6.4.3 第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（人教A版）

第四课时　余弦定理、正弦定理应用举例 1 知识点一　实际问题中有关名词、术语 01 知识点二　测量距离问题 02 知识点四　测量角度问题 04 目录 课时作业 05 知识点三　测量高度问题 03 2 知识点一 实际问题中有关名词、术语 01 PART 目 录 【知识梳理】 1. 基线的概念与选取原则 （1）基线：根据测量的需要而 叫做基线； （2）选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适 的基线长度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高. 确定的线段　 数学·必修第二册 目 录 2. 方向角 从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角.如图，北偏东 30°，南偏东45°. 数学·必修第二册 目 录 3. 仰角和俯角 （1）前提：在视线所在的垂直平面内； （2）仰角：视线在水平线 时，视线与水平线所成的角； （3）俯角：视线在水平线 时，视线与水平线所成的角. 以上　 以下　 数学·必修第二册 目 录 【例1】　（1）若P在Q的北偏东44°50'方向上，则Q在P的（　C　） A. 东偏北45°10'方向上 B. 东偏北44°50'方向上 C. 南偏西44°50'方向上 D. 西偏南44°50'方向上 解析： 如图所示. C 数学·必修第二册 目 录 （2）两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在C北偏东 30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距离为（　A　） A. a km B. a km C. a km D. 2a km 解析： 在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，所以AB＝ a.故选A. A 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 1. 仰角与俯角是指目标视线与水平视线的夹角，水平视线易与铅垂线 混淆. 2. 方位角中的顺时针易错记为逆时针. 数学·必修第二册 目 录 训练1　如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山脚A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文 台BC的高为 m. 解析：由题图可得B＝45°，∠BAC＝30°，故BC＝ ＝ ＝30 （m）. 30 　 数学·必修第二册 目 录 知识点二 测量距离问题 02 PART 目 录 【例2】　（链接教材P49例9）如图，为测量河对岸A，B两点间的距离， 沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°， ∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，求A，B两点的距离. 数学·必修第二册 目 录 解：在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°， ∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD， ∴BD＝CD＝40，BC＝ ＝40 . 在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°， ∴∠CAD＝180°－（30°＋105°）＝45°. 由正弦定理，得AC＝ ＝20 . 在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC× cos ∠BCA ＝（20 ）2＋（40 ）2－2×20 ×40 cos 60°＝2 400， ∴AB＝20 ，故A，B两点之间的距离为20 m. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 解决测量距离问题时要选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化 为求某个三角形的边长问题，从而利用正弦、余弦定理求解.构建数学模 型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中，挖掘建模图形的性质，或寻 找合适的三角形，这样会使问题求解更简单. 数学·必修第二册 目 录 训练2　如图，为了测量河的宽度，在岸边选定两点A，B望对岸的标记 物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝60°，AB＝60 m，则河的宽度CD＝ （　　） A. 30（3 ＋ ）m B. 30（3－ ）m C. 20（ ＋3）m D. 30（ －1）m √ 数学·必修第二册 目 录 解析：　由题意得∠ACB＝180°－45°－60°＝75°，在△ABC中，由 正弦定理得 ＝ ，∴BC＝ ＝ ＝60 （ －1）（m），故CD＝BC sin ∠CBA＝60（ －1）× ＝30（3－ ）（m）.故选B. 数学·必修第二册 目 录 知识点三 测量高度问题 03 PART 目 录 【例3】　（链接教材P49例10）彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称 “雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高 度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得 ∠BCD＝15°，∠BDC＝135°，CD＝20 m，在点C测 得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝（　　） A. 30 m B. 20 m C. 20 m D. 20 m √ 数学·必修第二册 目 录 解析：　由题设知，AB⊥BC，又∠DBC＝180°－∠BDC－∠BCD＝ 30°，在△BCD中， ＝ ，可得BC＝20 m，在Rt△ABC 中，tan∠ACB＝ ＝ ，则AB＝20 m.故选D. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 测量高度问题的解题策略 （1）“空间”向“平面”的转化：寻找相应的直角三角形，并发现题目 中有关高度的线段与平面上相关线段的长度之间的关系，从而把空间中测 量高度问题转化为平面上解三角形的问题； （2）“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角 形，仔细规划解题思路. 