天津市第七中学2025-2026学年高二下学期6月练习数学试卷

天津七中2025—2026学年度高二下学期数学6月练习卷 一、单选题（共9小题，每题5分，共45分） 1．设全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．“函数在区间上单调递增”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知变量和变量的一组成对样本数据（，2，…，）的散点落在一条直线附近，，，相关系数为，经验回归方程为，则下列说法错误的是（ ） A．当时， B．必定满足经验回归方程 C．当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强 D．，时，成对样本数据（，2，…，，）的相关系数满足 4．函数的部分图象大致为（ ） A． B． C． D． 5．已知下列四个命题：①残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高；②甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好；③回归直线恒过点，且至少过一个样本点；④在线性回归分析中，样本相关系数的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强．其中真命题的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．已知~，~，且和的分布密度曲线如图所示，则（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，若，，，则（ ） A． B． C． D． 8．一口袋中有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，则下列结论不正确的是（ ） A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是 B．从中有放回地取球6次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为 C．从中不放回地取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为 D．从中有放回地取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为 9．如图，在正方体中，三棱锥和的公共部分形成的几何体为．若的体积记为，的内切球的体积记为，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 10．已知复数，则________． 11．________． 12．已知随机变量~，且，则展开式中各项系数之和为________． 13．某种服装的广告费支出与销售额（单位：万元）之间的关系如下表： 4 2 3 5 49 26 39 54 与的线性回归方程为，当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为________． 14．在梯形中，，，，，，点在线段上，且．若，其中、为实数，则________；设是线段上的动点，且（），则的最小值为________． 15．已知函数，若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是________． 三、解答题 16．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 17．如图，已知直四棱柱中，，，，，，是的中点，是的中点． （1）求证平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 18．如图，在四棱锥中，底面为正方形，是等腰直角三角形，面底面，，为线段的中点，为线段上的动点． （1）证明：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求． 19．某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格．这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时． （1）根据所给数据，完成以下表格； （2）计算，并依据小概率值的独立性检验，是否可以推断学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关？（结果保留小数点后三位） 单位：人 每周的锻炼时间 短跑成绩 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 每周的锻炼时间超过5小时 每周的锻炼时间不超过5小时 合计 （2）正确的跑步姿势和起跑技巧等都可以让跑步者更好地发挥自己的能力．现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为．用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，求学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率． 参考公式与数据：，其中． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 20．设函数（） （1）若，，求角； （2）若不等式对任意时恒成立，求实数的取值范围； （3）将函数的图像向左平移个单位，然后保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图像，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 《天津七中2025-2026学年度高二下学期数学6月练习卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B B C A D C D C D 10． 11． 12．64 13． 14． 15． 16．（1） （2） （3） 【详解】（1）因为， 由正弦定理有①． 又因为，所以代入①式有． 又因为三角形内角，因此，所以． （2）由（1）知，且，，由余弦定理， 则，解得或（舍去），故； （3）由正弦定理，且，，，得， 由于，则为锐角，故，故， ， 故． 17．（1）证明见解析 （2） （3） 【详解】（1）取中点，连接，，由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有且，故四边形是平行四边形， 故，又平面，平面， 故平面． （2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有，，，，，， 则有，，， 设平面与平面的法向量分别为，， 则有， 分别取，则有，，，， 即，， 则， 故平面与平面的夹角的余弦值为． （3）由，平面的法向量为， 则有，即点到平面的距离为． 18．（1）证明见解析 （2） 【详解】（1）解法一：因为平面，平面，则， 且，，，平面，则平面， 由平面，可得， 又因为，为中点，则， 且，，平面，则平面， 且平面，所以平面平面； 解法二：因为底面，， 如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设（），则，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得； 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得； 因为，则， 所以平面平面． （2）解法二：作，垂足为， 因为平面平面，平面平面，平面，， 则平面，可知直线与平面所成角为， 则，可得，， 设，则，， 因为与相似，则，即， 整理可得，解得或（舍去）， 即，所以； 解法二：由（1）可知：，平面的法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 整理可得，解得或， 所以． 19．（1）表格见解析，有关 （2）． 【详解】（1）表格如下：单位：人 每周的锻炼时间 短跑成绩 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 每周的锻炼时间超过5小时 35 10 45 每周的锻炼时间不超过5小时 25 30 55 合计 60 40 100 零假设为：学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立． 根据表中的数据，可得， 根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立， 即认为学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关． （2）由（1）的列联表可知，短跑成绩不合格的学生共有40名， 其每周锻炼时间超过5小时的有10人，不超过5小时的有30人． 从短跑成绩不合格的40名学生中随机抽取一名学生，记为甲， 设事件“甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格”， 事件“甲每周的锻炼时间超过5小时”， “甲每周的锻炼时间不超过5小时”， 用连列表中的数据计算频率并替代概率后得，， 又已知，， 由全概率公式可得， 所以学生甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格的概率为． 20．（1）或． （2） （3）∴当时，；当时，． 【详解】（1）， 又，即， 或， ，或． （2） 令，，， ，，， 即， 令， 设，， 任取，，且， 则 ，，，， ，即， 在上单调递减，， ，解得：． （3）， 的图象向左平移个单位，横坐标变为原来的， 可得 ，存在非零常数，对任意的，成立， 在上的值域为，则在上的值域为， 当时，，1为的一个周期，即1为最小正周期的整数倍． 所以，即（且） 当时， 由诱导公式可得，，即， 当时，； 当时，． 学科网（北京）股份有限公司 $