第四章 三角形（举一反三单元自测·拔尖卷）数学新教材北师大版七年级下册

第四章 三角形·拔尖卷 【新教材北师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·山东德州·月考）下面说法不正确的个数有（   ） ①三条线段组成的图形叫三角形；②如果，那么是直角三角形；③三角形的一个外角大于任何一个内角；④三角形的三个内角中，至少有两个锐角；⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的定义，三角形的分类，三角形的内角和定理和三角形的外角，三角形的高线，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接形成的图形叫三角形；故①说法错误； 如果，则：，那么是直角三角形；故②说法正确； 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；故③说法错误； 三角形的三个内角中，至少有两个锐角；故④说法正确； 如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形可能是钝角三角形，也可能是直角三角形；故⑤说法错误； 综上：错误的有3个； 故选C． 2．一等腰三角形的周长为20，两条边的比为，那么其底边长为（   ） A．10 B．4 C．4或10 D．5或8 【答案】B 【分析】分两种情况讨论等腰三角形底边与腰的比例，再结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）舍去不符合的情况，即可得到底边长． 【详解】解：因为等腰三角形两条边的比为， 所以当底边长腰长时，设底边长为，则腰长为， 因为周长为20， 所以 解得， 此时三边长为， 因为， 所以满足三角形三边关系，符合要求； 当腰长底边长时，设腰长为，则底边长为， 因为周长为20， 所以 解得， 此时底边长， 此时三边长为， 因为，不满足三角形三边关系，舍去这种情况． 所以该等腰三角形底边长为4． 3．（25-26八年级上·四川凉山·期末）如图，，，添加一个条件，不能使的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据全等三角形的判定条件，逐项判断即可． 【详解】解：因为，， 当时，可通过证明， 所以A不符合题意； 当时，因为， 所以， 所以， 所以可通过证明， 所以B不符合题意； 当时，可通过证明， 所以C不符合题意； 当时，不可通过证明， 所以D符合题意； 故选：D． 4．（25-26八年级上·湖北恩施·期末）如图点D、E、F分别是边上的中点．若阴影部分的面积为9，则的面积是（   ） A．18 B．24 C．27 D．32 【答案】B 【分析】本题考查了中线平分面积，根据阴影部分的面积设，则，根据中线平分面积的计算得到，，由此列式求解即可． 【详解】解：因为阴影部分的面积为9， 所以设，则， 因为点是线段的中点， 所以，则， 因为点是线段的中点， 所以， 所以， 同理，， 所以， 所以， 所以， 所以， 解得，， 故选：B ． 5．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，已知，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全等三角形性质推出，再结合对顶角性质和三角形内角和推出，即可解题． 【详解】解：如下图， 因为，， 所以，， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以的度数为． 6．如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据三角形内角和定理，证明，由即可求出结果． 【详解】解：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ． 故选：C． 7．（25-26八年级上·江西南昌·月考）如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（　　） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线，根据三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．因为，是的角平分线，正确； B．因为，为边上的高，正确； C．因为G为的中点，是边上的中线，故原说法不正确； D．因为，为的高线，正确； 故选C． 8．图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，，未使用指甲剪时，杠杆与上臂重合：使用时，下压点至时，刚好至点，当时，两刀片咬合，恰好平分，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，外角的性质，熟练掌握这些定理与性质是解题的关键． 延长，交于点，先由平行线的性质得到，再由外角的性质得到，最后再由角平分线的定义和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，延长，交于点， 因为，， 所以， 因为， 所以由外角的性质得． 因为平分， 所以． 在中，由三角形内角和定理得． 9．（25-26八年级上·河北张家口·期末）要测量池塘两端点A，B间的距离，现有如下两种测量方案，对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（    ） 方案Ⅰ：如图1． ①在平地上取一点O； ②连接，并延长到C，D两点，使，； ③连接，测量的长即可． 方案Ⅱ：如图2． ①在平地上取一点O； ②连接，在的延长线上取一点C，使； ③测量的长即可． A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质． 对于方案Ⅰ：通过构造，，结合对顶角相等的条件，利用全等三角形的判定证明，从而得到，实现通过测量长度来间接得到长度的目的．