精品解析：湖北省武汉市华宜寄宿学校2025-2026学年九年级下学期6月调研数学试卷

2025-2026学年武汉市华宜寄宿学校九年级下学期6月调研 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列美术字可以看作为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 武汉的“樱花季”闻名全国，每年春天，成千上万的游客都会前往东湖樱花园或武汉大学赏樱．在下列与赏樱相关的描述中，属于必然事件的是（ ） A. 3月份去东湖樱花园，恰好遇到一场春雨 B. 在武汉大学樱花大道上，随机遇到一位外地游客 C. 樱花的花期是有限的，最终一定会凋谢 D. 购买一张樱花园的门票，抽中景区的免单大奖 3. 方斗杯是明代嘉靖时期流行的杯形之一，造型别致．如图1，中国国家博物馆藏有一例黄地绿彩云龙纹方斗杯，图2为其示意图，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 根据最新的人口统计数据，湖北省常住人口约为5838万人．将数据“5838万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点C顺时针旋转得到．当点落在的延长线上时，恰好，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 甲车从城出发匀速行驶至城，乙车从城出发匀速行驶至城，在整个行驶过程中，甲、乙两车距离城的距离与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（ ） A. 两城相距 B. 乙车比甲车晚出发1小时 C. 甲乙两车相遇时甲车行驶了2.5小时 D. 当甲、乙两车相距96千米时， 8. 武汉过早文化博大精深，小明计划连续三天在“热干面”、“三鲜豆皮”、“鲜鱼糊汤粉”这三种特色美食中，每天随机选择一种作为早餐（每天的选择相互独立）．则小明这三天吃到的早餐至少有两次相同的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的外接圆，，，连接并延长交于点，若，则的值为( ) A. B. C. D. 10. 如图，在中，．点从出发，沿向终点运动，过作于点，连接．设点的运动路径长为的面积为，的面积为关于的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. 点在函数图象上 C. 的最大值为4 D. 当时， 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置． 11. 中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上记作，则零下记作_________． 12. 武汉光谷作为国家自主创新示范区，高新企业数量连年攀升．经统计，光谷某高新产业园的入驻企业年均产值（单位：亿元）与园区投入的研发资金x（单位：千万元）近似满足反比例函数关系．已知当时，入驻企业年均产值随研发资金的增大而减小，请写出一个满足条件的m的值：______． 13. 分式方程的解是_______． 14. 小明与小亮相约到某旅游风景区登山．如图，他们由山底处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点、、、、在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为，经工作人员介绍知山顶处与处的水平距离约为．则山的高度为___________．（参考数据：，，） 15. 如图，在矩形中，，点E，F分别在边上，且，按以下步骤操作：第一步，沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，点B的对应点为，则线段的长为_______；第二步，分别在上取点M，N，沿直线继续翻折，使点F与点E重合，则线段的长为_______． 16. 已知二次函数（，，为常数，）图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程（）有两个不相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而增大； ③； ④； ⑤对于任意实数，总有． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题（共8小题，共72分） 下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 解不等式组，并求出它的正整数解． 18. 如图，平行四边形中，对角线相交于点，点是对角线的三等分点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）不添加辅助线的情况下，添加一个与有关的条件 ，可使四边形是矩形． 19. 随着“限塑令”的升级，环保意识逐渐深入人心．某社区为了了解居民家庭每周使用可降解塑料袋的情况，随机调查了该社区户家庭，统计了他们每周使用可降解塑料袋的数量（单位：个），根据统计的结果，绘制出如下的统计图和图．请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为 ，图中的值为 ，被调查家庭每周使用塑料袋数量的众数和中位数分别为______和______； （2）求被调查家庭每周使用可降解塑料袋数量的平均数； （3）若该社区共有户家庭，估计该社区每周使用可降解塑料袋数量为个的家庭有多少户？ 20. 如图，AB是的直径，点P是延长线上一点，过点P作的切线，切点是C，过点C作弦于E，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不超过三条． （1）在图（1）中，画的中点D； （2）在（1）的基础上，在边上画点E，使； （3）在图（2）中，在边上画点F，使； （4）在（3）的基础上，画点F关于的对称点G． 22. 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系． 请回答下列问题： （1）如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式； （2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长； （3）如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长． 23. 如图，在矩形中，点O是的中点，点M是射线上动点，点P在线段上（不与点A重合），． （1）判断的形状，并说明理由． （2）当点M为边中点时，连接并延长交于点N．求证：． （3）点Q在边上，，当时，求的长． 24. 已知抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与轴交于点C． （1）当时，直接写出抛物线的解析式； （2）若抛物线上一点D的横坐标为3，且A，D两点关于直线对称，求的值； （3）在（1）的条件下，点P是轴上一点，点Q在第一象限的抛物线上，是否存在点P，Q，使得过点P的任意一条直线交抛物线于M，N两点（不与点Q重合），总有？若存在，求出点P，Q两点的坐标；若不存在，简要说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年武汉市华宜寄宿学校九年级下学期6月调研 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列美术字可以看作为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，逐一分析选项． 【详解】解：A、“华”：找不到能使图形折叠后两侧完全重合的直线，不是轴对称图形； B、“宜”字：沿竖直中线折叠，直线两侧部分可以完全重合，是轴对称图形； C、“必”：点的分布不对称，折叠后无法重合，不是轴对称图形； D、“胜”：左右结构不对称，折叠后无法重合，不是轴对称图形． 2. 武汉的“樱花季”闻名全国，每年春天，成千上万的游客都会前往东湖樱花园或武汉大学赏樱．在下列与赏樱相关的描述中，属于必然事件的是（ ） A. 3月份去东湖樱花园，恰好遇到一场春雨 B. 在武汉大学樱花大道上，随机遇到一位外地游客 C. 樱花的花期是有限的，最终一定会凋谢 D. 购买一张樱花园的门票，抽中景区的免单大奖 【答案】C 【解析】 【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件，随机事件指可能发生也可能不发生的事件. 根据必然事件和随机事件的定义，逐一判断选项即可. 【详解】解：A .3月份去东湖樱花园遇到春雨，是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件； B.在武汉大学樱花大道随机遇到一位外地游客，是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件； C.樱花花期有限，最终一定会凋谢，是一定发生的事件，属于必然事件； D.购买门票抽中免单大奖，是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件. 3. 方斗杯是明代嘉靖时期流行的杯形之一，造型别致．如图1，中国国家博物馆藏有一例黄地绿彩云龙纹方斗杯，图2为其示意图，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图进行求解即可． 【详解】解：它的主视图是． 4. 根据最新的人口统计数据，湖北省常住人口约为5838万人．将数据“5838万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将“5838万”转换为普通整数，再根据科学记数法的规则确定系数和指数即可． 【详解】解：∵万，科学记数法的形式为，要求，为整数， ∴ 对于可得，，即万． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法运算，熟练掌握整式乘法的运算法则是解题的关键．根据合并同类项法则，幂的运算法则，单项式乘以单项式运算法则以及完全平方公式进行计算，即可判断答案． 【详解】A、与不是同类项，不能合并，所以A选项错误，不符合题意； B、，所以B选项错误，不符合题意； C、计算正确，符合题意； D、，所以D选项错误，不符合题意． 故选C． 6. 如图，将绕点C顺时针旋转得到．当点落在的延长线上时，恰好，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和平行线的性质． 利用旋转的性质得出，再利用等腰三角形的性质得出，可得． 【详解】解：由旋转知，，， ， ， ， ， ， 故选B． 7. 甲车从城出发匀速行驶至城，乙车从城出发匀速行驶至城，在整个行驶过程中，甲、乙两车距离城的距离与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（ ） A. 两城相距 B. 乙车比甲车晚出发1小时 C. 甲乙两车相遇时甲车行驶了2.5小时 D. 当甲、乙两车相距96千米时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意t是甲车所用的时间．观察图象可判断A、B，由图象所给数据可求得甲、乙两车的速度，然后根据两车相遇时所走路程之和为360列出方程，解方程即可求出t，从而判断C；分甲、乙两车相遇前、后两种情况，根据两车所走路程与A，B两地之间距离和甲、乙位置列出方程求出t即可判断D． 【详解】解：由图象可知A、B两城市之间的距离为，乙是在甲出发1小时后出发的， 故A、B都正确，不符合题意； 甲车速度为：，乙车的速度为， 设甲车出发t小时，两车相遇， 根据题意得：， 解得， ∴甲车出发2.5小时，两车相遇， 故C正确，不符合题题； 两车相遇前，甲、乙两车相距96千米， 根据题意得，， 解得； 两车相遇后，甲、乙两车相距96千米， 根据题意得，， 解得， 综上所述，当或3时甲、乙两车相距96千米， 故D错误，符合题意． 故选：D． 8. 武汉过早文化博大精深，小明计划连续三天在“热干面”、“三鲜豆皮”、“鲜鱼糊汤粉”这三种特色美食中，每天随机选择一种作为早餐（每天的选择相互独立）．则小明这三天吃到的早餐至少有两次相同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先画树状图得到所有可能的结果数，再从中找出符合题意的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：设三种特色美食分别为A、B、C，根据题意画树状图如下： 共有27种等可能的结果，其中三天吃到的早餐至少有两次相同的有21种， ∴小明三天吃到的早餐至少有两次相同的概率为． 9. 如图，是的外接圆，，，连接并延长交于点，若，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理可得，得出是等腰直角三角形，进而可得，证明得出，根据已知设，，代入比例式求得，进而求得，在中，勾股定理求得，代入，即可求解． 【详解】解：如图，连接 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又∵ ∴ ∴，即 ， ∵， 故设，， ∴ ∴， ∵ 在中， ∴ ∴ 10. 如图，在中，．点从出发，沿向终点运动，过作于点，连接．设点的运动路径长为的面积为，的面积为关于的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. 点在函数图象上 C. 的最大值为4 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】根据图2可得的长度为，可得；画出时的图形，计算的面积即可；根据题意可得当时，的面积最大；画出时的图形，计算和的面积即可． 【详解】解：根据函数图象可得的长度为， ， ，故A正确； 当时，如图，则， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 即时，， ∴点不在函数图象上，故B错误； 可得当时，的面积最大， 此时， ，故C正确； 当时，如图，则，， ， ， 即当时，，故D正确． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置． 11. 中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上记作，则零下记作_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：零上记作，则零下记作．， 故答案为：． 12. 武汉光谷作为国家自主创新示范区，高新企业数量连年攀升．经统计，光谷某高新产业园的入驻企业年均产值（单位：亿元）与园区投入的研发资金x（单位：千万元）近似满足反比例函数关系．已知当时，入驻企业年均产值随研发资金的增大而减小，请写出一个满足条件的m的值：______． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，得到反比例函数的比例系数大于0，列出关于的不等式，求解得到的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：对于反比例函数，当且时，随的增大而减小． 由题意得反比例函数的比例系数，因此可得不等式 移项得 系数化为得 任取一个满足条件的即可，例如． 13. 分式方程的解是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先变形统一分母，再将分式方程化为一元一次整式方程，求解后检验即可得到原方程的解． 【详解】解：原方程可变形为 两边同乘最简公分母，去分母得 去括号得 移项、合并同类项得 系数化为得 经检验，是原分式方程的解． 14. 小明与小亮相约到某旅游风景区登山．如图，他们由山底处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点、、、、在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为，经工作人员介绍知山顶处与处的水平距离约为．则山的高度为___________．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，构造矩形和直角三角形，利用含度角的直角三角形性质求出的长，即的长，再在中利用正切函数求出的长，最后由求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， 四边形是矩形 ，  ， 在中，，，  ， ， 在中，， ，  ， ， ． 15. 如图，在矩形中，，点E，F分别在边上，且，按以下步骤操作：第一步，沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，点B的对应点为，则线段的长为_______；第二步，分别在上取点M，N，沿直线继续翻折，使点F与点E重合，则线段的长为_______． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】第一步：设EF与AA’交于点O，连接AF，易证明△AOE△ADC，利用对应边成比例可得到OA=2OE，由勾股定理可求出OE=，从而求得OA及OC；由AD∥BC，易得△AOE∽△COF，由对应边成比例可得AE、FC的关系式，设BF=x，则FC=8-x，由关系式可求得x的值； 第二步：连接NE，NF，根据折叠的性质，得到NF=NE，设B’N=m，分别在Rt△和Rt△中，利用勾股定理及NF=NE建立方程，可求得m，最后得出结果． 【详解】如图所示，连接AF， 设EF与AA’交于点O，由折叠的性质得到AA’⊥EF， ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠ADC=90°，CD=AB=4 ，AD∥BC ∵∠AOE=∠ADC，∠OAE=∠DAC ∴△AOE△ADC， ∴ ， ∴OA=2OE， 在直角△AOE中，由勾股定理得： ， ∴OE=， ∴OA=， 在Rt△ADC中，由勾股定理得到：AC= ， ∴OC=， 令BF=x，则FC=8-x， ∵AD∥BC， ∴△AOE∽△COF， ∴ ， 即7AE=3FC ∴3(8-x)=7×3 解得：, ∴的长为1． 连接NE，NF，如图， 根据折叠性质得：BF=B’F=1，MN⊥EF，NF=NE， 设B’N=m， 则 ， 解得：m=3，则NF= ， ∵EF=， ∴MF=， ∴MN=， 故答案为：1，． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、三角形相似的判定与性质，矩形的性质等知识，熟练运用这些知识是解决本题的关键，本题还涉及到方程的运用． 16. 已知二次函数（，，为常数，）图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程（）有两个不相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而增大； ③； ④； ⑤对于任意实数，总有． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】先根据顶点坐标得到对称轴，结合已知交点利用对称性得到抛物线与轴的另一个交点，判断开口方向，再逐一验证各结论即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， 抛物线对称轴为直线， ∵抛物线经过点，根据二次函数的对称性，可得抛物线与轴的另一个交点为， 又∵抛物线经过，且，即点在轴上方，可得抛物线开口向下，即， ① 关于的方程可变形为， ∵抛物线开口向下，最大值为顶点纵坐标， ，直线与抛物线有两个不同的交点， 方程有两个不相等的实数根，故①正确； ②∵抛物线开口向下，对称轴为， 当时，的值随值的增大而减小，故②错误； ③设抛物线的交点式为，展开得： ， 当时，， 即， ∵， ， 解得：，故③正确； ④是时的函数值， ∵，抛物线开口向下，且和处函数值为， 当时，， 时，，故④错误； ⑤ 由对称轴公式，可得， 将代入式子左边： ∵，， ，即对任意实数，总有，故⑤正确； 综上，正确结论的序号是①③⑤． 三、解答题（共8小题，共72分） 下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 解不等式组，并求出它的正整数解． 【答案】， 【解析】 【分析】先分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再求出两个解集的公共部分得到不等式组的解集，最后从解集中筛选出正整数即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得，， ∴原不等式组的解集为， ∴满足题意的正整数解为1． 18. 如图，平行四边形中，对角线相交于点，点是对角线的三等分点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）不添加辅助线的情况下，添加一个与有关的条件 ，可使四边形是矩形． 【答案】（1）证明：∵ 四边形是平行四边形， ∴，， ∵是的三等分点， ∴， ∴，即， ∴ 四边形的对角线、互相平分， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（）利用平行四边形对角线性质和三等分点条件，证得四边形对角线互相平分，从而判定其为平行四边形； （）根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，添加条件(或等价的)即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 添加一个条件时，四边形是矩形， 理由如下： ∵点是对角线的三等分点， ∴， ∵， ∴， 由（）得：四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 19. 随着“限塑令”的升级，环保意识逐渐深入人心．某社区为了了解居民家庭每周使用可降解塑料袋的情况，随机调查了该社区户家庭，统计了他们每周使用可降解塑料袋的数量（单位：个），根据统计的结果，绘制出如下的统计图和图．请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为 ，图中的值为 ，被调查家庭每周使用塑料袋数量的众数和中位数分别为______和______； （2）求被调查家庭每周使用可降解塑料袋数量的平均数； （3）若该社区共有户家庭，估计该社区每周使用可降解塑料袋数量为个的家庭有多少户？ 【答案】（1）； （2）； （3）户． 【解析】 【分析】（）根据次的户数与占比求总户数，算出次占比得，统计各组户数确定众数，取排序中间两数平均得中位数； （）加权求和除以总户数计算平均数； （）用样本中个塑料袋家庭占比乘社区总户数估算总体数量． 【小问1详解】 解：∵由图知次的有户，占比， ∴总调查户数； ∵次的有户，占比 ， ∴； ∵次的户数为，次的户数最多， ∴众数为； 个数据从小到大排列， 第个数据是， 第个数据是， ∴中位数为； 【小问2详解】 解： ， 答：被调查家庭每周使用可降解塑料袋数量的平均数为个； 【小问3详解】 解： （户）， 答：该社区每周使用可降解塑料袋数量为个的家庭有户． 20. 如图，AB是的直径，点P是延长线上一点，过点P作的切线，切点是C，过点C作弦于E，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的切线， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，即，得到根据等腰三角形的性质得到，，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）如图2，连接，根据圆周角定理得到，设，，根据勾股定理得到，，，求得，，，解直角三角形即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， 设，， 则由勾股定理得：， 解得：，，， ∵， 即， ∴，，， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 【点睛】此题考查圆的切线的判定与性质、勾股定理等，解直角三角形的相关计算，圆周角定理，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线解题. 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不超过三条． （1）在图（1）中，画的中点D； （2）在（1）的基础上，在边上画点E，使； （3）在图（2）中，在边上画点F，使； （4）在（3）的基础上，画点F关于的对称点G． 【答案】（1）解：如图所示为所求： （2）解：如图所示为所求： （3）解：如图所示为所求： （4）解：如图所示为所求： 【解析】 【分析】（1）找到以为对角线的矩形，连接另一条对角线，利用矩形对角线互相平分即可找到的中点； （2）利用网格线的特点过点作的垂线交于点，连接，由直角三角形的性质（斜边上的中线是斜边的一半）即可得到； （3）取格点，连接，使得，取格点，连接交于点，易证，推出，进而得到，结合，可得； （4）取格点，连接，使得，可得关于对称，得到，连接交于点，作射线交于点，证明，推出，即可得到点F关于的对称点G． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 22. 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系． 请回答下列问题： （1）如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式； （2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长； （3）如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时对应的自变量的值，得到的长，再减去两个正方形的边长即可得解； （3）求出直线的解析式，进而设出过点的光线解析式为，利用光线与抛物线相切，求出的值，进而求出点坐标，即可得出的长． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， ∵四边形为矩形，为的中垂线， ∴，， ∵， ∴点，代入，得： ， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ∵四边形，四边形均为正方形，， ∴， 延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形， ∴， ∴， ∵，当时，，解得：， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵，垂直平分， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则：，解得：， ∴， ∵太阳光为平行光， 设过点平行于的光线的解析式为， 由题意，得：与抛物线相切， 联立，整理得：， 则：，解得：； ∴，当时，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． 23. 如图，在矩形中，点O是的中点，点M是射线上动点，点P在线段上（不与点A重合），． （1）判断的形状，并说明理由． （2）当点M为边中点时，连接并延长交于点N．求证：． （3）点Q在边上，，当时，求的长． 【答案】（1） 解：为直角三角形，理由如下： ∵点O是的中点，， ∴， ∴，， ∵ ， ∴， ∴， ∴为直角三角形； （2） 证明：如图，延长AM，BC交于点E， 由矩形的性质知：，， ∴， ∵ 点M为边中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴，即C点为BE的中点， 由（1）知， ∴，即为直角三角形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （3）或12 【解析】 【分析】（1）由点O是的中点，可知，由等边对等角可以推出； （2）延长AM，BC交于点E，先证，结合（1）的结论得出PC是直角斜边的中线，推出，进而得到，再通过等量代换推出，即可证明； （3）过点P作AB的平行线，交AD于点F，交BC于点G，得到两个K型，证明，，利用相似三角形对应边成比例列等式求出QF，FP，再通过即可求出DM． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点P作AB的平行线，交AD于点F，交BC于点G， 由已知条件，设，， 则，，． ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 同理，∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． ∴， 解得， ∴， 将代入得， 整理得， 解得或． ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴当时，， 当时，，此时点M在DC的延长线上， 综上，的长为或12． 【点睛】本题考查矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定与性质等，第3问有一定难度，解题关键是作辅助线构造K字模型． 24. 已知抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与轴交于点C． （1）当时，直接写出抛物线的解析式； （2）若抛物线上一点D的横坐标为3，且A，D两点关于直线对称，求的值； （3）在（1）的条件下，点P是轴上一点，点Q在第一象限的抛物线上，是否存在点P，Q，使得过点P的任意一条直线交抛物线于M，N两点（不与点Q重合），总有？若存在，求出点P，Q两点的坐标；若不存在，简要说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在点，，使得过点P的任意一条直线交抛物线于M，N两点（不与点Q重合），总有 【解析】 【分析】（1）先求得两点的坐标，用含的式子表示出点坐标，再由得出，求出值，进而即可得解； （2）如图，连接，先表示出 ，由轴对称性质和两点间的距离公式得，求出值，由得； （3）设，，，，过点P的任意一条直线解析式为，由根与系数关系和相似三角形的性质得出，由总有，得出等式恒成立的条件是含的方程的各项系数为零，得出方程组，解方程组即可得解． 【小问1详解】 解：令得，令得， ∴解方程得，，， ∵抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与轴交于点C， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为 ； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵抛物线上一点D的横坐标为3， ∴， ∴ ， ∵A，D两点关于直线对称，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：存在点P，Q，使得过点P的任意一条直线交抛物线于M，N两点（不与点Q重合），总有，理由如下， 设，，，，过点P的任意一条直线解析式为， ∴， ∴， ∴，，，， 如图，过点作轴的平行线，与过点作轴的平行线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵总有， ∴， 由①得， 将④代入②变形得， 将④⑤代入③得， ∴，（舍去）， 当时，， ∴存在点，，使得过点P的任意一条直线交抛物线于M，N两点（不与点Q重合），总有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 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