6.4.4 余弦定理、正弦定理应用举例-【名师大课堂】2025-2026学年高中数学必修第二册同步小作业（人教A版）

课时4余弦定理 A级基础练 1.为运输方便，某工程队 北 将从A到D修建一条湖 底隧道，如图，工程队从 D A出发向正东方向行 10√3km到达B,然后从B向南偏西45°方 向行了一段距离到达C,再从C向北偏西 75°方向行了4√2km到达D,已知C在A 南偏东15°方向上，则A到D的距离为 A.15√6km B.2√38km C.10√2km D.15√3km 2.（多选)甲、乙两楼相距20m,从乙楼楼底仰 望甲楼楼顶的仰角为60°，从甲楼楼顶望乙 楼楼顶的俯角为30°，则 () A.甲楼的高度为20√3m B.甲楼的高度为10√3m C.乙楼的高度为403 D.乙楼的高度为10√3m 3.(多选)一艘轮船航行到A处时测得灯塔B 在A的北偏东75°方向上，距离为12√3n mile,灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离 为6√6 n mile,该轮船从A处沿正北方向继 续航行到D处时测得灯塔B在其南偏东 60°方向上.下面结论正确的是 () B级综合练 1.一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的 北偏东15方向上，与灯塔S相距a n mile,随 后货轮按北偏西30°的方向，以20（√6一√2）n mile/h的速度航行30min后到达N处，又测 得灯塔在货轮的东北方向上，则a=() A.20 B.40 C.40-20√3 D.40+20√3 正弦定理应用举例 A.AD=12√2 n mile B.CD=6√2 n mile C.∠CDA=60°或∠CDA=120° D.灯塔C在D的南偏西60°方向上 4.如图，在离地面hm的 热气球M上，观察到山 ①， 顶C处的仰角为0，在 山脚A处观察到山顶C D 77777 处的仰角为60°，且热气球M在地面上的射 影D在A左侧.若A到热气球的距离AM =400√2m,山的高度BC=600m,∠ACM =45°，则0= ) A.30° B.25° C.209 D.15° 5.如图，为测塔高PA,在塔底所在的水平面 内取一点C,测得塔顶的仰角为0，由C向塔 前进30m后到点D,测得塔顶的仰角为20， 再由D向塔前进10√3m后到点E,测得塔 顶的仰角为40，则0= ,塔高为 m. 2.（多选)如图，某人在一条 水平公路旁的山顶P处 测得小车在A处的俯角 0 为30°，该小车在公路上 由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B处， 此时测得俯角为45°.已知小车的速度是 20k/.且c0s∠A0B=-8g5.则（) A.此山的高PO=J3km B.小车从A到B的行驶过程中观测P点的 最小仰角为30° C.PA=2 km D.小车从A到B的行驶过程中观测P点 的最大仰角的正切值为201西 111 3.如图1，镇江金山的江天禅寺是历史悠久的 佛教圣地，其所在的金山公园也成为市民休 闲旅游的最佳选择.为了扩大对家乡旅游的 宣传，现对江天禅寺进行无人机拍照.已知 江天禅寺内的慈寿塔的一侧是金山湖，我们 选择了三个点，分别是慈寿塔另一侧一点A 与湖对岸B,F两点，如图2，无人机从A点 沿AD直线飞行200m到达慈寿塔正上方 的D点后，然后再飞到F点的正上方C点， 对地面的江天禅寺EB区域进行拍照，其中 E点在D点正下方，A,E,B,F四点在同一 条水平直线上.现从A处测得D处的仰角 为60，sn∠ABD=吗，BF-100m若无 人机在C点处获得最佳拍照角度（即 ∠BCE最大)，则该无人机此时离地面的高 度为 ) 图1 图2 A.50√2m B.50√3m C.100√3m D.200m 4.如图，某湖有一半径 北 为100m的半圆形 岸边，现决定在圆心 O处设立一个水文 监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相 距200m的点A处安装一套监测设备.为 了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B 以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设 备，且满足AB=AC,∠BAC=90°.定义：四 边形OACB及其内部区域为“直接监测覆 27 盖区域”.设∠AOB=0,则“直接监测覆盖区 域”面积的最大值为 5.常州现代传媒中心是常州市最高的标志性 建筑.某学习小组要完成两个实习作业：验 证百度地图测距的准确性及测算常州现代 传媒中心的高度.如图1，龙城大道沿线的 水平路面上有两点A,B,首先利用百度地 图测距功能测出AB的长度为2km,接着 在飞龙路沿线选定水平路面上可直接测距 的C,D两点，测得∠BCA=30°，∠ACD= 45°，∠BDC=60°，∠ADB=30°.该学习小 组根据上述条件计算出CD的长度，并将其 与CD的实际长度2.84km进行比较，若误 差介于一20m~20m之间，则认为百度地 图测距是准确的， B 2 km A 北 B 图1 图2 (1)通过计算说明百度地图测距是否准确？ (√2≈1.414) (2)如图2，该学习小组在A处测得常州现 代传媒中心楼底N在其西偏北0方向上， 且楼顶M的仰角∠MAN=4.8°，在B处测 得楼底N在其西偏北p方向上，通过计算 4g-子8g-4am8a.0 若百度地图测出的AB=2km是准确的，请 根据以上数据算出常州现代传媒中心的高 度（精确到1m).因为A+3C=元=A+B+C,则B 2C,所以0<2C<,可得0<C<号.由 b b J6 B sin B sin 2C sin C,得2 2sin Ceos C 2 S方·所以cosC三8，则s刀G= √1-cos'C-√⑩ 4 由选项B,可得sin2C=2 sin Ccos C √1 ,c0s2C=2osC-1=-子，所以 4 sin A=sin 3C=sin Ccos 2C+cos Csin C × 20=平×()+9×平=四 48 由正弦定理，a sinA=sinC,可得a= csin A=1. sin C S△ABC-1 2 absin C= -X1X/6x/10 D / /15 4 4.解：(1)方案一选条件①. 因为csin B+bcos C=√2b, 所以sin Csin B+sin Bcos C=√2sinB. 因为0<B<元，所以sinB≠0，所以sinC+cosC= 2sin(C+)-2,sin(C+)=1, 因为0<C<,所以受<C+年<5买，则C+至 4 ,C= 方案二选条件②. 因为（√2a-b)cosC=ccos B, 所以（√2sinA-sinB)cosC=sin Ccos B, 所以√2 sin Acos C=sin Bcos C+sin Ccos B= sin(B+C)=sin(-A)=sin A. 因为0<A<π，所以sinA≠0，所以√2cosC=1,即 cos C=2 2 又0<C<x,所以C=至 方案三选条件③. 因为asin C-ccos Bcos C=bcos2C, 所以sin Asin C-sin Ccos Bcos C=sin Bcos2C, 8 Ep sin Asin C=cos C(sin Ccos B+sin Bcos C)= cos Csin(B++C)=cos Csin A. 因为0<Aπ，所以sinA≠0，所以sinC=cosC, 即tanC=l. 又0<C<,所以C=至。 (2)因为c0sB=号0B<,所以simB=号 'sin Bsin C,可得b=csin B10X冬 由 b C sin C =82, 2 2 所以sinA=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C 专×号+×号 则△ABC的面积S=号esin A=号×82X10X 72=56. 10 5.解：(1)在△DCB中，由余弦定理得cos∠BCD BC°+CD2-BD2 2BC,CD"即3=4+CD13,所以CD 2 4CD =5. CD BD 由正弦定理可得 sin∠CBD sin,∠BCD' 中sn∠CBD-CD·s<BCD万X .