对于方案Ⅱ：原始条件仅和，无法证明三角形全等． 【详解】解：方案Ⅰ：理由：在和中， ， ， ，故Ⅰ可行； 方案Ⅱ：仅和，无法证明三角形全等． 故选：A． 10．如图，中，，，的平分线交于点，平分．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据同角的余角相等即可证明①正确；由角平分线定义可得，再结合三角形外角的性质推出，进而证得，故②正确；若，可推出，但题中无条件限定一定等于，故③错误；由平分，且，得，，，因此，结合，，可证，得到，，即垂直平分，进而得，因此，代换可得，从而证明，故④正确． 【详解】解：因为，， 所以，， 所以，故①正确； 因为平分， 所以， 因为，， 所以， 所以，故②正确； 若，则， 因为， 所以， 所以，但题中无条件限定一定等于，故③错误； 因为平分，， 所以，，， 所以， 又因为，， 所以， 所以，， 所以垂直平分， 所以， 所以， 所以， 所以，故④正确； 综上，正确的有①②④． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）每年的6月18日是鄂伦春族的传统节日——篝火节，篝火就是在野外营地里配上三角竹架的火堆．如图所示的是一款户外露营便携篝火架，这样设计的原理是____________________． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查了三角形的特性，熟练掌握“三角形具有稳定性”是解题的关键； 运用三角形稳定性这一知识来解释篝火架设计原理． 【详解】解：三角形具有稳定性：三角形的三条边长度确定后，它的大小和形状就不会改变． 故答案为：三角形的稳定性 ． 12．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）若，分别是中边上的高和中线，，，，则的面积为___________． 【答案】30或6 【分析】该题考查了三角形的高线、中线、面积计算，分为当高在的内部时，当高在的外部时，分别求解即可． 【详解】解：如图1，当高在的内部时， 则， 因为是中线， ， ； 如图2，当高在的外部时， 则， 因为是中线， ， ． 综上所述，的面积为30或6． 故答案为：30或6． 13．（25-26八年级上·广西百色·月考）如图，四边形的对角线，交于点O．如果我们把恰有一条边相同的两个三角形称为一对“共边三角形”，那么图中共有__对“共边三角形”． 【答案】18 【分析】本题考查了三角形，理解“共边三角形”的定义是解题关键．根据“共边三角形”的定义解答即可得． 【详解】解：以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 所以图中共有“共边三角形”的对数为（对）， 故答案为：18． 14．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，．点P在线段上以2的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为t（）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．点Q的运动速度为_________时，有与全等． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质， 设点Q的运动速度为，分两种情况讨论：若，则，即；②若，则，即；分别求出x即可． 【详解】解：设点Q的运动速度为， 因为，． 所以与全等分两种情况： （1）若， 则， 即， 解得：； （2）若， 则， 即， 解得：. 综上所述，x的值为2或时，与全等. 故答案为：2或． 15．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，点A，E，F，D在同一直线上，若，，，则图中的全等三角形共有______对． 【答案】3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质．由可得，由平行线的性质可得，根据推出，，得到，从而推出，再根据推出． 【详解】解：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 综上所述，全等三角形共有3对， 故答案为：3． 16．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）如图，，，于点，于点，若，，则的面积为_________ ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质． 通过全等三角形的判定定理证明，从而证明，，由即可求解． 【详解】解：， ， 于点， ， ． 又， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，，则与的周长差为________； (2)若，，求的大小． 【答案】(1)2； (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形中线以及三角形外角： （1）通过中线性质得到线段相等关系，再根据周长公式计算差值； （2）根据已知条件求出相关角度，进而得出所求角的大小． 【详解】（1）解：是的中线， ， 的周长为：，的周长为：， 与的周长差为：． 故答案为：． （2）解：在中，为它的一个外角，且，， ． 是的角平分线， ． ， ， 在中，． ． 18．（6分）（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形的对角线相交于点，，点F在上，． (1)求证：； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，可得，即可求证； （2）根据，可得，，从而得到，即可求证． 【详解】（1）证明：，， ， ， 在和中， ， ． （2）证明：由（1）得， ，， ， ， 平分． 19．（8分）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等形．” 理解应用：我们可以把4×4网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1和图2是两种不同的划分方法，其中图3与图1视为同一种划分方法． 请你再提供四种与上面不同的划分方法，分别在图4中画出来． 【答案】见解析 【分析】根据网格的特点和全等形的定义进行作图即可． 【详解】依题意，如图 【点睛】本题考查了全等图形的定义，熟练掌握网格特点作图和全等图形的概念是解题的关键． 20．（8分）小明将一块含角的直角三角板按如图①所示的方式放置，其中直角顶点落在直线l上．由、两点分别向直线l作垂线，垂足分别为、． (1)试猜想与 全等，并说明理由． (2)小明改变三角板的位置，如图②所示，上述结论还成立吗？请说明理由． 【答案】(1)，证明见详解； (2)成立，证明见详解． 【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质即可求解； （2）根据全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）证明：猜想与全等； 理由如下： 由题意得：，， ， ，， ， 在与中， ， ； （2）解：成立，证明如下： 由题意得：，， ， ，， ， 在与中， ， ． 21．（10分）（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，，与交于点F，连接、． (1)请找出图中的全等三角形； (2)你认为线段与之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题关键是熟知全等三角形的判定定理，，，． （1）利用全等三角形的判定定理判定即可； （2）利用得到即可． 【详解】（1）解：在和中， ， 所以； 所以，，， 所以， 所以， 在与中， ； 所以，， 所以，即， 在与中， ， ； 综上，全等三角形有；；； （2）解： 证明：由（1）知， 所以． 22．（10分）（25-26八年级上·安徽安庆·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)①，；②、都是“友爱三角形”；理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了直角三角形的性质和新定义，正确理解“友爱三角形”的定义是关键． （1）①根据与互余和“友爱三角形”的定义进行求解即可； ②根据直角三角形的性质及“友爱三角形”的定义进行判断即可； （2）直接根据“友爱三角形”定义求解即可． 【详解】（1）解：①是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ， ， ，即，解得， ； ②、都是“友爱三角形”， 理由：是中边上的高， ， ， 在中，， ， 为“友爱三角形”； 在中，， 为“友爱三角形”； （2）解：是“友爱三角形”，是边上一点（不与点重合）， 或， 当时，； 当时， ，即， ， 综上所述，的度数为或． 23．（12分）（24-25八年级下·浙江宁波·月考）如图，在正方形中，点，点分别在边．上且满足，点是对角线的中点，连接． (1)求证：． (2)若． ①求证：． ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用证明，即可； （2）①延长交分别于点，作于点，则，，，进而推出，，进而得到，即可； ②证明，，进而得到，推出，三角形的中线的性质得到，证明，推出，进而得到，即可得证． 【详解】（1）证明：因为正方形， 所以， 又因为， 所以； （2）证明：①延长交分别于点，作于点，如图， 则，，， 所以，， 因为， 所以， 所以， 由（1）可知：， 所以， 所以， 所以； ②由①可知：，，， 所以， 因为， 所以， 又因为， 所以， 所以， 因为正方形， 所以， 所以， 因为为的中点， 所以，， 所以， 所以， 所以，即， 所以， 又因为， 所以． 24．（12分）（25-26八年级上·广东广州·期中）【探究】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为__________． A．    B． C． D． 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 【答案】（1）B；（2）；（3）见解析 【分析】（1）先利用三角形的中线的意义得出，再根据对顶角的性质得出，从而可证明； （2）先证明，根据全等三角形的性质可得出，再利用三角形三边关系求解即可； （3）先证明，从而可得，，再证明，从而可得，于是可得． 【详解】（1）解：因为是的中线， 所以， 延长至点E， 所以， 又， 所以， 故选：B； （2）解：延长至点，使，连接，如图， 则， 在与中， ， 所以， 所以， 在中，， 即， 所以的取值范围为； （3）证明：延长至，使，连接，如图： 因为是的中点， 所以， 因为，， 所以， 所以，， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为，， 所以， 所以， 所以． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)，确定第三边的取值范围，灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）等知识点，解题关键是掌握上述知识点． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形·拔尖卷 【新教材北师大版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·山东德州·月考）下面说法不正确的个数有（   ） ①三条线段组成的图形叫三角形；②如果，那么是直角三角形；③三角形的一个外角大于任何一个内角；④三角形的三个内角中，至少有两个锐角；⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．一等腰三角形的周长为20，两条边的比为，那么其底边长为（   ） A．10 B．4 C．4或10 D．5或8 3．（25-26八年级上·四川凉山·期末）如图，，，添加一个条件，不能使的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·湖北恩施·期末）如图点D、E、F分别是边上的中点．若阴影部分的面积为9，则的面积是（   ） A．18 B．24 C．27 D．32 5．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，已知，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 7．（25-26八年级上·江西南昌·月考）如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（　　） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 8．图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，，未使用指甲剪时，杠杆与上臂重合：使用时，下压点至时，刚好至点，当时，两刀片咬合，恰好平分，若，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·河北张家口·期末）要测量池塘两端点A，B间的距离，现有如下两种测量方案，对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（    ） 方案Ⅰ：如图1． ①在平地上取一点O； ②连接，并延长到C，D两点，使，； ③连接，测量的长即可． 方案Ⅱ：如图2． ①在平地上取一点O； ②连接，在的延长线上取一点C，使； ③测量的长即可． A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行 10．如图，中，，，的平分线交于点，平分．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）每年的6月18日是鄂伦春族的传统节日——篝火节，篝火就是在野外营地里配上三角竹架的火堆．如图所示的是一款户外露营便携篝火架，这样设计的原理是____________________． 12．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）若，分别是中边上的高和中线，，，，则的面积为___________． 13．（25-26八年级上·广西百色·月考）如图，四边形的对角线，交于点O．如果我们把恰有一条边相同的两个三角形称为一对“共边三角形”，那么图中共有__对“共边三角形”． 14．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，．点P在线段上以2的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为t（）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．点Q的运动速度为_________时，有与全等． 15．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，点A，E，F，D在同一直线上，若，，，则图中的全等三角形共有______对． 16．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）如图，，，于点，于点，若，，则的面积为_________ ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，，则与的周长差为________； (2)若，，求的大小． 18．（6分）（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形的对角线相交于点，，点F在上，． (1)求证：； (2)若，求证：平分． 19．（8分）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等形．” 理解应用：我们可以把4×4网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1和图2是两种不同的划分方法，其中图3与图1视为同一种划分方法． 请你再提供四种与上面不同的划分方法，分别在图4中画出来． 20．（8分）小明将一块含角的直角三角板按如图①所示的方式放置，其中直角顶点落在直线l上．由、两点分别向直线l作垂线，垂足分别为、． (1)试猜想与 全等，并说明理由． (2)小明改变三角板的位置，如图②所示，上述结论还成立吗？请说明理由． 21．（10分）（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，，与交于点F，连接、． (1)请找出图中的全等三角形； (2)你认为线段与之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 22．（10分）（25-26八年级上·安徽安庆·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 23．（12分）（24-25八年级下·浙江宁波·月考）如图，在正方形中，点，点分别在边．上且满足，点是对角线的中点，连接． (1)求证：． (2)若． ①求证：． ②求证：． 24．（12分）（25-26八年级上·广东广州·期中）【探究】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为__________． A．    B． C． D． 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $