精品解析：宁夏石嘴山市平罗中学2025-2026学年高二下学期第三次考试数学试题

平罗中学2025-2026学年度第二学期第三次考试试题 高二数学 满分：150分 考试时长：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，所以 2. “函数是幂函数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求出参数的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断. 【详解】若函数是幂函数， 则，解得或； 则由“函数是幂函数”推不出“”，故充分性不成立； 由“”推得出“函数是幂函数”，故必要性成立； 所以“函数是幂函数”是“”的必要不充分条件. 故选：C 3. 已知实数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即、时，等号成立， 即的最小值为. 4. 某空间站由三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 150 B. 90 C. 60 D. 30 【答案】A 【解析】 【详解】共5名宇航员同时在3个舱中开展实验，则有两种情况， 若按人数分为三组，则有种方法， 若按人数分为三组，则有种方法， 共有种不同方法. 5. 年月日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数个数为（ ）（素数即质数，，计算结果取整数） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算的值，即可得解. 【详解】因为， 所以，估计以内的素数个数为. 故选：B. 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用对数的运算性质求出的值，再根据对数函数的单调性分别比较与、与的大小，即得. 【详解】根据题意，， 因函数为上的增函数，由于，因此，即， 又因为，而， 函数为上的增函数，由，可得，即， 综上可得，. 7. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义域，零点，奇偶性和函数值的符号，即可判断. 【详解】因为恒成立，所以恒成立，所以函数的定义域为R.所以可排除C. 令，则，所以或. 由，得，解得. 所以函数有唯一零点.所以可排除D. 因为， 所以，. 所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，所以排除B. 故选：A. 8. 设函数，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的特点，分段列不等式求解最后取并集即可. 【详解】当时，， 令，即，解得（舍去）或； 当时，， 令，即，解得. 综上，的x的取值范围是. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 某公司大力推进科技创新发展战略，持续加大研发投入（单位：万元），不断提升公司的创新能力.2016年至2020年该公司的研发投入如下表所示： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份编号x 1 2 3 4 5 研发投入y/万元 51 93 m 175 211 若y与x线性相关，由上表数据求得的线性回归方程为，则（ ） A. B. y与x正相关 C. 该公司平均每年增加研发投入约11.4万元 D. 预计2022年该公司的研发投入为292.8万元 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线回归的定义，平均值必须在直线上即可. 【详解】因为，点在回归直线上，， 所以，故A正确； 根据表格中的数据及正相关的定义可知，y与x正相关，选项B正确； 回归直线方程的斜率即为该公司平均每年增加研发投入，为40.2万元，故C错误； 因为2022年对应的年份编号为7，即x=7，所以预计2022年该公司的研发投入为（万元）,D正确； 故选：ABD. 10. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列说法正确的有（ ） A. 是周期为4的周期函数 B. 的图象关于直线对称 C. D. 在（3，4）上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【详解】因为，所以，所以的周期为4，故A正确； 因为为上的奇函数，所以，所以， 又当时，，其图象对称轴为直线， 结合奇函数的性质可知其图象也关于直线对称，故B正确； 因为，，，， 则， 所以 ，故C不正确； 当时，，， 由，得， 其在上单调递减，所以D正确. 11. 已知函数则下列结论正确的是（ ） A. ，都有 B. 且，都有 C. 的值域为 D. 关于的方程有3个不等实数根 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、单调性，判断A、B，分、和讨论函数的解析式，通过分离常数项求得的值域，判断C；求解关于的方程，判断D. 【详解】因为恒成立，所以函数的定义域为. ，，且，所以，所以A正确. 设且， ， 因为，且，所以，. 所以，即，所以函数在上单调递增. 