湖北省武汉市华宜寄宿学校2025-2026学年九年级下学期6月调研数学试卷

**基本信息** 2025-2026学年武汉华宜寄九年级6月调研数学试卷（二模），以樱花季、光谷科技、方斗杯等武汉特色情境为载体，融合几何直观、运算能力与模型意识，实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称、概率、三视图等|“过早文化”考概率（第8题），方斗杯考三视图（第3题）| |填空题|6/18|负数表示、反比例函数、解直角三角形等|光谷研发资金考反比例函数（第12题），登山缆车考解直角三角形（第14题）| |解答题|8/72|不等式组、圆的切线、二次函数应用等|蔬菜大棚抛物线建模（第22题），矩形动态几何推理（第23题），二次函数存在性问题（第24题）|

2025-2026学年武汉市华宜寄宿学校九年级下学期6月调研华宜寄数学教研组 2026.06.15 秘密★2026年06月15日 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性。下列美术字可以看作为轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．武汉的“樱花季”闻名全国，每年春天，成千上万的游客都会前往东湖樱花园或武汉大学赏樱。在下列与赏樱相关的描述中，属于必然事件的是（ ） A．3月份去东湖楼花园，恰好遇到一场春雨 B．在武汉大学樱花大道上，随机遇到一位外地游客 C．樱花的花期是有限的，最终一定会凋谢 D．购买一张樱花园的门票，抽中景区的免单大奖 3．方斗杯是明代嘉靖时期流行的杯形之一，造型别致，如图1，中国国家博物馆藏有一例黄地绿彩云龙纹方斗杯，图2为其示意图，它的主视图是（ ） A． B． C． D． 4．根据最新的人口统计数据，湖北省常住人口约为5838万人。将数据“5838万”用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 6．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到．当点落在BA的延长线上时，恰好，若∠ =140°，则∠BAC的度数为（ ） A．20° B．40 C．60° D．80° 7．甲车从A城出发匀速行驶至B城，乙车从B城出发匀速行驶至A城，在整个行驶过程中，甲、乙两车距离A城的距离 (km)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（ ） A．A，B两城相距360km B．乙车比甲车晚出发1小时 C．甲乙两车相遇时甲车行驶了2.5小时 D．当甲、乙两车相距96千米时，t=2 第6题图 第7题图 第9题图 第10题图 8．武汉过早文化博大精深，小明计划连续三天在“热干面”、“三鲜豆皮”、“鲜鱼糊汤粉”这三种特色美食中，每天随机选择一种作为早餐(每天的选择相互独立)。则小明这三天吃到的早餐至少有两次相同的概率是（ ） A． B． C． D． 9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，AB>AC，连接BO并延长交AC于点D，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 10．如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点P从A出发，沿AC-CB向终点B运动，过P作PQ⊥AB于点Q，连结CQ．设点P的运动路径长为 (0≤≤8)，△APQ的面积为，△PQC的面积为、关于的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（ ） A．AC=4 B．点(7，2)在函数图象上 C．的最大值为4 D．当 =2时，==1 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置． 11．中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若武汉市某日零上8℃记作+8℃，则零下2℃记作 ℃． 12．武汉光谷作为国家自主创新示范区，高新企业数量连年攀升。经统计，光谷某高新产业园的入驻企业年均产值 (单位：亿元)与园区投入的研发资金m(单位：千万元)近似满足反比例函数关系．已知当 >0时，入驻企业年均产值随研发资金的增大而减小，请写出一个满足条件的m的值： 13．分式方程的解是 14．小明与小亮相约到某旅游风景区登山．如图，他们由山底A处先步行340m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A、B、D、E、F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°(∠BAF=30°)，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°(∠DBE=53°)，经工作人员介绍知山顶D处与B处的水平距离BE约为510m．则山的高度DF为 m．(参考数据：sin53°，cos53°，tan53°） 第14题图 第15题图 15．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E，F分别在边AD，BC 上，且AE=3；按以下步骤操作：第一步，沿直线EF翻折，点A的对应点恰好落在对角线AC上，点B的对应点为，则线段BF的长为 ；第二步，分别在EF，上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点F与点E重合，则线段MN的长为 ． 16．已知二次函数 (，b，c为常数，≠0)图像的顶点坐标是(-1，n)，且经过(1，0)，(0，m) 两点，3<m<4。有下列结论：①关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；②当时，的值随值的增大而增大；③；④；⑤对于任意实数t，总有≤0．其中正确的结论是 (填写序号) 三、解答题（共8小题，共72分） 下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17．(本小题8分)解不等式组，并求出它的正整数解． 18．(本小题8分)如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线BD的三等分点，连接AE，AF，CE，CF． (1)求证：四边形AECF是平行四边形； (2)不添加辅助线的情况下，添加一个与AC有关的条件 ，可使四边形AECF是矩形。 19．(本小题8分)随着“限塑令”的升级，环保意识逐渐深入人心。某社区为了了解居民家庭每周使用可降解塑料袋的情况，随机调查了该社区户家庭，统计了他们每周使用可降解塑料袋的数量(单位：个)，根据统计的结果，绘制出如下的统计图1和图2．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：a的值为 ，图1中m的值为 ，被调查家庭每周使用塑料袋数量的众数和中位数分别为______和______； (2)求被调查家庭每周使用可降解塑料袋数量的平均数； (3)若该社区共有1000户家庭，估计该社区每周使用可降解塑料袋数量为7个的家庭有多少户？ 20．(本小题8分)如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PC，切点是C，过点C作弦CD⊥AB于E，连接CO，CB． (1)求证：PD是⊙O的切线； (2)若AB=10，tan B= ，求PA的长． 21．(本小题8分)如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不超过三条． (1)在图(1)中，画AB的中点D； (2)在(1)的基础上，在边AC上画点E，使AD=DE； (3)在图(2)中，在边AC上画点F，使tan∠ABF=； (4)在(3)的基础上，画点F关于BC的对称点G． 22．(本小题10分)蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜，一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间，如图1，某个温室大棚的横面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB=3m，BC=4m，取BC 中点O，过点0作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为轴，OE为轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题： (1)如图2，抛物线AED的顶点E(0，4)，求抛物线的解折式； (2)如图3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FL=NR=0.75m，求两个E方形装置的间距GM的长； (3)如图4，在某一时刻，太阳光线透过A恰好照射到 C点，此时大棚截面的阴影为CK，求CK 的长． 23．(本小题10分)如图，在矩形ABCD中，点O是AB的中点，点M是射线DC上点，点P在线段AM上(不与点A 重合)，2OP=AB． (1)判断△ABP的形状，并说明理由． (2)当点M为边DC中点时，连接CP并延长交AD于点N．求证：PN=AN． (3)点Q在边AD上，AB=5，AD=4，DQ=，当∠CPQ=90°时，直接写出DM的长． 24．(本小题12分)已知抛物线 ( <0)与轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与轴交于点C． (1)当∠ABC=45°时，直接写出抛物线的解析式； (2)若抛物线上一点D的横坐标为3，且A，D两点关于直线BC对称，求的值； (3)在(1)的条件下，点P是轴上一点，点Q在第一象限的抛物线上，是否存在点P，Q，使得过点P的任意一条直线交抛物线于M，N两点(不与点Q重合)，总有∠MQN =90°?若存在，求出点P，Q两点的坐标；若不存在，简要说明理由． 2025-2026学年武汉市华宜寄九年级下学期6月调研参考答案与评分标准 2026.06.15 华宜寄数学教研组 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D A C B D C A B 9．设AD=5，CD=13， △BCD∽△ABC， ， ∴， ∴ ∴ 10． 解：由题意得，AC+CB＝8， ∵AC＝BC， ∴AC＝BC＝4，故选项A正确； 当x＝7时，如图，则PB＝1， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠B＝45°， ∴， ∴， ∴， ∴， 即x＝7时，， ∴点（7，2）不在y1函数图象上，故选项B错误； 可得当x＝4时，S△APQ最大， 此时， ∴，故选项C正确； 当x＝2时，如图，则AP＝CP＝2，， ∵AP＝PC， ∴， 即当x＝2时，y1＝y2＝1，故选项D正确． 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 题号 11 12 13 14 15 16 答案 −2 3 x=5 85° 1； ①③④⑤ 三、解答题（共8小题，共72分） 15．解：如图，过点F作FT⊥AD于T，则四边形ABFT是矩形，连接FN，EN，设AC交EF于J． ∵四边形ABFT是矩形， ∴AB＝FT＝4，BF＝AT， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝8，∠B＝∠D＝90° ∴AC4， ∵∠TFE+∠AEJ＝90°，∠DAC+∠AEJ＝90°， ∴∠TFE＝∠DAC， ∵∠FTE＝∠D＝90°， ∴△FTE∽△ADC， ∴， ∴， ∴TE＝2，EF＝2， ∴BF＝AT＝AE﹣ET＝3﹣2＝1， 设A′N＝x， ∵NM垂直平分线段EF， ∴NF＝NE， ∴12+（4﹣x）2＝32+x2， ∴x＝1， ∴FN， ∴MN， 补充求TE的第二种方法： ∵∠TFE＝∠DAC， ∴tan∠TFE＝tan∠CAD， ∴， ∵FT＝AB＝4， ∴ET＝2， ∴BF＝AT＝AE﹣ET＝3﹣2＝1． 故答案为：1，． 16．解：∵二次函数图象的顶点坐标是（﹣1，n）， ∴对称轴为直线x＝﹣1，即， ∴b＝2a， 设二次函数为y＝a（x+1）2+n，代入点（1，0）， 得0＝a（1+1）2+n， ∴n＝﹣4a． 代入点（0，m）得m＝a（0+1）2+n， ∴m＝a+n， ∴m＝a﹣4a＝﹣3a， ∵3＜m＜4， ∴3＜﹣3a＜4， ∴，故结论③正确． 方程ax2+bx+c﹣n+1＝0化为ax2+bx+c＝n﹣1， ∵a＜0，函数最大值为n，且n﹣1＜n， ∴方程有两个不相等的实数根，故①正确； ∵a＜0，抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣1， ∴当x＞﹣1时，y随x增大而减小，故②错误； 由对称性可得函数与x轴交于（1，0）和（﹣3，0）， ∵a＜0， ∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故④正确． ⑤由对称轴公式，可得b＝2a， 将b＝2a代入式子左边： （t+1）（at﹣a+b） ＝（t+1）（at﹣a+2a） ＝（t+1）（at+a） ＝a（t+1）2， ∵a＜0，（t+1）2≥0， ∴a（t+1）2≤0，即对任意实数t，总有（t+1）（at﹣a+b）≤0，故⑤正确； 综上，正确结论有①③④⑤． 故答案为：①③④⑤． 17．解：解不等式2（x﹣3）≥x﹣9得，x≥﹣3， 解不等式5﹣x得，x＜2， ∴原不等式组的解集为﹣3≤x＜2， ∴满足题意的正整数解为：1． 18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵点E，F是对角线BD的三等分点， ∴BE＝DF， ∴OB﹣BE＝OD﹣DF， 即OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）解：①在▱ABCD中添加一个条件ACBD时，四边形AECF是矩形，理由如下： ∵点E，F是对角线BD的三等分点， ∴EFBD， ∵ACBD， ∴EF＝AC， 由（1）得：四边形AECF是平行四边形， ∴平行四边形AECF是矩形， 故答案为：ACBD； 19．（1）50，16，7，6.5 （2） （3）(户) 答：该社区每周使用可降解塑料袋数量为7个的家庭有360户． 20．（1）证明：连接OD， ∵PC是⊙O的切线， ∴∠PCO＝90°， 即∠PCD+∠OCD＝90°， ∵OA⊥CD， ∴CE＝DE， ∴PC＝PD， ∴∠PDC＝∠PCD， ∵OC＝OD， ∴∠ODC＝∠OCD， ∴∠PDC+∠ODC＝∠PCD+∠OCD＝90°， ∴∠PDO＝90°， ∵OD是⊙O的半径， ∴PD是⊙O的切线； （2）解：如图2，连接AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴， 设AC＝m，BC＝2m， 则由勾股定理得：m2+（2m）2＝102， 解得：，，， ∵S△ACBCE×ABAC×BC， 即， ∴CE＝4，BE＝8，AE＝2 在Rt△OCE中，OE＝OA﹣AE＝3，OC＝5， ∴， ∵， ∴OP×OE＝OC×OC， 即3OP＝5×5， ∴， ∴， ∴PB＝PA+AB． 21． 22．解：（1）∵AB＝3m，AD＝BC＝4m，E（0，4）， ∴A（﹣2，3），B（﹣2，0），C（2，0），D（2，3）， 设抛物线表达式为y＝ax2+bx+c， 将A、D、E三点坐标代入表达式， 得， 解得． ∴抛物线表达式为． 答：抛物线表达式为． （2）设G（﹣t，3），则L（﹣t）， ∴， 解得（负值舍去）， ∴GM＝2t． 答：两个正方形装置的间距GM的长为m． （3）取最右侧光线与抛物线切点为F，如图4， 设直线AC的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线AC的解析式为yx， ∵FK∥AC， 设， ∴， 得， ∴， 解得m， ∴直线FK的解析式为， 令y＝0，得x， ∴． ∴CK＝BK﹣BC 答：CK的长为m． 23．（1）解：△ABP是直角三角形，理由如下： ∵点O是AB的中点， ∴AO＝OBAB， ∵OPAB， ∴OP＝OA＝OB， ∴∠OBP＝∠OPB，∠OAP＝∠APO， ∵∠OAP+∠APO+∠OBP+∠BPO＝180°， ∴∠APO+∠BPO＝90°， ∴∠APB＝90°， ∴△ABP是直角三角形； （2）证明：如图1，延长AM，BC交于点Q， ∵M是CD的中点， ∴DM＝CM， ∵∠D＝∠MCQ＝90°，∠AMD＝∠QMC， ∴△ADM≌△QCM（ASA）， ∴AD＝CQ＝BC， ∵∠BPQ＝90°， ∴PCBQ＝BC， ∴∠CPB＝∠CBP， ∵∠OPB＝∠OBP， ∴∠OBC＝∠OPC＝90°， ∴∠OPN＝∠OPA+∠APN＝90°， ∵∠OAP+∠PAN＝90°，∠OAP＝∠OPA， ∴∠APN＝∠PAN， ∴PN＝AN； （3）解：分两种情况： ①如图2，点M在CD上时，过点P作GH∥CD，交AD于G，交BC于H， 设DM＝x，QG＝a，则CH＝a，BH＝AG＝4aa， ∵PG∥DM， ∴△AGP∽△ADM， ∴，即， ∴PGxax， ∵∠CPQ＝90°， ∴∠CPH+∠QPG＝90°， ∵∠CPH+∠PCH＝90°， ∴∠QPG＝∠PCH， ∴tan∠QPG＝tan∠PCH，即， ∴PH•PG＝QG•CH， 同理得：∠APG＝∠PBH， ∴tan∠APG＝tan∠PBH，即， ∴PG•PH＝AG•BH＝AG2， ∴AG2＝QG•CH，即（a）2＝a（a）， ∴a， ∵PG•PH＝AG2， ∴（xx）•（5xx）＝（）2， 解得：x1＝12（舍），x2， ∴DM； ②如图3，当M在DC的延长线上时，同理得：DM＝12， 综上，DM的长是或12． 24．解：（1） （2）∵，∴△ADE∽△COB ∴ ∴ ∴(舍正) ∴ （3）设Q(t, )，P(0，p) ∴： ∴① ∵： ： ∵∠MQN=90° ∴ ∴ ∴，t=4 ∴P(0, 4)，Q(4, 5) 数学试卷 第10页，共11页 数学试卷 第11页（共11页） 学科网（北京）股份有限公司 $