2个解，此时不满足题意；故 ； 当时，此时方程化为可得 或， 由 可得方程有一个解为， 由，结合图象，可得方程有个解，此时不满足题意；故； 所以要使得函数有且仅有3个不同零点，则满足， 由于 所以二次方程的根仅有一个满足 ，另一个根， 则满足或，解得， 综上的取值范围为， 故选：D 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10. ______． 【答案】0 【解析】 【详解】 . 11. 函数的单调递减区间为______． 【答案】 【解析】 【分析】令，根据定义域，可得x的范围，根据二次函数的性质，可得的单调区间，根据复合函数单调性“同增异减”的原则，分析即可得答案. 【详解】令，由题意得，解得， 且为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以当时，单调递增， 当时，单调递减， 因为为单调递减函数，根据复合函数单调性“同增异减”的原则， 所以的单调递减区间为. 故答案为： 12. 已知实数，且，则 的最小值是__________. 【答案】16 【解析】 【分析】变形后，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】因为，且，故， 所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故 的最小值是16. 故答案为：16 13. 已知函数，且，则实数的取值范围为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性把不等式转化为 ,再由函数的单调性求解. 【详解】由 得 ， 故函数的定义域为f，定义域关于原点对称， 因为 ，因此 是偶函数， 当时， ，其中和 在 上均为增函数， 故 在 上单调递增；由偶函数对称性可知， 在 上单调递减， 已知 ，根据偶函数性质 ，可转化为 , 又因为 在 上单调递增，所以 , 当 时： ，由对数函数单调性得 , 当 时：，由对数函数单调性得, 实数的取值范围为 14. 若函数有最小值，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分和 两种情况，利用导数法及单调性讨论 的最小值，从而求解实数的取值范围. 【详解】当时，,则 , 当时， 且 ，故 ，因此 在 上严格单调递增， 由此可得，当时， ，即此段函数的值域为 ，无法取到； 当 时， 是一次函数，其单调性由斜率 决定： 若，则 ，函数在 上单调递增， 当时， ，整个函数无最小值， 若，则为常数函数，此时 ，结合时函数值域 ， 整个函数的下确界为但无法取到，无最小值， 若，则 ，函数在 上单调递减，最小值在处取得，为 ， 要使整个函数有最小值，必须满足 ，解得 , 结合的条件，所以实数的取值范围为 . 15. 已知函数若在区间上存在个不同的数，，，…，，使得成立，则的最大值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】由导数判断单调性后作出图象，数形结合求解 【详解】， 当时，，令，得， 当时，，当时，， 在单调递增，在单调递减， 作出图象，数形结合可得与在最多有4个交点， 故答案为：4 三、解答题：本题共3小题，共34分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知定义在 上的偶函数 ，且 ． （1）求实数 的值； （2）设 ，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的定义求出参数值. （2）由（1）求出函数，进而求出在 上的最小值，由给定条件建立不等式并分离参数，利用单调性求出最小值即可. 【小问1详解】 由函数是 上的偶函数，得 ， 则 ， 整理得 ， 因此 ，解得，所以实数 的值为. 【小问2详解】 由（1）知 ， 函数 在 上单调递增，则函数在 上单调递增， ，由对任意的，存在，使得， 得函数在上的最小值不小于函数在上的最小值， 因此存在，使得 ， 即存在， 成立，令 ，， 函数， 在上单调递增，则函数在上单调递增， 函数在上的最小值为，则， 所以实数的取值范围是 . 17. 已知关于的二次函数 （1）若关于的不等式 的解集为，求实数、的值； （2）若实数，满足 ，求关于的不等式的解集．（答案用含有字母a的形式表示） （3）已知 有两个正实数根，，，且满足 ，求的最大值 【答案】（1） ， （2）当 时，原不等式的解集为 ；当 时，原不等式的解集为；当 时，原不等式的解集为；当 时，原不等式的解集为 （3） 【解析】 【分析】（1）由二次不等式解集为两根之外，可知二次项系数为正且对应方程的两根为区间端点，利用韦达定理建立方程组求得； （2）代入 后因式分解为 ，对分情况讨论，分别写出对应解集； （3）由两个正根得 及韦达定理，结合平方和条件导出与的关系，再代入目标式并利用基本不等式求最大值． 【小问1详解】 由 的解集为或 ，得与1是方程 的两个实根，且 ， 因此，解得 ， ， 所以 ， ． 【小问2详解】 由 ， ，则不等式化为： ， 当 时，不等式化为 ，无解； 当 时， ，解得 ； 当 时， ，解得； 当 时， ，解得或 ， 所以当 时，原不等式的解集为 ； 当 时，原不等式的解集为； 当 时，原不等式的解集为； 当 时，原不等式的解集为． 【小问3详解】 由方程 有两个不等的正实数根，， 得， 由 ，得 ，则 ，即 ， 由 ， ，得 ， ，解得 ， 因此 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为 ． 18. 已知函数 ， （1）求曲线在点处的切线方程 （2）当 时，列出极值表，求的极值； （3）当时， ，求整数 的最大值． 【答案】（1） （2）极小值为，无极大值 0 + 单调递减 极小值 单调递增 （3）4【解析】 【分析】（1）对 求导得切线斜率，计算切点坐标后由点斜式写出切线方程； （2）代入后求导，令导数为零得极值点，列表分析导函数符号确定单调区间，进而判断极小值且无极大值； （3）分离参数，构造函数并求导，利用导数分析其单调性，结合零点存在定理确定最小值所在区间，从而得到整数的最大值． 【小问1详解】 已知，， 求导得， 则．由点斜式得切线方程 ，整理得 ． 【小问2详解】 当 时， ，定义域为． ， 令 ，解得． 0 + 单调递减 极小值 单调递增 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 因此，在处取得极小值， 极小值为，无极大值． 【小问3详解】 当时， 即 ， 整理得， 因 ， ，故，设， ， ， 设 ， ，则 ， 故在单调递增． 又 ， ， 故存在唯一使得 ，即 ． 此时在上单调递减，在上单调递增， 所以最小值为 ， 因，故，因此整数的最大值为4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级数学学科阶段检测 一、单选题：本题共9小题，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为：（ ） A. B. C. D. 4. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在区间内有极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知幂函数，在上单调递增．若 ，， ，则，，大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知满足．若为增函数，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，若有另一函数有且仅有3个不同零点，则常数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10. ______． 11. 函数的单调递减区间为______． 12. 已知实数，且，则 的最小值是__________. 13. 已知函数，且，则实数的取值范围为_____________． 14. 若函数有最小值，则实数的取值范围是______． 15. 已知函数若在区间上存在个不同的数，，，…，，使得成立，则的最大值为______． 三、解答题：本题共3小题，共34分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知定义在 上的偶函数 ，且 ． （1）求实数 的值； （2）设 ，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 17. 已知关于 的二次函数 （1）若关于 的不等式 的解集为，求实数、的值； （2）若实数，满足 ，求关于 的不等式的解集．（答案用含有字母a的形式表示） （3）已知 有两个正实数根，，，且满足 ，求的最大值 18. 已知函数 ， （1）求曲线在点处的切线方程 （2）当 时，列出极值表，求的极值； （3）当时， ，求整数 的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $