第四章 三角形 单元检测卷 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 本卷为初中数学三角形单元综合模拟培优检测卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，全面覆盖三角形内角和、全等判定等核心知识点，注重几何直观与推理能力考查，适配单元复习巩固与培优提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形内角和、三边关系、全等判定等|如第2题结合平行线性质考查角度计算，体现数学眼光| |填空题|6/18|折叠性质、中线周长差、三角尺叠放角度等|如12题通过折叠考查角度关系，培养空间观念| |解答题|7/52|全等证明、动态问题、综合计算等|如21题动态蚂蚁爬行问题，综合全等与角度不变性，发展推理意识与创新意识|

第4章 三角形 单元综合模拟培优检测卷 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图，是一个建筑工地的三角形支撑架，它的上部被一个长方形钢架遮挡，测量得，则被遮挡的的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，直线AB∥CD，∠B=50°，∠C=40°，则∠E等于（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 3．一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的第三边的长可能是 (　　) A．3cm B．4cm C．7cm D．11cm 4．如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接，．若的面积为18，则阴影部分的面积为（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 5．下列说法中，正确的有（　　） 都含有的两个直角三角形一定全等； 都含有的两个等腰三角形一定全等； 底边相等的两个等腰三角形一定全等； 边长都为的两个等边三角形一定全等； 如果两个等腰三角形的腰长相等，且一腰上的高与另一腰的夹角也恰好相等，那么这两个等腰三角形全等． A．个 B．个 C．个 D．个 6．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，BE与AD交于点F，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3＝（　　） A．59° B．60° C．56° D．22° 7．如图，△AEB、△AFC中，∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，则下列结论错误的是（　　） A．∠EAM=∠FAN B．BE=CF C．△ACN≌△ABM D．CD=DN 8．如图，BC=EC，∠BCE=∠DCA，要使△ABC≌△DEC，不能添加下列选项中的（　　） A．∠A=∠D B．AC=DC C．AB=DE D．∠B=∠E 9．把一条长250cm的铁丝截成a(a≥3)小段，每段长度不小于20cm，若不论怎样的截法，总存在三小段，以它们为边可以组成三角形，则a的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 10．如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点 B、C、E 在同一条直线上，AE与 BD交于点 O，AE与 CD交于点 G，AC与 BD交于点 F，连接 OC、FG，则下列结论要：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④OC 平分∠BOE，其中结论正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．若三角形三边长为3，2x+1，10，则x的取值范围是　 　. 12．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A的对称点A'落在边BC上，若∠A＝50°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　. 13．如图，是的中线，，，那么的周长比的周长多　 　． 14．如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，则∠AEC=　 　度. 15．如图所示，在中，已知点D，E，F分别为，，的中点．且，则图中的面积=　 　 . 16．如图．在△ABC中，点D在BC边上，BD=DC，点E在AD上，CF∥AB，∠BAD=∠DEF，若AB=5，CF=2．则线段EF的长为　 　． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．已知a、b、c是一个三角形的三边长． （1）填空：______0，______0，______0．（填“>”“<”或“=”） （2）化简：． 18． （1）能否将一个三角形剖分成12个全等的小三角形? （2）一个三角形能否剖分成m2个全等的小三角形? 19．如图，在中，平分与相交于点H，． （1）试说明的理由； （2）若，求的度数． 20． 如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． （1）若的面积为，，求的长； （2）若，，求的大小． 21．如图1，△ABC中，AB＝BC＝CA，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，在△ABC的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A向B和由C向A爬行，经过t（s）后，它们分别爬行到了D，E处，连接DC，BE，DC与BE相交于点F． （1）求证：△ACD≌△CBE； （2）小蚂蚁在爬行过程中，∠BFC的大小会变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求∠BFC的度数； （3）如图2，当小蚂蚁分别爬行到线段AB，CA的延长线上的D，E处时，若EB的延长线与CD交于点Q，其他条件不变，请直接写出∠CQE的度数． 22．如图，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC于点E，点F在AE上且CF∥AD． （1）如图①，若△ABC是锐角三角形，∠B＝30°，∠ACB＝80°，则∠CFE＝　 　度． （2）如图①，若△ABC是锐角三角形，∠ACB＞∠B，∠B＝x，∠ACB＝y，则∠CFE＝　 　（用含x，y的代数式表示）． （3）如图②，若△ABC是钝角三角形，∠ACB为钝角，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？说明理由． 23．我们探究过三角形内角和等于 ， 四边形内角和等于 ， 请解决下面的问题： （1）如图 1， ， 则 　 　 (直接写出结果) （2）在图 1 的基础上， 连结 分别是四边形 的四个内角的平分线． ①如图 2， 如果 ， 那么 的度数为 ▲ (直接写出结果) ②如图 3， 若 与 平行吗？ 请写出理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 三角形 单元综合模拟培优检测卷 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图，是一个建筑工地的三角形支撑架，它的上部被一个长方形钢架遮挡，测量得，则被遮挡的的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：在△ABC中，∵， ∴． 故选：B． 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理， 已知△ABC的两个角∠A和∠B的度数，要求被遮挡的角∠ACB的度数.根据三角形内角和为180°的定理，可以通过已知两角的度数求出第三个角的度数. 2．如图，直线AB∥CD，∠B=50°，∠C=40°，则∠E等于（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 【答案】C 【解析】【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠1=∠B=50°， ∵∠C=40°， ∴∠E=180°﹣∠B﹣∠1=90°， 故答案为：C． 【分析】先由AB∥CD得到∠1=∠B=50°，再由三角形内角和定理即可求得. 3．一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的第三边的长可能是 (　　) A．3cm B．4cm C．7cm D．11cm 【答案】C 【解析】【分析】首先设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得7-3＜x＜7+3，再解不等式即可． 【解答】设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得： 7-3＜x＜7+3， 解得：4＜x＜10， 故答案为：C， 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 4．如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接，．若的面积为18，则阴影部分的面积为（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【解析】【解答】解：由中线性质可得：， ， ， ． 故答案为：B． 【分析】本题根据中线平分三角形的面积，依次计算出、，最后求和计算即可得出答案． 5．下列说法中，正确的有（　　） 都含有的两个直角三角形一定全等； 都含有的两个等腰三角形一定全等； 底边相等的两个等腰三角形一定全等； 边长都为的两个等边三角形一定全等； 如果两个等腰三角形的腰长相等，且一腰上的高与另一腰的夹角也恰好相等，那么这两个等腰三角形全等． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【解析】【解答】解：①都含有70°的两个直角三角形不一定相等，因为没有对应边相等，所以①错误； ②都含有100°的两个等腰三角形不一定相等，因为没有对应边相等，所以②错误； ③底边相等的两个等腰三角形不一定相等，因为没有对应角相等，所以③错误； ④边长都为10cm的两个等边三角形一定全等； 因为根据SSS或AAS或SAS或ASA可以判定两个三角形全等，所以④正确； ⑤如果两个等腰三角形的腰长相等，且一腰上的高与另一腰的夹角也恰好相等，那么这两个等腰三角形全等． 因为根据条件可以得出两个等腰三角形的底角，顶角对应相等，再根据SAS或AAS或ASA可以判定两个三角形全等，所以⑤正确； 所以正确的有④⑤这2个． 故答案为：C． 【分析】利用全等三角形的判定方法逐一分析判定即可． 6．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，BE与AD交于点F，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3＝（　　） A．59° B．60° C．56° D．22° 【答案】A 【解析】【解答】∵∠C＝70°，∠ABC＝48°， ∴∠BAC=180°-∠C-∠ABC=180°-70°-48°=62°， ∵AD为△ABC的角平分线， ∴∠1=∠2=∠BAC=31°， ∵BE为△ABC的高， ∴∠AEF=90°， 在△AEF中，∠AFE=180°-∠1-∠AEF=180°-31°-90°=59°， ∵∠3与∠AFE是对顶角， ∴∠3=∠AFE=59°， 故答案为：A. 【分析】先利用三角形的内角和求出∠BAC，再利用角平分线的定义求出∠1=∠2=∠BAC=31°，再结合∠AEF=90°，利用三角形的内角和及对顶角求出∠3=∠AFE=59°即可. 7．如图，△AEB、△AFC中，∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，则下列结论错误的是（　　） A．∠EAM=∠FAN B．BE=CF C．△ACN≌△ABM D．CD=DN 【答案】D 【解析】【解答】解：∵在△AEB和△AFC中，∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF， ∴△AEB≌△AFC（AAS）， ∴BE=CF，∠EAB=∠FAC， ∴∠EAM=∠FAN，故选项A、B正确； ∵∠EAM=∠FAN，∠E=∠F，AE=AF， ∴△ACN≌△ABM，故选项C正确； 错误的是D． 故选D． 【分析】由∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，可证明△AEB≌△AFC，利用全等三角形的性质进行判断． 8．如图，BC=EC，∠BCE=∠DCA，要使△ABC≌△DEC，不能添加下列选项中的（　　） A．∠A=∠D B．AC=DC C．AB=DE D．∠B=∠E 【答案】C 【解析】【解答】根据已知条件可得 ， 即 ， ∵BC=EC， ∴已知三角形一角和角的一边，根据全等条件可得： 可根据AAS证明，A不符合题意； 可根据SAS证明，B不符合题意； 不能证明，C故符合题意； 根据ASA证明，D不符合题意； 故答案为：C． 【分析】根据全等三角形的判定条件进行分析即可； 9．把一条长250cm的铁丝截成a(a≥3)小段，每段长度不小于20cm，若不论怎样的截法，总存在三小段，以它们为边可以组成三角形，则a的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】【解答】解：先假设截取的上都从短到长排列依次是 ∵每一段不小于20cm， 不与前两段组成三角形的话， 即 不与前三段的任意两段构成三角形的话，必须大于任意两段之和，即 即 不与前三段的任意两段构成三角形的话，必须大于任意两段之和，即 即 此时剩下的 100， 实际上 那么前面四段中必有两段与 组成三角形. ∴a的最小值为6. 故选： D. 【分析】设其中最小的两段都是20cm根据三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，则若要至少拼成一个三角形的话，最小的两边的和要大于等于第三边长，从而确定a的取值范围，即可求解. 10．如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点 B、C、E 在同一条直线上，AE与 BD交于点 O，AE与 CD交于点 G，AC与 BD交于点 F，连接 OC、FG，则下列结论要：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④OC 平分∠BOE，其中结论正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】【解答】∵△ABC 和△DCE 均是等边三角形， ∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°， ∴∠ACB+∠ACD＝∠ACD+∠ECD，∠ACD＝60°， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴AE＝BD，①符合题意； ∠CBD＝∠CAE， ∵∠BCA＝∠ACG＝60°，AC＝BC， ∴△BCF≌△ACG（ASA）， ∴AG＝BF，②符合题意； 同理：△DFC≌△EGC（ASA）， ∴CF＝CG， ∴△CFG 是等边三角形， ∴∠CFG＝∠FCB＝60°， ∴FG∥BE，③符合题意； 过 C 作 CM⊥AE 于 M，CN⊥BD 于 N， ∵△BCD≌△ACE， ∴∠BDC＝∠AEC， ∵CD＝CE，∠CND＝∠CMA＝90°， ∴△CDN≌△CEM， ∴CM＝CN， ∵CM⊥AE，CN⊥BD， ∴Rt△OCN≌Rt△OCM（HL） ∴∠BOC＝∠EOC， ∴OC 平分∠BOE，④符合题意； 故答案为：D． 