-39 BD √13 26 (2)在△ACD中，由正弦定理得sin/CAD CD sin∠ADC,所以sin∠ADC=AC AC 2 在△ABC中，由正弦定理得sinZABC AC snAC·所以n∠ABC=9AC BC 因为∠CAD=∠BAC-5,∠DCB=, 所以∠ADC+∠ABC=受 所以sin2∠ADC+sin2∠ABC=cos2∠ABC+sin ∠ABC=1, 所以AC+3AC=1,所以AC=4y7 4 16 7 课时4余弦定理、正弦定理应用举例 A级基础练 1.B连接AC,由题意，知∠ABC=45°，∠ACD=75° -15°=60°，∠ACB=15°+45°=60°，AB=10√3 km,CD=4√2km.在△ABC中，由正弦定理得 sn2 ACB-sina2%C,即l02-4S,则AC AB AC 3 2 10√2km.在△ACD中，由余弦定理得AD=AC +CD-2AC·CDcos∠ACD=152,则AD= 2√/38km. 2.AC如图所示，在Rt△ABD A30 中，∠ABD=60°，BD=20m, 所以AD=BDtan60°=20√5m, 甲 AB=、BD cos60=40m.在△4BC D60°2B 地面 中，∠ABC=∠BAC=30°， ∠ACB=120°，所以可设AC=BC=xm.由余弦定 理得AB2=AC+BC-2AC·BC·cos∠ACB, 即1600=x2十x2十x2,解得x 40E.所以甲楼、 3 40√3 乙楼的高度分别为205m,3 m. 3.ABD如图，由题意知 北D ∠DAB=75°，∠ADB =60°，∠DAC=30°， AB=12√3 n mile,AC =6√6 n mile,则B =45°. AB 在△ABD中，0B】 sin∠ADB'则AD= ABsin B 12x2 sin∠ADB 2=12√2(n mile),A正确. 2 在△ACD中， CD =√AC+AD-2AC·ADcos∠DAC √504-432=6√2(n mile),B正确.由AC2+CD2 =AD,得AC⊥CD,故∠CDA=90°一30°=60°，灯 塔C在D的南偏西60°方向上，C错误，D正确. 4.D在Rt△ABC中，BC=600m,∠CAB=60°，所 以AC=BSO4003(m).在△MAC中，由正 弦定理知，AC AM sin∠AMC-sin∠ACM:解得sin∠AMC -9,所以∠AMC=60或120.若∠AMC=60. 则∠MAC=75°，∠MAD=45°，所以0=60°-45°= 15°；若∠AMC=120°，则∠MAC=15°，∠MAB= 75°，此时D在A右侧，不符合题意.综上所述，0= 15°.故选D. 5.答案： 15 解析：由题意，得∠CPD=∠EDP-∠DCP=20 0=0,所以PD=CD=30m.又∠DPE=∠AEP ∠EDP=40-20=20,所以PE=DE=10√5m.在 △PDE中，cos20=PD+DE-PE 2PD·DE 0+10500》-,所以20=吾所以 2×30×10W3 0=音，则40=子在Rt△PAE中，PA=PE sin40=105×5=15(m. 2 B级综合练 1.A根据题意画出图形，如图.由题北 可知，MN=20(√6-√2)X0.5=10 东 (√6-√2)，∠SNM=45°+60° 105°.∠MSN=180°-105°-(30°+ 15°)=30°.又sin105°=sin(45°+ 15 30 60)=sin45°c0s60°+cos45°sin 60-52,在△MNS中，由正孩 定理将nn微w即1o MN SM sin 30 sin105,解得a=20. 2.BCD由题意可得∠OAP=30°，∠OBP=45°，设 OP=xkm,又OP⊥OA,OP⊥OB,则OA= Exkm,0B=xkm.因为AB=7.5×品×20 号km,所以cas∠A0B=OA2H8AE 2AO·OB 4x2-25 4 2√5x2 35,解得x=1,从而PA=2km,故 8 A错误，C正确.