6.4.3　第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例——高度、角度问题 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦余弦定理、正弦定理在高度与角度测量中的应用，通过滕王阁高度测量等实际案例导入，衔接定理理论与实际问题，构建从数学知识到现实应用的学习支架，含思维导图梳理知识结构。 其亮点是以真实情境案例驱动数学建模，通过思维导引和类题通法培养逻辑推理（数学思维），规范解答提升数学语言表达。学生能提升问题解决能力，教师可利用结构化资源提高教学效率。

课堂合作探究 课堂学业达标 第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例——高度、角度问题 素养目标 思维导图 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和法解决高度测量、角度测量的问题.(数学建模) ‹#› 课堂合作探究 探究点一　计算高度 【典例1】 滕王阁,江南三大名楼之一,位于江西省南昌市,滕王阁分为上部主体建筑和下部象征古城墙的高台座,始建于唐朝永徽四年,因唐太宗李世民之弟滕王李元婴始建而得名,因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而流芳后世.如图,为了测量滕王阁的高度,选取了与该阁底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得∠BCD=23°,∠CDB=30°,CD=111.2 m,在C点测得滕王阁顶端A的仰角为45°,则滕王阁的高AB约为(参考数据:sin 53°≈0.8)(　　) A.69.5 m B.68.8 m C.70.2 m D.71.5 m √ ‹#› 【思维导引】在△BCD中,利用正弦定理求出BC,再借助给定的仰角计算作答. 【解析】选A.在△BCD中,∠BCD=23°,∠CDB=30°,则∠CBD=180°-23°-30°=127°. 由正弦定理=, 得BC===≈69.5(m),由在C点测得滕王阁顶端A的仰角为45°,得AB=BC≈69.5 m, 所以滕王阁的高AB约为69.5 m. ‹#› 【类题通法】 计算高度的注意事项 (1)区分角的概念:解决有关高度问题时,正确理解仰角、俯角是关键. (2)空间向平面转化:在实际问题中,当研究空间与平面(地面)的问题时,通常画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,把空间问题转化为平面问题,明确三角形中的边长和角度,确定应用正弦定理或余弦定理计算. ‹#› 【定向训练】 如图,在山脚A测得山顶P的仰角为30°,沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B,在B处测得山顶P的仰角为60°,则山高PQ= (　　) A.a米 B.米 C.a米 D.a米 【思维导引】设∠QAP=α=30°,∠QAB=β=15°,∠CBP=γ=60°,在△PAB中,∠PAB=α-β=15°,∠BPA=(-α)-(-γ)=γ-α=30°, 由正弦定理可求PB,根据PQ=PC+CQ=PB·sin γ+asin β可得结果. √ ‹#› 【解析】选C.设∠QAP=α=30°,∠QAB=β=15°, ∠CBP=γ=60°. 在△PAB中,∠PAB=α-β=15°, ∠BPA=(-α)-(-γ)=γ-α=30°, 所以=,所以PB=a. 所以PQ=PC+CQ=PB·sin γ+asin β =a×sin 60°+asin 15°=a(米). ‹#› 探究点二　计算角度 【典例2】(规范解答) (15分)一艘海轮从A出发,沿北偏东70°的向航行(-1)n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东10°的向航行2 n mile到达海岛C. (1)求AC的长. (2)如果下次航行直接从A出发到达C,应沿什么向航行多少海里? 【思维导引】(1)根据题中示意图,确定好题目中给出的长度和角度;选用余弦定理求解AC的长度,完成计算. (2)利用求出的AC的长度以及相关条件,选用正弦定理完成∠CAB的求解,进而得答案. ‹#› 【解析】(1)由题意知,在△ABC中,∠ABC=180°-70°+10°=120°,AB=-1,BC=2,…………3分 根据余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cos∠ABC=+4+2(-1)=6, ………………………………………………………………………………………………6分 所以AC= n mile. …………………………………………………………………………7分 (2)根据正弦定理可得=, 即sin∠CAB=sin∠ABC===, ……………………………………………………10分 又BC<AC,0°≤∠CAB≤180°,所以∠CAB=45°. ………………………………………………13分 所以应沿北偏东25°的向航行 n mile即可到达C处. …………………………………15分 ‹#› 【类题通法】 解决测量角度问题的注意事项 (1)确定角的范围:首先应明确“位角”或“向角”的含义,位角大小的范围是[0,2π),向角大小的范围是(0,]. (2)审题:分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键、最重要的一步. (3)转化:将实际问题转化为可用数学法解决的问题后,注意正弦、余弦定理的“联袂”使用. ‹#› 【定向训练】 (2025·唐山高一检测)如图所示,有一艘缉毒船正在A处巡逻,发现在北偏东75°向、距离为60海里的B处有毒贩正驾驶小船以每小时15(-1)海里的速度往北偏东15°的向逃跑,缉毒船立即驾船以每小时15海里的速度前往缉捕. (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕; (2)试确定缉毒船的行驶向. ‹#› 【解析】(1)设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕, 由题意可知∠ABC=180°-75°+15°=120°,AB=60,AC=15t,BC=15(-1)t, 由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos ∠ABC, 即=602+-2×60×15(-1)t×(-), 整理可得(t-2)[(+1)t+4]=0,解得t=2, 所以缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕. ‹#› (2)由(1)可知∠ABC=120°,AB=60,AC=30,BC=30(-1), 由正弦定理=, 可得sin ∠ACB===,且∠ACB为锐角,则∠ACB=45°,可得∠BAC=180°-120°-45°=15°, 所以缉毒船的行驶向为北偏东75°-15°=60°. ‹#› 课堂学业达标 1.某飞机在空中沿水平向飞行,飞行至A处,飞行员观察地面目标C,测得俯角为30°,继续飞行800(单位:米)至B处观察目标C,测得俯角为60°.已知A,B,C在同一个铅垂平面内,则该飞机飞行的高度为(　　) A.400米 B.400米 C.800米 D.800米 【解析】选B.如图,过点C作CD⊥AB于点D, 因为∠A=30°,∠CBD=60°, 所以∠ACB=∠CBD-∠A=30°, 所以BC=AB=800米,在Rt△BDC中,CD=BCsin 60°=800×=400(米). √ ‹#› 2.甲船在A处,乙船在甲船北偏东60°向的B处,甲船沿北偏东θ向匀速行驶,乙船沿正北向匀速行驶,且甲船的航速是乙船航速的倍,为使甲船与乙船能在某时刻相遇,则(　　) A.15°<θ<30° B.θ=30° C.30°<θ<45° D.θ=45° 【解析】选A.设甲船与乙船的相遇点为C,据题意,∠ABC=120°,AC=BC. 在△ABC中,由正弦定理,有=,则=,所以sinA==. 因为<<,A∈(0,),则<A<,所以θ=-A∈(,). √ ‹#› 3.启东中学天文台是启中校园的标志性建筑.小明同学为了估算学校天文台的高度,测得学校宿舍楼AB高为(15-5) m,在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A,天文台顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得天文台顶C的仰角为30°,假设AB,CD和点M在同一平面内,则小明估算学校天文台的高度为(　　) A.20 m B.30 m C.20 m D.30 m √ ‹#› 【解析】选B.由题意AM=,sin15°=sin(45°-30°)= sin45°cos30°-cos45°sin30°=-=,所以AM==10 m, 在△AMC中,∠AMC=180°-60°-15°=105°,∠CAM=30°+15°=45°, 所以∠ACM=180°-105°-45°=30°, 由=,得=, CM==20 m,所以CD=CMsin60°=20=30 m. ‹#› 4.某人在点C处测得某塔底B在南偏西80°向,塔顶A的仰角为45°,此人沿南偏东40°向前进10 m到D处,测得塔顶A的仰角为30°,则塔高为　　　　.  【解析】由题意作出图形,如图所示,设塔高AB=h m, 在Rt△ABC中,∠ACB=45°,则BC=AB=h m.在Rt△ABD中, ∠ADB=30°,则BD=h m. 在△BCD中,∠BCD=80°+40°=120°,CD=10 m, 由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos∠BCD, 即=h2+102-2h·10cos 120°,整理得h2-5h-50=0,解得h=10或h=-5(舍去). 答案:10 m ‹#› 5.如图,一船运载着物资由西向东航行,在A处测得某岛M的位角为α,前进5 km后到达B处,测得岛M的位角为β.已知该岛周围3 km内有暗礁,现该船继续东行. (1)若α=2β=60°,该船有无触礁危险? (2)当α与β满足什么条件时,该船没有触礁的危险? 【解析】(1)在△ABM中可知,AB=BM=5,从而MC=5sin 60°=>3,没有触礁危险. (2)设CM=x,则BM=,∠AMB=α-β, 在△ABM中,由正弦定理得=, 即=,解得x=,所以当>3时没有触礁危险. ‹#› $