数学·必修第二册 目 录 训练3　如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测 点，从点A测得点M的仰角∠MAN＝60°，点C的仰角∠CAB＝45°以及 ∠MAC＝75°，从点C测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山 高MN＝ m. 150　 解析：由题意可知AB＝BC＝100 m， 所以AC＝100 m，在△ACM中， 由正弦定理得AM＝ · sin 60°＝100 （m）， 所以MN＝AM sin 60°＝100 × ＝150（m）. 数学·必修第二册 目 录 04 PART 知识点四 测量角度问题 目 录 【例4】　（链接教材P50例11）甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船以每小时a海里的速度向正北行驶，已知甲船的速度是每小时 a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 解：如图所示. 设经过t小时两船在C点相遇， 易知BC＝at海里，AC＝ at海里，B＝120°， 由 ＝ ， 数学·必修第二册 目 录 得 sin ∠CAB＝ ＝ ， 又0°＜∠CAB＜60°，∴∠CAB＝30°， ∴∠DAC＝60°－30°＝30°， ∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 测量角度问题画示意图的基本步骤 数学·必修第二册 目 录 训练4　〔多选〕如图，在海面上有两个观测点B和D，B在D的正北方 向，距离为2 n mile，在某天10：00观察到某船在C处，此时测得∠CBD ＝45°，5 min后该船行驶至A处，此时测得∠ABC＝30°，∠ADB＝ 60°，∠ADC＝30°，则（　　） A. 观测点B位于A的北偏东75°方向 B. 当天10：00时，该船到观测点B的距离 为 n mile C. 当船行驶至A处时，该船到观测点B的距离为 n mile D. 该船由C行驶至A行驶了 n mile √ √ √ 数学·必修第二册 目 录 解析： 　A中，∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝30°＋45°＝75°，因 为B在D的正北方向，所以B位于A的北偏东75°方向，故A正确；B中， 在△BCD中，∠CDB＝∠ADC＋∠ADB＝30°＋60°＝90°，∠CBD＝ 45°，BD＝2 n mile，所以BC＝2 n mile，故B错误；C中，在△ABD 中，∠ADB＝60°，∠BAD＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得 ＝ ，即AB＝ ＝ n mile，故C正确；D中，在 △ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC· cos ∠ABC＝6＋ 8－2× ×2 × ＝2，则AC＝ n mile，故D正确.故选A、C、D. 数学·必修第二册 目 录 海伦——秦九韶公式 在解三角形的问题中，一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a， b，c直接求出三角形的面积.据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米 德解决的，他得到了公式S＝ ，这里p＝ （a ＋b＋c）.但现在人们常常以古希腊的数学家海伦（Heron，约1世纪）的 名字命名这个公式，因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中， 公式的证明在海伦的著作《测量仪器》和《度量术》中可以找到. 数学·必修第二册 目 录 我国南宋著名数学家秦九韶（约1202—1261年）也发现了与海伦公式等价 的从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，就是S ＝ . 秦九韶独立推出了“三斜求积”公式.它虽然与海伦公式形式上不一 样，但两者完全等价，从中可以充分说明我国古代学者已具有很高的 数学水平. 数学·必修第二册 目 录 【迁移应用】 1. 已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝6，b ＋c＝10.则△ABC的面积最大值为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 解析：　依题意，p＝ ＝8，则S＝ ＝ 4 ＝4 ，所以b＝5时，Smax＝12，所以 △ABC的面积最大值是12.故选D. √ 数学·必修第二册 目 录 2. 海伦公式是利用三角形的三条边的边长a，b，c直接求三角形面积S的 公式，表达式为：S＝ （其中p＝ ）； 它的特点是形式漂亮，便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶独立提出了 “三斜求积术”，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦— 秦九韶公式.现在有周长为10＋2 的△ABC满足 sin A∶ sin B∶ sin C＝ 2∶3∶ ，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为（　　） A. 8 B. 4 C. 6 D. 12 √ 数学·必修第二册 目 录 解析：∵ sin A∶ sin B∶ sin C＝2∶3∶ ，∴a∶b∶c＝2∶3∶ ，∵△ABC周长为10＋2 ，即a＋b＋c＝10＋2 ，∴a＝4，b＝6，c＝2 ，∴p＝ ＝5＋ ，∴△ABC的面积S＝ ＝6 .故选C. 数学·必修第二册 目 录 1. 如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察 站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯 塔B的（　　） A. 北偏东10°方向上 B. 北偏西10°方向上 C. 南偏东80°方向上 D. 南偏西80°方向上 √ 解析：　由条件及题图可知，∠BAC＝∠ABC＝40°. 又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上.故选D. 数学·必修第二册 目 录 2. 如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所 在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°， ∠CAB＝105°后，可以计算出A，B两点间的距离为 （　　） A. 50 m B. 50 m C. 25 m D. m 解析：　∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC中，由 ＝ ，得AB＝100× ＝50 （m）. √ 数学·必修第二册 目 录 3. 如图，测量河对岸塔高AB时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测 量基点C和D. 现测得α＝75°，β＝60°，CD＝20 m，在点C处测得塔顶 A的仰角为θ＝60°，则塔高AB＝（　　） A. 30 m B. 20 m C. 30 m D. 10 m √ 数学·必修第二册 目 录 解析：　在△BCD中，∠CBD＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定 理得 ＝ ，则BC＝ ＝ ＝10 （m），在Rt△ABC 中，AB＝BC·tan θ＝10 × ＝30 （m）.故选C. 数学·必修第二册 目 录 4. 在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向， 相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以10 n mile/h的速度沿南偏东 75°方向前进，侦察艇以14 n mile/h的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝 方的小艇.若要在最短的时间内拦截住， 则红方侦察艇所需的时间为 h， 角α的正弦值为 ⁠. 2　 　 数学·必修第二册 目 录 解析：如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝 方小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.在 △ABC中，根据余弦定理得（14x）2＝122＋（10x）2 －240x cos 120°，解得x＝2或x＝－ （舍），故AC ＝28 n mile，BC＝20 n mile，根据正弦定理得 ＝ ，解得 sin α＝ ＝ .所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为 . 数学·必修第二册 目 录 课堂小结 1.理清单 不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案. 2.应体会 求解不可到达的距离、高度、角度等实际问题时，策略就是把实际问题 转化为解三角形问题，体现了转化与化归和数形结合的思想方法. 3.避易错 测量中有关术语的含义，如方位角、方向角. 数学·必修第二册 目 录 课时作业 05 PART 目 录 1. 若点A在点C的北偏东30°方向上，点B在点C的南偏东60°方向上， 且AC＝BC，则点A在点B的（　　） A. 北偏东15°方向上 B. 北偏西15°方向上 C. 北偏东10°方向上 D. 北偏西10°方向上 解析：　如图所示，∠ACB＝90°，又因为AC＝BC，所以 ∠CBA＝45°.因为β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝ 15°，所以点A在点B的北偏西15°方向上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册 目 录 2. 从高出海平面h米的小岛上看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方 向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为（　　） A. 2h米 B. h米 C. h米 D. 2 h米 解析：　如图所示，BC＝ h，AC＝h，所以AB＝ ＝2h，即此时两船间的距离为2h米.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 3. 某人从出发点A向正东走x m后到达B，然后向左转150°再向前走3 m 到达C，测得△ABC的面积为 m2，此人这时离出发点的距离为（　　） A. 3 m B. m 解析：如图所示，由题意得∠ABC＝30°，AB＝x， BC＝3，∵S△ABC＝ AB·BC sin ∠ABC＝ x＝ ， ∴x＝ .由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos ∠ABC＝12－6 cos 30°＝3，∴AC＝ ，即此人这时离出发点的距离为 m.故选D. C. m D. m √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 4. 江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为 45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距 （　　） A. 20 m B. m C. 30 m D. 30 m √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析：　如图，过炮台顶部A作水平面的垂线，垂足 为B，设A处观测小船C的俯角为45°，A处观测小船 D的俯角为30°，连接BC，BD，在Rt△ABC中， ∠ACB＝45°，可得BC＝AB＝30 m，在Rt△ABD 中，∠ADB＝30°，可得BD＝ AB＝30 m，在 △BCD中，BC＝30 m，BD＝30 m，∠CBD＝30°，由余弦定理，得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD· cos 30°＝900，∴CD＝30 m，即两船相 距30 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 5. 〔多选〕甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为60°，从 甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则下列说法正确的有（　　） A. 甲楼的高度为20 m B. 甲楼的高度为10 m C. 乙楼的高度为 m D. 乙楼的高度为10 m √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析： 　如图所示，在Rt△ABD中，∠ABD＝ 60°，BD＝20 m，所以AD＝BDtan 60°＝20 m， AB＝40 m，在△ABC中，由题易知∠CAB＝30°＝ ∠CBA，∠ACB＝120°，设AC＝BC＝x，由余弦定 理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC· cos ∠ACB，即1 600＝x2＋x2＋x2，解得x＝ ，则乙楼的高度为 m.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 6. 〔多选〕一艘客船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°方 向，之后它以每小时32 n mile的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10： 00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距8 n mile，则灯塔S可能在B处 的（　　） A. 北偏东75°方向 B. 南偏东15°方向 C. 东北方向 D. 东南方向 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析： 　画出示意图如图，客船半小时航行的路程为 32× ＝16（n mile），所以AB＝16 n mile.又BS＝8 n mile，∠BAS＝30°，所以 ＝ ，所以 sin ∠ASB＝ ，所以∠ASB＝45°或∠ASB＝135°.当船在B处时，∠ASB＝45°，∠B'BS＝75°；当船在B'处时，∠ASB'＝135°，∠AB'S＝15°.综上，灯塔S在B处的北偏东75°方向或南偏东15°方向，故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 7. 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 . 解析：依题意，可得AD＝20 ，AC＝30 ，又CD＝50，所以在 △ACD中，由余弦定理的推论，得 cos ∠CAD＝ ＝ ＝ ，又0°＜∠CAD＜180°，所以∠CAD＝ 45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°. 45°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 8. 如图，已知两座灯塔A，B与C的距离都是 km，灯塔A在C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为 km. 3　 解析：连接AB，由题意得AC＝BC＝ ，∠ACB＝120°，则AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC· cos 120°＝3＋3－2×3× ，即AB2＝9，即AB＝3 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 9. 如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向40 n mile的B处有 一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西 30°，相距20 n mile的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向，即沿直线 CB前往B处救援，则 cos θ＝ ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析：因为在△ABC中，AB＝40 n mile，AC＝20 n mile，∠BAC＝ 120°，所以由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC· cos 120°＝2 800，所以BC＝20 n mile.由正弦定理，得 sin ∠ACB＝ · sin ∠BAC ＝ .由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，故 cos ∠ACB＝ .从而 cos θ＝ cos （∠ACB＋30°）＝ cos ∠ACB cos 30°－ sin ∠ACB sin 30° ＝ × － × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 10. 如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一种是 从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线 步行到C. 山路AC长为1 260 m，经测量， cos A＝ ， cos C＝ ，求索道 AB的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解：在△ABC中，因为 cos A＝ ， cos C＝ ， 所以 sin A＝ ， sin C＝ ， 从而 sin B＝ sin [π－（A＋C）]＝ sin （A＋C）＝ sin A cos C＋ cos A sin C＝ × ＋ × ＝ . 由 ＝ ，得AB＝ · sin C＝ × ＝1 040（m）. 所以索道AB的长为1 040 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 11. 如图，已知长方形墙ACFE把地面上的B，D两点隔开，该墙与地面垂 直，长10 m，高3 m.已测得AB＝6 m，BC＝8 m.现欲通过计算，能唯一 求得B，D两点之间的距离，需要进一步测量的几何量可以为（　　） A. 点D到AC的距离 B. CD的长度和DF的长度 C. ∠ACB和∠ADC D. CD的长度和∠ACD √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析：如图，连接BD. 因为在△ABC中，AB＝6 m，BC ＝8 m，AC＝10 m，所以AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC， 所以 sin ∠BAC＝ ＝ ， sin ∠BCA＝ ＝ .对于A， 若测量点D到AC的距离，则在△BCD或△ABD中只有一条边长度已知，无法求解BD的长，所以A选项错误；对于B，若测量CD的长度和DF的长度，则在△BCD中有两边长度已知，或△ABD中只有一条边长度已知，无法求解BD的长，所以B选项错误；对于C，若测量∠ACB和∠ADC，则在△BCD或△ABD中只有一条边已知，无法求解BD的长，所以C选项错误；对于D，若测量CD的长度和∠ACD，则在△BCD中，可求出 cos ∠BCD＝ cos （∠BCA＋∠ACD）＝ cos ∠BCA· cos ∠ACD－ sin ∠BCA· sin ∠ACD，而BC＝8 m，所以由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos ∠BCD，从而可求出BD，所以D选项正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 12. 〔多选〕某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°方向上，距离为 12 海里；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向上，距离为8 海 里.货轮自A处向正北方向航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向 上，则下列说法正确的是（　　） A. A处与D处之间的距离是24海里 B. 灯塔C与D处之间的距离是8 海里 C. 灯塔C在D处的西偏南60°的方向上 D. D处在灯塔B的北偏西30°的方向上 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析：根据题意作出图形如图所示，由货轮在A处看 灯塔B在货轮北偏东75°方向上，距离为12 海里， 得∠BAD＝75°，AB＝12 （海里）；由货轮在A 处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向上，距离为8 海里，得∠CAD＝30°，AC＝8 （海里）；由货轮自A处向正北方向航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向上，得∠ADB＝60°，所以在△ABD中，B＝180°－60°－75°＝45°.对于A，在△ABD中，由正弦定理得 ＝ ，所以AD＝ ＝ ＝24（海里），故A正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 对于B，在△ACD中，由余弦定理得CD＝ ＝ ＝8 （海里）， 故B正确；对于C，因为CD＝AC，所以∠CDA＝ ∠CAD＝30°，所以灯塔C在D处的南偏西30°的方向上，即灯塔C在D处的西偏南60°的方向上，故C正确；对于D，由∠ADB＝60°，灯塔B在D处的南偏东60°的方向上，则D处在灯塔B的北偏西60°的方向上，故D错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 13. 当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m的竹竿，要使它 的影子最长，则竹竿与地面所成的角α＝ ⁠. 解析：作出示意图如图所示，设竹竿的影子长为x m，依据正弦定理可得 ＝ ，所以x＝ × sin （120°－α），因为0°＜120°－α＜120°，所以要使x最大，只需 sin （120°－α）＝1，即120°－α＝90°，所以当α＝30°时，影子最长. 30°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解：如图，过点D作DE∥AC，交BC于点E， 因为∠DAC＝20°，所以∠ADE＝160°，所以 ∠ADB＝360°－160°－65°＝135°. 易知∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°. 在△ABD中，由正弦定理，得AB＝ ＝ ＝1 000 （m）. 在Rt△ABC中，BC＝AB sin 35°≈1 000×1.414×0.573 6≈811（m）. 所以山的高度约为811 m. 14. 某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，求山的高度.（精确到1 m， sin 35°≈0.573 6， ≈1.414） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 15. 某海岸的A哨所在凌晨1点15分发现哨所北偏东30° 方向20 n mile处的D点出现可疑船只，因天气恶劣能见 度低，无法对船只进行识别，所以将该船雷达特征信号 进行标记并上报周围哨所.早上5点15分位于A哨所正西 方向20 n mile的B哨所发现了该可疑船只位于B哨所北偏西30°方向60 n mile处的E点，并识别出其为走私船，立刻命令位于B哨所正西方向30 n mile处C点的我方缉私船前往拦截，已知缉私船速度大小为30 n mile/h. （假设所有船只均保持匀速直线航行） （1）求走私船的速度大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解：如图，连接BD， ∵D点位于A哨所北偏东30°方向20 n mile处， ∴∠BAD＝90°＋30°＝120°，AD＝20，∵AB＝20， ∴BD＝ ＝20 . ∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝30°. ∵E点位于B哨所北偏西30°方向60 n mile处， ∴∠DBE＝90°－30°＋30°＝90°，∴DE＝ ＝40 . 设走私船的速度大小为v， 则v＝ ＝10 （n mile/h），∴走私船的速度大小为10 n mile/h. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）缉私船沿什么方向行驶才能截获走私船，并求出截获走私船的具体 时间. 解：连接CE，设在F点处截获走私船，截获走私 船所需时间为t. ∵BE＝60，BC＝30，∠CBE＝60°， ∴CE＝ ＝30 . ∵BE2＝BC2＋CE2，∴∠BCE＝90°，∠BEC＝ 30°，∴∠CEF＝120°. ∵走私船速度大小为10 n mile/h，缉私船速度大小为30 n mile/h， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 ∴EF＝10 t，CF＝30t， 在△CEF中，根据余弦定理得，CF2＝CE2＋EF2－2CE·EF cos 120°， 即900t2＝2 700＋300t2－2×30 ×10 t cos 120°， 化简得2t2－3t－9＝0， ∴t＝－ （舍去）或t＝3， 此时CE＝EF＝30 ，∴∠ECF＝30°， ∴缉私船沿北偏西30°方向行驶，3小时后即早上8点15分可截获走私船. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 $