由题知sin∠AOB=7,所以由 8 等面积法可得O到AB的距离=√们km,所以 20 小车从A到B的行驶过程中，距离O点的距离范 国是[亚同白题因可知，距离0点德远，柳角 越小，距离O点越近，仰角越大，故在A处时，仰角 最小，为30°，最大仰角的正切值为P0_20四 h 1111 故B,D正确 3.C在△ABD中，由正弦定理得 AD in∠ABD= BD 200X sin60,所以BD= 2 -=100√7.又sin V21 7 ∠ABD=T,所以cos∠ABD=2y7,所以BE 7 7 BDcos∠ABD=200,所以EF=300.设该无人机 在C,点处离地面的高度为xm,则tan∠BCE= tan(∠ECF-∠BCF)= tan∠ECF-tan∠BCF l+tan∠ECFtan,∠BCF 300100 x 200 200 1+300.100 x+30000 2/x·30000 ，当且仅当1-3000，中=10万时取号号。 x 此时无人机获得最佳拍照角度，该无人机离地面的 高度为100√5m. 4.答案：(10000√5+25000)m2 解析：在△OAB中，因为∠AOB=0,OB=100,OA =200,所以AB2=OB2+OA2-2OB·OAc0s0,即 AB=100√5-4c0s0,所以Sg速形0AcB=S△aAB十 SaA,OBsin100(sin 0- 2c0s9+多).令1am9=2,则Sm4ne=102[5 sin(0-g+]≤1005+受，所以直接盘测覆 盖区域”面积的最大值为(10000√5+25000)m2. 5.解：(1)设CD=akm. 在△ADC中，∠BDC=60°，∠ADB=30°，∠ACD =45°，则∠CAD=45°，所以△ACD是等腰直角三 角形，所以AC=√2akm. 在△BCD中，∠BCA=30°，∠ACD=45°，∠BDC =60°，可得∠CBD=45°. 、由正弦定理得b60Sin45,解得BC6。 2 d. 在△ABC中，由余弦定理得AB wa)+)-2xwia×X 一。 因为AB=2km,所以a=2√2，即CD=2√2km≈ 2828m, 因为2828一2840<20m,所以百度地图测距是 准确的」 (2)△ABN中，由正孩定理得BN=,sin0 AN sin(π-p) sin 63 s1n94 设BN=3xkm,AN=4xkm. △ABN中，由余弦定理，可得cos0= 4+16.x2-9.x2_4+7x2 16.x 16x, c0s∠ABN=92+4-16x2=4-7z2 12x 12.x cos9=Cos(r∠ABN)=-cos∠ABN=7x2-4 12.x O9号，所以x=1,所以BN=3km,AN 又c0s0_11 4 km. Rt△ANM中，MN=AN·tan∠MAN=4Xtan4. 8°≈4×0.084=0.336km=336m. 故常州现代传媒中心的高度约为336m. 第七章复数 第一节复数的概念 课时1数系的扩充和复数的概念 A级基础练 1.A因为复数x=3+2a十(2-3a)i的实部与虚部 互为相反数，所以3十2a=-(2-3a),解得a=5. 2.BCD由复数的定义可知A命题正确；形如a十bi (a,b∈R)的数，当b=0时，它不是虚数，故B命题 错误；若两个复数全是实数，则可以比较大小，故C 命题错误；两个虚数不能比较大小，故D命题错误. 故选BCD. 3.C若=则m-4=-3, m+m+1=3, 得m=1,所以m =1是名1=之2的充要条件. 4.答案：①③④ 解析：用Venn图表示集合C,R,I,M C 的关系如图，由图分析可知①③④ 正确. 5.答案：1,2 解析：设(x。y)是方程组的实数解.由已知及复数 x+号=①， 相等，得2(y,+1)=4。②， 由①②得 2xw+ayo=9③， 、-(4x0-y十b)=-8④， 5 2,=2'代入③④得0‘所以实教a,b的值分 b=2, y6=4, 别为1,2. 6.解：(1)若之是实数，则m2-m-2=0,解得m=2 或m=-1. (2)若之是虚数，则m2-m一2≠0，解得m≠2 且m≠一1. (3)若之是纯虚数，则 m2-一m一2≠0'解得m= m2+m-6=0, -3.