【分析】首先根据等边三角形的性质，得到 BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠BCD＝60°，然后由 SAS 判定△BCD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得①符合题意；又由全等三角形的对应角相等，得到∠CBD＝∠CAE，根据ASA，证得△BCF≌△ACG，即可得到②符合题意，同理证得 CF＝CG，得到△ CFG 是等边三角形，易得③符合题意． 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．若三角形三边长为3，2x+1，10，则x的取值范围是　 　. 【答案】3<x<6 【解析】【解答】根据三角形的三边关系， 得： ， 解得 ， 故答案为 . 【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边，列不等式求解即可得出答案. 12．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A的对称点A'落在边BC上，若∠A＝50°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　. 【答案】230° 【解析】【解答】解：∵∠A＝50°， ∴△ABC中，∠B+∠C＝130°， 又∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠3+∠4+∠C＝180°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣（∠B+∠C）＝360°﹣130°＝230°. 故答案为：230°. 【分析】根据内角和定理可得∠B+∠C＝130°，∠1+∠2+∠B＝180°，∠3+∠4+∠C＝180°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝360°-(∠B+∠C)，据此计算. 13．如图，是的中线，，，那么的周长比的周长多　 　． 【答案】2 【解析】【解答】解：是的中线， ， 的周长的周长 ， 的周长比的周长多， 故答案为：． 【分析】根据中线的定义可得出，进而得出的周长与的周长差，进而即可的外出答案。 14．如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，则∠AEC=　 　度. 【答案】75 【解析】【解答】解：∵将一副三角尺叠放在一起 ∴∠ABC=∠ACB=45° ∠CAD=60°，∠ADC=30° ∵∠AEC+∠ACB+∠CAD=180° ∴∠AEC=180°-∠ACB-∠CAD=75° 故答案为：75°. 【分析】本题考查三角形内角和定理，由题意可知∠ABC=∠ACB=45°，∠CAD=60°，∠ADC=30°，在△AEC中根据三角形内角和为180°可知∠AEC+∠ACB+∠CAD=180°即可得出∠AEC=75°即为答案. 15．如图所示，在中，已知点D，E，F分别为，，的中点．且，则图中的面积=　 　 . 【答案】 【解析】【解答】∵点E是的中点，， ∴S△BDE=S△ABD，S△CDE=S△ACD， ∴S△BCE=S△BDE+S△CDE=S△ABD+S△ACD=（S△ABD+S△ACD）=S△ABC=， ∵点F是BE的中点， ∴S△CEF=S△BCE=， 故答案为：. 【分析】利用三角形的中线平分三角形的面积可得S△BDE=S△ABD，S△CDE=S△ACD，求出S△BCE=，再求出S△CEF=S△BCE=即可. 16．如图．在△ABC中，点D在BC边上，BD=DC，点E在AD上，CF∥AB，∠BAD=∠DEF，若AB=5，CF=2．则线段EF的长为　 　． 【答案】3 【解析】【解答】解：延长AD，CF交于G， ∵CF∥AB， ∴∠B=∠BCF， 在△ABD与△GCD中， ， ∴△ABD≌△CDG， ∴AB=CG，∠BAD=∠G， ∵∠BAD=∠DEF， ∴∠DEF=∠G， ∴EF=FG， ∵AB=5，CF=2， ∴CG=5， ∴EF=FG=5﹣2=3． 故答案为：3． 【分析】延长AD，CF交于G，通过△ABD≌△CDG，得到AB=CG，∠BAD=∠G，等量代换得到∠DEF=∠G，由等腰三角形的性质得到EF=FG，等量代换即可得到结论． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．已知a、b、c是一个三角形的三边长． （1）填空：______0，______0，______0．（填“>”“<”或“=”） （2）化简：． 【答案】（1）>，>，<； （2）解：由（1）得： ，，， ∴原式=a+b-c-(a+c-b)-(a-b-c) =a+b-c-a-c+b-a+b+c =． 【解析】【解答】（1）解：a、b、c是一个三角形的三边长， ∴，，a＜b+c， ∴，，， 故答案为：；；． 【分析】 （1）根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”并结合不等式的性质即可判断求解； （2）结合（1）的结论，根据绝对值的性质以及整式加减运算计算即可求解． （1）解：a、b、c是一个三角形的三边长， 则，， ∴，， 故答案为：；；． （2） ． 18． （1）能否将一个三角形剖分成12个全等的小三角形? （2）一个三角形能否剖分成m2个全等的小三角形? 【答案】（1）解：并非所有三角形皆可满足题目要求，如图①，正三角形可剖分成12个全等的小三角形. （2）解：能；首先将所给三角形的三条边都分成 m 等份，然后在等分点处分别连线. 这样，可将三角形分成：1+3+5+7+…+(2m-1)=m2(个)小三角形. 【解析】【分析】(1)等边三角形分成4个全等的等边三解形，每个小等边三角形再分成3个全等三角形即可； (2)受(1)的启发，将等边三角形分成4个小等边三角形共4=1+3个全等三角形，同理9=1+3+5个全等三角形.....即等边三角形分别m等分可将它分成m2个小三角形. 19．如图，在中，平分与相交于点H，． （1）试说明的理由； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ， 。 （2）解：结合（1）可知，， ， =， ， ．​​​ 【解析】【分析】（1）结合条件“ ”以及对顶角相等的性质，即可得出，此时利用“同旁内角互补、两直线平行”得出，此时利用“两直线平行、同位角相等”得出，最后根据角平分线的定义即可得出答案； （2）结合（1）的证明步骤和结果，可以得出，然后利用“直角三角形两个锐角互余”计算得出=，结合角平分线的定义计算出=40°，最后利用三角形内角和列式计算即可求出． （1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 20． 如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． （1）若的面积为，，求的长； （2）若，，求的大小． 【答案】（1）解：是的中线，， ， 是的高，的面积为， ， ； （2）解：在中，为它的一个外角，且，， ， 是的角平分线， ， ． 【解析】【分析】（1）利用面积法求解即可． （2）求出∠ABC，再根据∠BAF=90°-∠ABC即可求解。 21．如图1，△ABC中，AB＝BC＝CA，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，在△ABC的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A向B和由C向A爬行，经过t（s）后，它们分别爬行到了D，E处，连接DC，BE，DC与BE相交于点F． （1）求证：△ACD≌△CBE； （2）小蚂蚁在爬行过程中，∠BFC的大小会变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求∠BFC的度数； （3）如图2，当小蚂蚁分别爬行到线段AB，CA的延长线上的D，E处时，若EB的延长线与CD交于点Q，其他条件不变，请直接写出∠CQE的度数． 【答案】（1）证明：∵小蚂蚁同时从A、C出发，速度相同， ∴t（s）后两只小蚂蚁爬行的路程AD＝CE， ∵在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（SAS）； （2）解：∵△ACD≌△CBE， ∴∠EBC＝∠ACD， ∵∠BFC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCD， ∴∠BFC＝180°﹣∠ACD﹣∠BCD， ＝180°﹣∠ACB， ∵∠A＝∠ABC＝∠ACB， ∴∠ACB＝60°， ∴∠BFC＝180°﹣60°＝120°， ∴∠BFC无变化，其度数为120°； （3）∠CQE＝60° 【解析】【解答】解：（3）由题可得， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据小蚂蚁的速度相同求出，再利用“SAS”证明 △ACD≌△CBE ； （2）根据全等三角形对应角相等可得 ∠EBC＝∠ACD ，然后表示出 ∠BFC＝180°﹣∠ACB ，再根据等边三角形的性质求出 ∠ACB＝60° ，从而得到 ∠BFC＝120° ， ∠BFC 无变化； （3）先证明，得到，再利用三角形外角性质求解。 22．如图，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC于点E，点F在AE上且CF∥AD． （1）如图①，若△ABC是锐角三角形，∠B＝30°，∠ACB＝80°，则∠CFE＝　 　度． （2）如图①，若△ABC是锐角三角形，∠ACB＞∠B，∠B＝x，∠ACB＝y，则∠CFE＝　 　（用含x，y的代数式表示）． （3）如图②，若△ABC是钝角三角形，∠ACB为钝角，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？说明理由． 【答案】（1）25 （2） （3）解：（2）中的结论成立，理由： 在△ABC中，∠B＝x，∠ACB＝y， ∴∠BAC＝180°-∠B-∠ACB＝180°-x-y， ∵AD平分∠BAC， ∴ ， ∵∠ACB＝y， ∴∠ACE＝180°-∠ACB＝180°-y， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴∠CAE＝90°-∠ACE＝90°-（180°-y）＝y-90°， ∴∠DAE＝∠CAD+∠CAE ＝ ＝ 【解析】【解答】解：（1）根据题意，在三角形ABC中，∠B=30°，∠ACB=80°， 所以∠BAC=180°-∠B-∠ACB=70°，因为AD平分∠BAC， 所以∠CAD=∠BAC=×70°=35°， 因为AE⊥BC，所以∠AEC=90°， 所以∠CAE=90°-∠ACB=90°-80°=10°，所以∠DAE=∠CAD-∠CAE=25°， 因为CF∥AD，所以∠CFE=∠DAE=25°； （2）在三角形ABC中，∠B=x，∠ACB=y，所以∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-x-y， 因为AD平分∠BAC，所以∠CAD=∠BAC=（180°-x-y）， 因为AE⊥BC，所以∠AEC=90°，所以∠CAE=90°-∠ACB=90°-y 所以∠DAE=∠CAD-∠CAE=y-x； （3）（2）中的结论成立，理由： 在△ABC中，∠B＝x，∠ACB＝y， ∠BAC＝180°-∠B-∠ACB＝180°-x-y， 因为AD平分∠BAC， 所以∠CAD=∠BAC= （180°-x-y）， 因为∠ACB＝y， 所以∠ACE＝180°-∠ACB＝180°-y， 因为AE⊥BC， 所以∠AEC＝90°， 所以∠CAE＝90°-∠ACE＝90°-（180°-y）＝y-90°， 所以∠DAE＝∠CAD+∠CAE ＝ （180°-x-y）+（y-90°） ＝ 90°-x-y-90°=y-x， 因为CF∥AD，所以∠CFE=∠DAE=y-x； 【分析】（1）在三角形中结合内角和定理求出∠BAC的度数，继而根据角平分线的性质求出∠CAD，继而求出∠DAE，根据直线平行的性质得到∠CFE的度数即可； （2）同理，在三角形中结合内角和定理求出∠BAC的度数，继而根据角平分线的性质求出∠CAD，继而求出∠DAE，根据直线平行的性质得到∠CFE的度数即可； （3）类比（2）中的结论，求出∠CFE的度数。 23．我们探究过三角形内角和等于 ， 四边形内角和等于 ， 请解决下面的问题： （1）如图 1， ， 则 　 　 (直接写出结果) （2）在图 1 的基础上， 连结 分别是四边形 的四个内角的平分线． ①如图 2， 如果 ， 那么 的度数为 ▲ (直接写出结果) ②如图 3， 若 与 平行吗？ 请写出理由． 【答案】（1）180° （2）解：①70° ②AB∥CD，理由如下： ∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线， ∴∠OAB＝∠DAB，∠OBA＝∠CBA，∠OCD＝∠BCD，∠ODC＝∠ADC， ∴∠OAB＋∠OBA＋∠OCD＋∠ODC＝×360°＝180°， 在△OAB中，∠OAB＋∠OBA＝180°−∠AOB， 在△OCD中，∠OCD＋∠ODC＝180°−∠COD， ∴180°-∠AOB＋180°-∠COD＝180°， ∴∠AOB＋∠COD＝180°； ∴∠AOD＋∠BOC＝360°-（∠AOB＋∠COD）＝360°-180°＝180°， ∵∠AOD＝∠BOC， ∴∠AOD＝∠BOC＝90°． 在∠AOD中，∠DAO＋∠ADO＝180°-∠AOD＝180°-90°＝90°， ∵∠DAO＝∠DAB，∠ADO＝∠ADC， ∴∠DAB＋∠ADC＝90°， ∴∠DAB＋∠ADC＝180°， ∴AB∥CD 【解析】【解答】解：(1)∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180° ∴∠A+∠B+∠AOB+∠C+∠D+∠COD=360°， ∵∠A+∠B+∠C+∠D=180° ∴180°+∠AOB+∠COD=360°. ∴∠AOB+∠COD=180°. 故答案为：180°. (2)①∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠AOB=110°， ∴∠OAB+∠OBA=180°-∠AOB=70° ∵OA、OB 分别平分∠DAB与∠ABC， ∴∠DAB=2∠OAB，∠ABC=2∠OBA， ∴∠DAB+∠ABC=2(∠OAB+∠OBA)=140° ∵∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠BAD=360° ∴∠ADC+∠BCD=360°-(∠DAB+∠ABC)=220° ∵OC、OD 分别平分∠BCD与∠ADC， ∴，， ∴， ∴∠COD=180-(∠ODC+∠OCD)=70° 故答案为：70°. 【分析】(1)根据三角形内角和定理得∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°，将两式相加后再结合已知可求出∠AOB+∠COD的度数； (2)①由三角形的内角和定理求出∠OAB+∠OBA=180°-∠AOB=70°，由角平分线定义求出∠DAB+∠ABC=140°，由四边形的内角和定理求出∠ADC+∠BCD=220°，由角平分线定义求出，最后再根据三角形的内角和定理可求出∠COD的度数； ②由交平分线定义及三角形内角和定理可得∠AOB+∠COD=180°，从而根据周角定义得出∠ADO+∠BOD=180°，结合已知可得∠AOD=∠BOC=90°，进而得出∠DAB+∠ADC=180°，然后根据同旁内角互补，两直线平行得出AB//CD. 学科网（北京）股份有限公司 $