由A知，函数是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，所以在上单调递增. 所以函数在上单调递增. 且，都有与同号，所以B正确. 当时，； 当时，；. 所以的值域为.所以C错误. 关于的方程等价于，即，即. 所以或，所以关于的方程有3个不等实数根，分别为，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则的定义域为__________.用区间表示 【答案】 【解析】 【详解】要使函数有意义， 需使，解得， 故的定义域为. 13. 的展开式中 的系数为 ____________________ 【答案】 【解析】 【分析】由通项公式即可求解. 【详解】的通项公式为， 令可得含的项， 此时系数为， 故答案为： 14. 设实数满足 ，实数满足 ，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】先明确的关系，再根据集合的包含关系求的取值范围. 【详解】因为是的必要不充分条件， 所以是的充分不必要条件， 由，因为，所以； 由. 因为是的充分不必要条件，所以⫋. 所以. 即实数的取值范围是. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是定义在上的偶函数，当时，． （1）当时，求的解析式； （2）求满足不等式的的取值范围． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）利用偶函数性质以及时的解析式即可求得结果； （2）根据偶函数在对称区间上的单调性得出不等式关系，即可解得的取值范围. 【小问1详解】 由，则，所以， 因为是偶函数，所以． 【小问2详解】 易知在上单调递增， 由偶函数关于轴对称可得在单调递减， 所以由及定义域可得， 解得或． 16. 已知函数，其中． （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性，并给予证明； （3）求使的x取值范围． 【答案】（1）；（2）奇函数，证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据对数的定义知真数大于0，即可求定义域； （2）利用奇偶性的定义得知函数为奇函数； （3）由，可得，即可求解. 【详解】(1)∵已知,∴,即,解得,故f(x)的定义域为(−1,1). (2)∵的定义域关于原点对称, ,故函数是奇函数． (3)由>0可得,即,解得,故求使>0的的取值范围是(0,1). 【点睛】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 17. 已知关于的不等式 的解集为． （1）求实数，的值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据和2是方程的两根，利用韦达定理可求的值. （2）对的取值分类讨论，结合一元二次不等式解集的形式解不等式. （3）问题转化为，恒成立，再求，的最大值即可. 【小问1详解】 由题意，和2是方程的两根，且， 所以，解得. 【小问2详解】 因为，所以不等式可化为， 即. 当时，不等式可化为； 当时，不等式可化为. 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为. 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. 【小问3详解】 因为，所以不等式可化为， 因为时，不等式恒成立，即恒成立. 因为，所以，，，所以. 由恒成立，可得. 即所求的取值范围为. 18. 某公司研发了一种智能语音客服系统，在测试时，当语音输入的问题表达清晰时，智能语音客服的回答被采纳的概率为，当语音输入的问题表达不清晰时，智能语音客服的回答被采纳的概率为.已知语音输入的问题表达清晰的概率为，且智能语音客服每次回答是否被采纳相互没有影响. （1）求智能语音客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了4个问题，设表示智能语音客服的回答被采纳的次数，求的分布列､数学期望和方差. 【答案】（1） （2）分布列见解析，3， 【解析】 【分析】（1）设出基本事件并求出概率，再利用全概率公式求解即可. （2）结合题意得到，再求出对应取值的概率，进而得到分布列和数学期望即可. 【小问1详解】 设表示事件“智能语音客服的回答被采纳”；表示事件“语音输入的问题表达清晰”， 由题意可知，， 所以， 即智能语音客服的回答被采纳的概率为. 【小问2详解】 依题意得，的所有可能取值为，且. 所以 所以的分布列为 0 1 2 3 4 19. 某高校人工智能实验室组织“AI编程挑战赛”，参赛者每答对一道题目可获得一次抽奖机会，从三个智能抽奖系统中选择一个进行抽奖，系统甲：每次抽奖中奖概率为；系统乙：每次抽奖中奖概率为；系统丙：每次抽奖中奖概率为．三个系统相互独立，且每次抽奖结果互不影响． （1）若一位同学答对了一道题目，他随机选择一个系统抽奖一次，求他中奖的概率． （2）若某同学答对三道题目，可选择以下两种抽奖方案之一进行抽奖． 方案一：从系统甲、乙、丙中各抽奖一次，中奖次数决定奖励价值，若中奖3次，则奖励价值60元的AI学习包；若中奖2次，则奖励价值35元的AI学习包；其他情况无奖励． 方案二：在系统甲中抽奖3次，中奖次数决定奖励价值，若中奖3次，则奖励价值80元的AI学习包；若中奖2次，则奖励价值50元的AI学习包；其他情况无奖励． 通过计算获得AI学习包价值的期望，判断该同学应选择哪种方案． 【答案】（1） （2）选择方案一 【解析】 【小问1详解】 设“该同学中奖”为事件，“选择甲、乙、丙智能抽奖系统”分别为事件， 则， ，， 所以， 所以该同学中奖的概率为． 【小问2详解】 选择方案一： 设该同学获得AI学习包的价值为元，则的所有可能取值为60，35，0， 则， ， ， 所以． 选择方案二： 设该同学获得AI学习包的价值为元，则的所有可能取值为80，50，0， 则，， 所以． 因为，故该同学应选择方案一． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平罗中学2025-2026学年度第二学期第三次考试试题 高二数学 满分：150分 考试时长：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “函数是幂函数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充要条件 3. 已知实数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 4. 某空间站由三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 150 B. 90 C. 60 D. 30 5. 年月日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数个数为（ ）（素数即质数，，计算结果取整数） A. B. C. D. 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 某公司大力推进科技创新发展战略，持续加大研发投入（单位：万元），不断提升公司的创新能力.2016年至2020年该公司的研发投入如下表所示： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份编号x 1 2 3 4 5 研发投入y/万元 51 93 m 175 211 若y与x线性相关，由上表数据求得的线性回归方程为，则（ ） A. B. y与x正相关 C. 该公司平均每年增加研发投入约11.4万元 D. 预计2022年该公司的研发投入为292.8万元 10. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列说法正确的有（ ） A. 是周期为4的周期函数 B. 的图象关于直线对称 C. D. 在（3，4）上单调递减 11. 已知函数则下列结论正确的是（ ） A. ，都有 B. 且，都有 C. 的值域为 D. 关于的方程有3个不等实数根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则的定义域为__________.用区间表示 13. 的展开式中 的系数为 ____________________ 14. 设实数满足 ，实数满足 ，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是_________. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是定义在上的偶函数，当时，． （1）当时，求的解析式； （2）求满足不等式的的取值范围． 16. 已知函数，其中． （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性，并给予证明； （3）求使的x取值范围． 17. 已知关于的不等式 的解集为． （1）求实数，的值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 18. 某公司研发了一种智能语音客服系统，在测试时，当语音输入的问题表达清晰时，智能语音客服的回答被采纳的概率为，当语音输入的问题表达不清晰时，智能语音客服的回答被采纳的概率为.已知语音输入的问题表达清晰的概率为，且智能语音客服每次回答是否被采纳相互没有影响. （1）求智能语音客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了4个问题，设表示智能语音客服的回答被采纳的次数，求的分布列､数学期望和方差. 19. 某高校人工智能实验室组织“AI编程挑战赛”，参赛者每答对一道题目可获得一次抽奖机会，从三个智能抽奖系统中选择一个进行抽奖，系统甲：每次抽奖中奖概率为；系统乙：每次抽奖中奖概率为；系统丙：每次抽奖中奖概率为．三个系统相互独立，且每次抽奖结果互不影响． （1）若一位同学答对了一道题目，他随机选择一个系统抽奖一次，求他中奖的概率． （2）若某同学答对三道题目，可选择以下两种抽奖方案之一进行抽奖． 方案一：从系统甲、乙、丙中各抽奖一次，中奖次数决定奖励价值，若中奖3次，则奖励价值60元的AI学习包；若中奖2次，则奖励价值35元的AI学习包；其他情况无奖励． 方案二：在系统甲中抽奖3次，中奖次数决定奖励价值，若中奖3次，则奖励价值80元的AI学习包；若中奖2次，则奖励价值50元的AI学习包；其他情况无奖励． 通过计算获得AI学习包价值的期望，判断该同学应选择哪种方案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $