宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2025-2026学年高二下学期6月月考数学试题

**基本信息** 聚焦高二数学核心知识，通过乒乓球比赛概率、立体几何折叠等情境设计，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，题量分布合理，梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、几何概型等|基础概念辨析，如充要条件判断| |多选题|3/18|立体几何位置关系、双曲线综合|多选项辨析，如双曲线与圆交点问题| |填空题|3/15|椭圆综合、数列与函数零点|情境化计算，如椭圆顶点连线交点问题| |解答题|5/77|概率分布列、立体几何二面角、函数极值证明|综合性强，如乒乓球比赛期望计算、折叠问题二面角求解，贴合高考命题趋势|

石嘴山市第一中学2025-2026学年第二学期高二年级6月月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1．若，集合，则下列表示中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若复数满足，为的共轭复数，则（    ） A． B．5 C． D．3 3．已知，，，，若，则实数 A． B． C． D． 4．“，”是“函数是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知圆，直线，在上随机选取一个数，则事件“直线与圆相离”发生的概率为（       ） A． B． C． D． 6．在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球的球心O到平面的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有多少种？ A．5 B．25 C．55 D．75 二、多选题：本题共3小题。每小题6分，共18分。 9．已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列结论中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知双曲线与动圆恰有两个交点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线C的离心率为2 B．双曲线C的渐近线被圆M截得的弦长为2 C．双曲线C上存在一条弦，该弦的中点坐标为 D．过双曲线C的一个焦点F作圆M的两条切线，切点分别为A，B，则 11．玻璃缸中装有2个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球．记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则_______． 13．已知点为椭圆上第一象限上的任意一点，点A，分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线与交于点，直线与轴交于点，则的值为______． 14．已知函数有两个零点，数列满足，若，且，则数列的前2023项的和为__________. 四、解答题：本题共77分。 15．为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲､乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，首先获得5分者获胜，比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是. （1）求比赛结束时恰好打了6局的概率； （2）若甲以3：1的比分领先时，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列及期望. 16．在中，分别是三个内角的对边，． (1)求的大小； (2)若，且边上的高是边上的高的2倍，求及的面积． 17．已知在中，角所对的边分别是，且满足. (1)求角的大小； (2)若的外接圆半径为1，求面积的最大值. 18．如图1，在直角梯形ABCD中，，，，E，F分别为AD，BC的中点，若沿着EF折叠使得如图2所示，连结BC． （1）求证：平面平面ABFE； （2）求二面角C-BF-D的余弦值． 19．已知函数，其中，且. （1）求函数的单调区间； （2）当时，设，是的极大值点，求证：. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 答案第10页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B A C B A D ABD ABD 题号 11 答案 BCD 1．A 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系判断即可得正确选项. 【详解】因为，所以，故选项A正确，选项B不正确； 集合之间的关系符号有误，应为，故选项C不正确； 元素与集合之间的关系符号有误，应为，故选项D不正确； 故选：A. 2．B 【分析】由共轭复数的概念与复数的乘除法法则求解即可 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B 3．B 【分析】计算出向量、，再由共线向量的坐标表示列等式求出实数的值. 【详解】，，， ， ，，解得，故选：B. 【点睛】本题考查利用共线向量的坐标表示求参数的值，同时也考查了平面向量线性运算的坐标运算，考查计算能力，属于基础题. 4．A 【分析】根据两者之间的推出关系可判断条件关系. 【详解】若，则，此时，充分性成立； 若为奇函数，则， 因，则有， 即， 整理可得即， 故，故， 即由函数是奇函数推不出，必要性不成立. 故“，”是“函数是奇函数”的充分不必要条件. 故选：A. 5．C 【分析】根据圆心到直线的距离关系列不等式可得直线与圆相离时的取值范围，再根据几何概型的方法求解概率即可. 【详解】当直线与圆相离时， ，解得 或 ，又 ，所以 或 ，故事件“直线 与圆 相离”发生的概率为 . 故选：C 6．B 【分析】求证即可确定球心O为线段的中点，再将问题转化为求到平面的距离. 【详解】因，则， 因平面，平面，则，， 又平面，则平面， 因平面，则， 取线段的中点，则， 故三棱锥外接球的球心O为线段的中点， 则O到平面的距离等于到平面的距离的一半，即. 故选：B 7．A 【分析】构造函数，利用导数求取单调性可得、之间大小关系，构造函数，利用导数求取单调性可得、之间大小关系，即可得解. 【详解】由， 即， 令， 则在上恒成立， 故在上单调递增， 则有，即， 令， 则在上恒成立， 故在上单调递减， 则有，即， 故. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造出函数、，以比较、与、之间大小关系. 8．D 【详解】由题意知：小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，共有以下四种情形： 一、小蜜蜂在5次飞行中，有4次向正方向飞行，1次向负方向飞行，且每次飞行一个单位，共有种情况； 二、小蜜蜂在5次飞行中，有3次向正方向飞行每次飞行一个单位，1次向正方向飞行，且每次飞行两个单位，1次向负方向飞行，且每次飞行两个单位，共有种情况； 三、小蜜蜂在5次飞行中，有1次向正方向飞行每次飞行一个单位，2次向正方向飞行，且每次飞行两个单位，2次向负方向飞行，且每次飞行一个单位，共有种情况； 四、小蜜蜂在5次飞行中，有3次向正方向飞行每次飞行两个单位，有1次向负方向飞行且飞行两个单位，有1次向负方向飞行且飞行一个单位，共有种情况； 故而共有种情况， 故选：D． 9．ABD 【分析】利用空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系逐个判断即可得解． 【详解】对于A，若，则或与异面，故A错； 对于B，，则或或与相交（不垂直），故B错误； 对于C，，又，故C正确； 对于D，若，则或，故D错误． 故选：ABD. 10．ABD 【分析】首先由圆与双曲线方程联立，由交点个数确定，即可求解双曲线方程，判断A，代入直线与圆相交的弦长公式，即可判断B，根据点差法，结合点与双曲线的位置关系，即可判断C，根据AB，结合集合关系，即可判断D. 【详解】A.联立C与M的方程，消去x，得，即， 由题意得， 由m的任意性，解得，则，离心率，A项正确； B.直线是双曲线C的一条渐近线，圆心到该渐近线的距离为， 圆M的半径为，则该渐近线被圆M截得的弦长为2，B项正确； C.设中点为的弦所在的直线与C交于，两点， 则，，且由点差法化简得， 所以中点弦所在直线方程为，即， 联立，得，，方程无解， 所以不存在，C项不正确； 不妨设，根据AB可知，， 则，，D项正确． 故选：ABD 11．BCD 【分析】结合古典概型，条件概型的计算公式，分别求出有关事件的概率，再进行判断. 【详解】对A，由题意，第一次取得黑球的概率， 第一次取得白球的概率， 第一次取得黑球、第二次取得黑球的概率， 第一次取得白球、第二次取得白球的概率， 则，所以A错误； 对B，第一次取得黑球、第二次取得白球的概率， 第一次取得白球、第二次取得黑球的概率， 则，所以B正确； 对C，由， 得，所以C正确； 对D，由，得，所以D正确． 故选：BCD． 12． 【分析】根据导数运算法则求解即可. 【详解】解：由题知 故答案为： 13． 【分析】设的坐标为，表示出直线的方程，求得，同理求得，可得的表达式，结合三角函数的平方关系化简，可得答案. 【详解】如图所示：设的坐标为,, 由 则直线的方程为 令时，则 即, 直线的方程为, 令，则即, , 故答案为： 14． 【分析】计算，，代入计算得到，确定为首项为，公比为的等比数列，求和得到答案. 【详解】函数有两个零点，故， ， ， ， 故为首项为，公比为的等比数列， 数列的前2023项的和为， 故答案为： 15．（1）； （2） 2 3 4 5 . 【分析】（1）比赛恰好打了6局的情况有两种：甲胜或乙胜，即可求解； （2）分析可知X的可能取值为2，3，4，5，分别求出对应的概率，由此能求出X的分布列和. 【详解】解：（1）比赛结束时恰好打了6局，甲获胜的概率为， 恰好打了6局，乙获胜的概率为， 所以比赛结束时恰好打了6局的概率为. （2）X的可能取值为2，3，4，5， ， ， ， . 所以X的分布列如下： 2 3 4 5 故. 16．(1) (2)， 【分析】（1）由正弦定理转化为三角函数，由二倍角的正弦公式化简即可得解； （2）由高的关系得出边的关系，再由余弦定理求出，由面积公式求面积即可. 【详解】（1）由正弦定理可得， 因为，所以. 所以 所以 因为，所以，， 所以，所以，即. （2）因为边上的高是边上的高的2倍，， 所以由等面积法知， 所以， 所以， 所以 17．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理进行边角转化，再利用两角和的正弦公式化简等式，得出，结合三角形内角取值范围，求出角. （2）利用正弦定理求出，再利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，最后根据三角形面积公式求出面积最大值. 【详解】（1）根据正弦定理， 所以，， 所以， 又因为，， 代入化简得①， 根据两角和的正弦公式， 又，则， 代入①化简得：， 因为角，所以角. （2）已知的外接圆半径为1，由正弦定理， 可得， 由余弦定理可知，代入的值可得. 由基本不等式，当且仅当时取等号， 则，当且仅当时取最大值3. 由三角形面积公式可得， 因为，当且仅当时，面积最大， 所以. 18．（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）本小题先根据勾股定理判断线线垂直，再证明线面垂直，最后证明面面垂直. （2）本小题根据题意建立空间直角坐标系，再求二面角两个面的法向量，最后根据夹角公式求解即可. 【详解】（1），分别为，的中点， ．， ， ∴ 平面 平面 ∴平面平面． （2）由（1）知，，，两两垂直， 如图建立空间直角坐标系， 令 则，，，，． ，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，， ∴平面的一个法向量为． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，， ∴平面的一个法向量为． ∴ ∵二面角为锐二面角设为， ∴． 【点睛】本题考查通过线线垂直证明面面垂直和借空间向量求二面角的余弦值，是较难题. 19．（1）详见解析；（2）详见解析. 【分析】（1）由，求导，分，，令，求解； （2）由得到，求导，令，由 在R上递增，且，得到，有，进而得到是的极大值点求解. 【详解】（1）因为函数， 所以， 当时，令，得，令，得； 当时，令，得，令，得； 综上：当时，函数的增区间是，减区间是； 当时，函数的增区间是，减区间是； （2）由时，， 则， 令，，在R上递增， 又， 所以存在，有，且， 所以当时，，当时，， 所以是的极大值点， 所以， ， 令，则， 所以在上递减，又， 所以即. 学科网（北京）股份有限公司 $