第28章专题04相似三角形的判定（2）讲义九年级数学上册沪教版

沪教版 九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题04 相似三角形的判定（2） 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 基础判定方法辨析 题型2 SAS判定三角形相似 题型3 SSS判定三角形相似 题型4 HL判定三角形相似 · 掌握相似三角形的SAS判定定理、SSS判定定理，理解直角三角形相似的HL定理； · 会根据已知元素灵活选择恰当方法判定三角形相似； 知识点讲解 1. SAS判定定理 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 符号语言：如图，在△ABC和△中 ∵∠A=∠， ∴△ABC∽△ 2. SSS判定定理 三边对应成比例两个三角形相似。 符号语言：如图，在△ABC和△中 ∵ ∴△ABC∽△ 3. HL定理 斜边和一条直角边对应成比例两个直角三角形相似。 符号语言：如图，在△ABC和△中，∠C= ∠， ∵ ∴△ABC∽△ 题型归纳 题型1 基础判定方法辨析 【例1】已知如图中各有两个三角形，其边长或角的度数已在图中标注，图中，交于点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（   ） A．都相似 B．都不相似 C．只有相似 D．只有相似 【详解】解：图中，∵， ， ∴两三角形中有两个角分别对应相等，故两三角形相似； ∵，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 综上可知两对三角形都相似． 【例2】如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（   ） A．平分 B． C． D． 【详解】解：在和中，， ．平分，则，则，故该选项不符合题意； ．，则故该选项不符合题意； ．不是和对应的比例，不能判断和相似，故该选项符合题意； ．即，则，故该选项不符合题意； 【方法点睛】——寻找相似三角形判定方法的策略 1.有平行优先考虑预备定理； 2.有公共角（对顶角）优先考虑再找一组角； 3.有公共角（对顶角）不能再找一组角，必找夹边成比例； 4.没有角相等，必找三边对应成比例； 5.遇到两个直角三角形首选AA，其次SAS,最后考虑HL。 【变式练习】 1．下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【详解】解：∵选项A中，，符合两角分别相等的判定规则，∴A可以判定 ； ∵选项B中，符合三边成比例的判定规则，∴B可以判定； ∵选项C中，且相等角是两组比例边的夹角，符合两边成比例且夹角相等的判定规则，∴C可以判定； ∵选项D中，相等的角不是这两组成比例的边的夹角，不满足相似三角形的判定规则，∴D不能判定． 2．如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：A、，而夹角和不一定相等，不能判断与相似； B、，而夹角和不一定相等，不能判断与相似； C、，能判断与相似； D、，不是对应角相等，不能判断与相似． 3．如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等（比值均为，夹角为公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意． 4．如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． 【详解】解：A、∵，， ∴，故选项不符合题意； B、∵，， ∴，故选项不符合题意； C、由图形可知，只有，不能判断，故选项符合题意； D、∵，， ∴，故选项不符合题意． 5．如图，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：A、，， ，故本选项不符合题意； B、，， ，故本选项不符合题意； C、， ∴， 又， ，故本选项不符合题意； D、，与的大小无法判定， 无法判定，故本选项符合题意． 6．如图，已知，请添加一个条件使和相似，则不成立的是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：A项：∵，， ∴，故A成立，不符合题意； B项：∵，， ∴，故B成立，不符合题意； C项：∵在和中，和不是对应边， ∴不能判断和相似，故C不成立，符合题意； D项：在和中，，，故D成立，不符合题意， 综上，不成立的是C． 题型2 SAS定理判定三角形相似 【例1】如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 【例2】如图，已知，且，求证：． 【详解】证明：∵， ∴． 又∵， ∴，即， ∴． 【例3】如图，在正方形中，，是的中点，点在上，且． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵，且， ∴，即， ∴，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：是直角三角形，理由如下： 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，，，由勾股定理得：， ∵， ∴是直角三角形，且． 【变式练习】 1．如图，、分别是的边、上的点，且，，，，证明：． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．如图，与相交于点，已知，，，．求证：． 【详解】证明：∵， ， ， 又， ∴． 3．如图，，，求证：． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．如图，已知，．求证：． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴． 5．如图，在中，点为边上一点，连接，已知，，．求证：． 证明：，， ． ，， ． ∴． ． ． 6．如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，连接，求的值． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵，，，， ∴，， ∴，， 根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，， ∴， ∴． 7．如图，点C，D在线段上，是等边三角形，且，，．求证：． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 8．如图，在锐角三角形中，． (1)求证：； (2)求证：． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．人们把黄金分割誉为“天赋”的比例法则．如图，在中，若点M是线段的黄金分割点（），，求证：． 【详解】证明：由题意可知，点是线段的黄金分割点，， ， 又，， ，即， ． 10．如图，，，求证：． 【详解】证明：， ， ， ， ， 即在，中， ， ， ． 题型3 SSS定理判定三角形相似 【例1】如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ ） A． B． C． D． 【分析】先计算出三边的边长，再分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可． 【详解】解：借助网格，可知，，， A、三边从小到大依次为：，，3，，三边与不成比例，故不符合题意； B、三边从小到大依次是：1，，，，三边与成比例，故符合题意； C、三边从小到大依次是：1，，，，三边与不成比例，故不符合题意； D、三边从小到大依次是：2，，，，三边与不成比例，故不符合题意； 故选：B． 【例2】如图①，内有任意一点O，D，E，F分别为OA，OB，OC的中点． (1)求证：． (2)如果点O在的外部（如图②），请仿照图①画出图形，并探讨①中的结论是否仍成立（无须证明）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）易得，，分别为的中位线，根据三角形的中位线定理可得，那么的三边对应成比例，可证； （2）根据（1）中的证明方法可得． 【详解】（1）证明：分别是的中点， ∴，，分别为的中位线， ， ． （2）解：如图，（1）中结论仍成立． 【变式练习】 1．如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 【详解】解：， ， ， ． ． 故答案为： ． 2．如图，将方格纸分成6个三角形，在②③④⑤⑥5个三角形中，与三角形①相似的三角形是___________．（填序号） 【详解】解：设方格纸的每个小正方形的边长为， 则①的三边长为，，， 的三边长为，，， 的三边长为2，，， 的三边长为，，4， 的三边长2，，， 的三边长为，，， 故和①三边对应成比例的只有③，故三角形①相似的三角形是③， 故答案为：③． 3．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．请判断与是否相似？并证明你的结论． 【详解】相似，证明如下： 在中，； 在中，； ， 即， ． 4．如图，点O是的边上一点，连接，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，三边对应成比例的两个三角形相似． 【详解】证明：∵点D，E，F分别是，，的中点， ∴，，， 即， ∴． 题型4 HL定理判定两个直角三角形相似 【例1】下列说法不正确的是（   ） A．有一组角对应相等的两个直角三角形相似 B．有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似 C．两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 D．斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 【详解】A：若两个直角三角形仅有一组角对应相等（如均为直角），但另一锐角不相等，则它们不相似． 例如，一个含锐角的直角三角形与一个含锐角的直角三角形不相似，故选项A错误． B：若两个直角三角形有一组锐角对应相等，则另一锐角也必然相等（因两角之和为）， 满足“两角对应相等”的相似条件，故选项B正确． C：两条直角边对应成比例，且夹角为直角（对应相等）， 符合“两边对应成比例且夹角相等”的相似条件，故选项C正确． D：斜边和一条直角边对应成比例时，根据勾股定理，另一条直角边也必然成相同比例， 满足“三边对应成比例”的相似条件，故选项D正确． 故选：A． 【例2】已知如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ADC=90°，AD=a，BC=b,AC=，求证：DC⊥BC 【详解】由ΔABC与ΔACD都是直角三角形可得，，再由得出RtΔDCA∽RtΔABC，最后得出∠DCB=90°，从而推出结论. ∵∠BAC=∠ADC=90°， ∴ΔABC与ΔACD都是直角三角形.   ∵ ∴   ∴   在RtΔDCA与RtΔABC中， ，   ∴RtΔDCA∽RtΔABC ∴∠DCA=∠B ∵∠B+∠ACB=90° ∴∠DCA+ACB=90°，即∠DCB=90° ∴DC⊥BC 【变式练习】 1．下列说法中，错误的是（    ） A．顶角为的两个等腰三角形相似 B．一个锐角为的两个直角三角形相似 C．一个直角三角形两边长分别是12和8，另一个直角三角形两边长分别是9和6，则这两个直角三角形相似 D．两个等边三角形一定相似 【详解】解：A：∵顶角为的等腰三角形，底角均为， ∴两个等腰三角形的三个内角对应相等，故两三角形相似，原说法正确，不符合题意． B：∵两个直角三角形的一锐角都为， ∴两个直角三角形的两个角对应相等，两三角形相似，原说法正确，不符合题意． C：设第一个直角三角形两边为12和8，第二个为9和6，若第一个直角三角形的直角边为12和8，斜边为；第二个直角三角形的斜边为9，一条直角边为6，另一直角边为，此时，故两三角形此时不相似，原说法错误，符合题意； D：∵等边三角形三角均为且三边成比例， ∴两个等边三角形一定相似，原说法正确，不符合题意． 故选：C． 2. 如图，已知：在Rt△ABC与Rt△A1B1C1中，∠BAC=∠A1B1C1=90°，AD⊥BC，A1D1⊥B1C1，垂足分别为D、D1，且求证：△ABC∽△A1B1C1 【详解】证明：∵AD⊥BC，A1D1⊥B1C1， ∴∠ADB=∠=90° ∵ ∴△ADB∽△(HL) ∴∠B=∠ ∵∠BAC=∠A1B1C1=90° ∴△ABC∽△A1B1C1(AA) 3. 如图，在梯形中，，，E是的中点． （1）求证：； （2）与有可能相似吗？若相似，请给出证明过程；若不相似，请简述理由． 【详解】解：（1）过点C作CF⊥AB于F， ∴∠A=∠CFA=∠CFB=90°， ∵AB∥CD， ∴∠A+∠D=180°， ∴∠D=90°， ∴四边形ADCF是矩形， ∴AF=CD=1,AD=CF， ∴BF=AB-AF=1， ∴， ∵E是AD的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵∠D=∠A=90°， ∴△CDE∽△EAB； （2）△CDE∽△CEB相似，理由如下： ∵，, ∴，，， ∴ ， ∴△CDE∽△CEB. 过关练习 一、单选题 1．如图，下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】A、且夹角，可判断，故A选项不符合题意； B、，可判断，故B选项不符合题意； C、，可判断，故C选项不符合题意； D、，不能确定，故D选项符合题意； 故选：D． 2．如图，已知在中，点D在边上，那么下列条件中，能判定相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，掌握“两个角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解本题的关键． 由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判断B，C，D，由两个角对应相等的两个三角形相似可判断A，从而可得答案． 【详解】解：，， ， ，， ， 能判定相似的是， 故选：． 3．如图，在中，点在边上，点在的延长线上，添加下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理并应用解决问题是解题关键． 根据已知条件可知，再利用相似三角形的判定定理依次判断即可得到答案． 【详解】解：A、，，可根据两角对应相等证明，不符合题意； B、，，可根据两角对应相等证明，不符合题意； C、，，不能证明，符合题意； D、，，可根据两边对应成比例，夹角相等证明，不符合题意， 故选：C． 4．如图，下列条件中能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查添加条件式三角形相似，根据已知相似三角形的逐一判断选项是否符合条件即可． 【详解】解：．若，则， ∵， ∴，该选项正确，符合题意； ．若，无法得出和对应边成比例，该选项错误，不符合题意； ．若，无和对应边成比例，选项错误，不符合题意； ．若，无和对应边成比例，该选项错误，不符合题意； 故选：A． 5．已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、， 两个三角形的三边成比例，故两个三角形相似； B、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； C、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； D、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； 故选：A． 6．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的相似，熟练掌握三角形相似的条件是解题的关键．根据题意分别判定即可． 【详解】解：两角分别相等的两个三角形相似，故选项A中剪下的阴影三角形与相似，故选项A不符合题意； 两角分别相等的两个三角形相似，故选项B中剪下的阴影三角形与相似，故选项B不符合题意； 选项C中剪下的阴影三角形与不相似，故选项C符合题意； 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项D中剪下的阴影三角形与相似，故选项D不符合题意； 故选C． 二、填空题 7．如图，请添加一个条件，使与相似，那么这个条件可以是___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理进行求解． 【详解】解：由图可知：， ∴当添加或时，则可根据“两个三角形的两组角对应相等，则这两个三角形相似”判定； 当添加时，则可根据“两组边对应成比例且夹角相等，则这两个三角形相似”判定； 故答案为（答案不唯一）． 8．如图，已知中，，点P（与点B不重合）是边上的一点，那么当与、满足______时，与相似． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：当时，与相似，理由如下： ∵，， ∴， 故答案为：． 9．将一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是_______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，是解题的关键． 由矩形的性质得，从而得到，由折叠的性质可得：，从而得到，由此推断出． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ， ． 故答案为：． 10．一个三角形的三边长分别为1，，2，另一个三角形的两边长分别为和2，要让这两个三角形相似，则另一个三角形的第三边长为______． 【答案】或 【分析】此题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定分情况列比例式进行分析解答即可． 【详解】解：设另一个三角形的第三边长为x， 当2为最长边时，， 解得， 当为最长边时，， 解得，， 当和对应时，，，，即此种情况不存在， 综上可知，要让这两个三角形相似，则另一个三角形的第三边长为或， 故答案为：或 11．如图，已知于点，于点，，，，为直线上一点，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则这样的点有______个． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 分3种情况求解即可：①当点P在线段上运动时，②当点P在B的左侧运动时，③当点P在点C的右侧运动时． 【详解】解：∵， ∴，设， ①当点P在线段上运动时， 当时，， ∴ ， ∴，； 当时，， ∴， 解得：； ②当点P在B的左侧运动时， 当时，， ∴ ， ∴，（舍去）； 当时，， ∴， 解得：； ③当点P在点C的右侧运动时， 当时，， ∴ ， ∴，（舍去）； 当时，， ∴， 解得：（舍去）； 综上可知，符合题意的x的值有6个，即这样的点有6个． 故答案为：6． 12．如图，在矩形中，点E在上，于点F，于点G．若，，，则的长为 ____________________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．先利用勾股定理求出，然后证明，求出，再证明，求出，即可进一步求得答案． 【详解】解：，，， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 13．如图所示，三个边长为1的正方形ABCD，ABEF，EFHG拼在一起，则，，这三个角的度数之和等于_____． 【答案】 【分析】先通过两边对应成比例且夹角相等证明，得到，然后利用三角形外角性质可得，即可求解． 【详解】解：四边形，，都是边长为1的正方形， ，，，， ，， ． 又， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形外角定理，勾股定理的应用，掌握以上基础知识是解本题的关键． 14．如图，、和3张都标注一个条件的卡片．从这3张卡片中随机一次性抽取2张，根据这2张的条件，能判断的概率为___________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，概率等知识．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：若，，则； 若，，则； 若，，则无法证明； 从这3张卡片中随机一次性抽取2张有3种等可能结果，其中能判断的有两种， 能判断的概率为， 故答案为：． 三、解答题 15．根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． (1)； (2)． 【答案】(1)与相似，理由见解析 (2)与相似，理由见解析 【分析】（）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判定求解； （）根据三边对应成比例的两个三角形相似即可判定求解； 本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】（1）解：与相似，理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：与相似，理由如下： ∵，，， ∴， ∴． 16．如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数是． 【分析】此题重点考查角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识． （1）由，得，由平分，得，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，则，所以． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 17．如图，，连接、，且点A、E、D在同一条直线上，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质、相似三角形的判定是解题的关键． 根据“全等三角形的对应边相等、对应角相等”，得出，，，推出，，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，，， ∴，，即， ∴． 18．如图，在正方形中，P为的中点，Q为上一点，已知，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、正方形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 由正方形的性质得出，，易得，进而得，最后根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是正方形，， ∴，． ∵P为CD的中点， ∴． ∵，， ∴． ∴． 19．如图，为线段上一点，，，判断与是否相似，并说明理由． 【答案】相似，见解析 【分析】题目主要考查相似三角形的判定，勾股定理解三角形，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． 根据勾股定理得出，再由相似三角形的判定证明即可． 【详解】解：相似，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．如图所示，在梯形中，，对角线相交于点O，问：与相似吗？ 有一名同学解答如下： 因为，所以，，所以，所以．又因为，所以． (1)请你判断这名同学的证明是否正确，说明理由． (2)若，与相似吗？ 【答案】(1)不正确，理由见解析 (2)相似 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰梯形的性质，熟练掌握三角形相似的判定定理及性质是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定定理即可解答； （2）根据相似三角形的判定定理结合等腰梯形的性质即可解答． 【详解】（1）解：不正确，理由如下： ∵，， ∴， ∴， 则不能证明． （2）解：若，．理由如下： ∵， ∴四边形为等腰梯形， ∴． ∵， ∴． 21．如图，在中，点、在边上，连接、，点在边上，连接，已知．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质，相似三角形的判定，根据全等三角形的性质，得到，，根据，得到，即可得证． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 22．如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，点在上，且． (1)求证：△CEF∽△CAD (2)若，求证：． 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理、相似三角形的判定等知识点，弄清楚线段间的关系是解题的关键。 （1）由平行线等分线段定理可得，再结合即可证明结论； （2）由可得，即，进而得到；从而得到，再结合即可证明结论。 【详解】（1）解：∵， ， ， ∵∠C=∠C ∴△CEF∽△CAD （2）证明：， ， ， ． ， ． 又， ． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $沪教版 九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题04 相似三角形的判定（2） 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 基础判定方法辨析 题型2 SAS判定三角形相似 题型3 SSS判定三角形相似 题型4 HL判定三角形相似 · 掌握相似三角形的SAS判定定理、SSS判定定理，理解直角三角形相似的HL定理； · 会根据已知元素灵活选择恰当方法判定三角形相似； 知识点讲解 1. SAS判定定理 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 符号语言：如图，在△ABC和△中 ∵∠A=∠， ∴△ABC∽△ 2. SSS判定定理 三边对应成比例两个三角形相似。 符号语言：如图，在△ABC和△中 ∵ ∴△ABC∽△ 3. HL定理 斜边和一条直角边对应成比例两个直角三角形相似。 符号语言：如图，在△ABC和△中，∠C= ∠， ∵ ∴△ABC∽△ 题型归纳 题型1 基础判定方法辨析 【例1】已知如图中各有两个三角形，其边长或角的度数已在图中标注，图中，交于点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（   ） A．都相似 B．都不相似 C．只有相似 D．只有相似 【例2】如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（   ） A．平分 B． C． D． 【方法点睛】——寻找相似三角形判定方法的策略 1.有平行优先考虑预备定理； 2.有公共角（对顶角）优先考虑再找一组角； 3.有公共角（对顶角）不能再找一组角，必找夹边成比例； 4.没有角相等，必找三边对应成比例； 5.遇到两个直角三角形首选AA，其次SAS,最后考虑HL。 【变式练习】 1．下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 2．如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A．B．C． D．5．如图，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知，请添加一个条件使和相似，则不成立的是（   ） A． B． C． D． 题型2 SAS定理判定三角形相似 【例1】如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 【例2】如图，已知，且，求证：． 【例3】如图，在正方形中，，是的中点，点在上，且． 【变式练习】 1．如图，、分别是的边、上的点，且，，，，证明：． 2．如图，与相交于点，已知，，，．求证：． 3．如图，，，求证：． 4．如图，已知，．求证：． 5．如图，在中，点为边上一点，连接，已知，，．求证：． 6．如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，连接，求的值． 7．如图，点C，D在线段上，是等边三角形，且，，．求证：． 8．如图，在锐角三角形中，． (1)求证：； (2)求证：． 9．人们把黄金分割誉为“天赋”的比例法则．如图，在中，若点M是线段的黄金分割点（），，求证：． 10．如图，，，求证：． 题型3 SSS定理判定三角形相似 【例1】如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ ） A． B． C． D． 【例2】如图①，内有任意一点O，D，E，F分别为OA，OB，OC的中点． (1)求证：． (2)如果点O在的外部（如图②），请仿照图①画出图形，并探讨①中的结论是否仍成立（无须证明）． 【变式练习】 1．如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 2．如图，将方格纸分成6个三角形，在②③④⑤⑥5个三角形中，与三角形①相似的三角形是___________．（填序号） 3．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．请判断与是否相似？并证明你的结论． 4．如图，点O是的边上一点，连接，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证： 题型4 HL定理判定两个直角三角形相似 【例1】下列说法不正确的是（   ） A．有一组角对应相等的两个直角三角形相似 B．有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似 C．两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 D．斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 【例2】已知如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ADC=90°，AD=a，BC=b,AC=，求证：DC⊥BC 【变式练习】 1．下列说法中，错误的是（    ） A．顶角为的两个等腰三角形相似 B．一个锐角为的两个直角三角形相似 C．一个直角三角形两边长分别是12和8，另一个直角三角形两边长分别是9和6，则这两个直角三角形相似 D．两个等边三角形一定相似 2. 如图，已知：在Rt△ABC与Rt△A1B1C1中，∠BAC=∠A1B1C1=90°，AD⊥BC，A1D1⊥B1C1，垂足分别为D、D1，且求证：△ABC∽△A1B1C1 3. 如图，在梯形中，，，E是的中点． （1）求证：； （2）与有可能相似吗？若相似，请给出证明过程；若不相似，请简述理由． 过关练习 一、单选题 1．如图，下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知在中，点D在边上，那么下列条件中，能判定相似的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，点在边上，点在的延长线上，添加下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，下列条件中能判定的是（    ） A． B． C． D． 5．已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 6．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，请添加一个条件，使与相似，那么这个条件可以是___________． 8．如图，已知中，，点P（与点B不重合）是边上的一点，那么当与、满足______时，与相似． 9．将一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是_______________． 10．一个三角形的三边长分别为1，，2，另一个三角形的两边长分别为和2，要让这两个三角形相似，则另一个三角形的第三边长为______． 11．如图，已知于点，于点，，，，为直线上一点，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则这样的点有______个． 12．如图，在矩形中，点E在上，于点F，于点G．若，，，则的长为 ____________________． 13．如图所示，三个边长为1的正方形ABCD，ABEF，EFHG拼在一起，则，，这三个角的度数之和等于_____． 14．如图，、和3张都标注一个条件的卡片．从这3张卡片中随机一次性抽取2张，根据这2张的条件，能判断的概率为___________． 三、解答题 15．根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． (1)； (2)． 16．如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 17．如图，，连接、，且点A、E、D在同一条直线上，求证：． 18．如图，在正方形中，P为的中点，Q为上一点，已知，．求证：． 19．如图，为线段上一点，，，判断与是否相似，并说明理由． 20．如图所示，在梯形中，，对角线相交于点O，问：与相似吗？ 有一名同学解答如下： 因为，所以，，所以，所以．又因为，所以． (1)请你判断这名同学的证明是否正确，说明理由． (2)若，与相似吗？ 21．如图，在中，点、在边上，连接、，点在边上，连接，已知．求证：． 22．如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，点在上，且． (1)求证：△CEF∽△CAD (2)若，求证：． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $