第4章三角形 单元综合练习题 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 北师大版七年级数学下册《第4章三角形》单元卷，以生活情境（空调安装、油纸伞）和综合实践（动点探究）为载体，覆盖三角形稳定性、全等判定等核心知识，适配单元复习，提升几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|7题/21分|三角形稳定性、三边关系、全等判定（ASA）|结合生活情境（空调安装），基础巩固与空间观念考查| |填空题|7题/21分|全等条件补充、动点全等分类、角平分线性质|含开放性问题（第9题条件补充），培养推理意识| |解答题|6题/58分|三角形作图、全等证明、测量应用（池塘距离）、动点综合探究|综合实践题（第20题）涉及分类讨论，体现模型意识与创新思维|

2025-2026学年北师大版七年级数学下册《第4章三角形》单元综合练习题（附答案） 一、单选题 1.空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原 理是() 空调 三角形支架 A.三角形重心的确定 B.两点之间，线段最短 C.三角形的稳定性 D.图形的轴对称 2.下列各组线段首尾相接，不能组成三角形的是()· A.11,6,7 B.3,4,8 c.8,3,6 D.5,3,4 3.油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其截面如图所示，支撑杆OE=OF,AE=AF, 当O沿AD滑动时，油纸伞开闭，小亮由油纸伞的状态判断，∠BAD=∠CAD,他的判 定依据为() A.SAS B.AAS C.SSS D.ASA 4.如图，在△ABC中，直线！‖BC,若∠1=65°，∠B=45°，则∠A的度数为 () A.60° B.65° C.70° D.75 5.如图，已知AB=AD,∠BAE=∠DAC,要使△ABC≌△ADE,下列条件添加不 正确的是()· E∠I C A.AC=AE B.∠B=∠D C.∠E=∠C D.∠1=∠2 6.如图，在△ACD中，∠CAD=90°，AC=8,AD=10,AB‖CD,E是CD上一点， BE交AD于点F,若点F是AD的中点时，则图中阴影部分的面积为() A B E D A.10 B.20 C.40 D.80 7.如图，在3×3的方格中，每个小方格的边长均为1，∠1=25度，则∠2的度数为 () K2 A.60° B.65° c.70° D.75 二、填空题 8.某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃， 那么最省事方法是带 去 C ③ A①② 9.如图，点E,F在BC上，BE=CF,∠B=∠C,要使△ABF≌△DCE,还要添加一 个条件是 E 10.一个三角形的三边长分别为2,5，x,另一个三角形的三边长分别为y,2,6,若这 两个三角形全等，则x+y= 11.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD.若 BD=2,BC=6,则AC的长为 B 12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,BE⊥CE于点E,AD⊥CE于 点D,若AD=7cm,BE=3cm,则DE=cm. 13.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,D是线段BC上一点，连接 AD,过点A作AE⊥AD,且AE=AD,连接EC交AB于点F.若BD=2,BF=3,则 AB= E B D 14.如图，CA⊥AB,垂足为A,AB=12厘米，AC=6厘米，射线BM⊥AB,垂足为 B,一动点P从点A出发以3厘米/秒的速度沿射线AN运动，同时动点D从点B出发沿射 线BM运动.设点D运动的速度为v厘米/秒，当V=厘米/秒时，能够在某一时刻使 △BPD与△ABC全等. IM D BN 三、解答题 15.如图，已知△ABC的两角分别为∠a,∠B.求作这个三角形，使∠B=∠Q, ∠C=∠B,BC=a(不写作法，保留作图痕迹). B 16.已知△ABC的三边长分别为a,b,c. (1)若ab满足(a-3+b-5=0求整数。的最小值. (2)化简：b+c-a+c-a-b-a-b+c. 17.如图，己知，点A,B,C,F在一条直线上，BC=ED,AE=CF ∠ACB=∠FED. D 1)求证：AB‖DF: (2)若AF=18,EC=6,求AC的长， 18.为测量一池塘不能直线到达的两端A,B间的距离，某数学兴趣小组同学设计了如下 方案.如图，先过点B作AB的垂线BF,再在射线BF上取C,D两点，使BC=CD,接着 过点D作BD的垂线DE,交AC的延长线于点E.测出DE的长为123m,请根据以上方案 写出该距离AB,并说明理由. 19.如图，点E在边CD上，BC与AE交于点F,AB=CB,BE=BD,∠1=∠2 (1)求证：△ABE2△CBD: (2)若AE=8,CE=5,求ED的长， 20.【综合与实践】数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究动点线段 之间的关系.已知在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，BC=8cm,点D从点C出 发在直线BC上2cm/s速度运动，连接AD,在直线AD的右侧作∠DAE=90°，且 AE=AD,连接DE,CE,设运动时间为tt>O: 图1 图2 备用图 备用图 (1)【思考尝试】如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段BC上， 请直接写出线段BD与CE的数量关系与位置关系： (2)【深入探究】如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段BC的 延长线上，请判断(1)中的结论是否成立，并说明理由： (3)“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点D运动的过程中，如果CE=5cm, 请直接写出线段CD的长为cm; (4)【拓展应用】当t为何值时，△ABD的面积为12cm2. 参考答案 1.解：根据题意可知，主要利用了三角形的稳定性. 故选：C 2.解：对选项A,两短边为6,7，最长边为11,6+7=13>11，故能组成三角形，不符 合题意： 对选项B,两短边为3,4，最长边为8,3+4=7<8，故不能组成三角形，符合题意： 对选项C,两短边为3,6，最长边为8,3+6=9>8，故能组成三角形，不符合题意： 对选项D,两短边为3,4，最长边为5,3+4=7>5，故能组成三角形，不符合题意. 3.解：在△AOE与△AOF中， AE=AF AO=AO OE=OF .△AOE≌△AOF SSS, ∴.∠BAD=∠CAD. ∴.他的判定依据为SSS. 故选：C 4.解：1BC, .∠C=∠1=65°， ∠B=45° .∠A=180°-65°-45°=70° 5.解：，AB=AD,∠BAE=∠DAC, ∴.∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC, 即∠BAC=∠DAE, 选项A:AC=AE, :AB=AD,∠BAC=∠DAE,AC=AE, 满足SAS判定定理，可证△ABC≌△ADE; 选项B:∠B=∠D, ,∠B=∠D,AB=AD,∠BAC=∠DAE, 满足ASA判定定理，可证△ABC≌△ADE; 选项C:∠E=∠C, ,∠E=∠C,∠BAC=∠DAE,AB=AD, 满足AAS判定定理，可证△ABC≌△ADE; 选项D:∠1=∠2， ∠1=∠2即对顶角相等，无法直接得出△ABC≌△ADE,符合题意 故选：D 6,解：点F是AD的中点， .AF=DF, ,AB‖CD .∠BAF=∠EDF, 在△BAF和△EDF中， ∠BAF=∠EDF ∠AFB=∠DFE, AF=DF .△BAF≌△EDF AAS, ∴.SABF=S△EDF, ,∠CAD=90°，AC=8,AD=10, 58=5m+5,ae=5+5me-S,加o-AC-AD-x8×10=40, 2 故选：C 7.解：如图，在Rt△ABC中，∠1=25°， 2 B E F 则∠ABC=90°-25°=65°， 在△ACB和△DFE中， BC=EF ∠ACB=∠DFE AC=DF ∴.△ACB≌△DFE SAS, ∴.∠2=∠ABC=65 8.解：第③块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块 一样的玻璃。 故答案为：③ 9.解：①BE=CF ∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE, 在△ABF和△DCE中 ∠B=∠C BF=CE ∠A=∠D .△ABF≌△DCE(AAS) .添加∠A=∠D(答案不唯一). 故答案为：∠A=∠D(答案不唯一). ②，BE=CF .'BE+EF=CF+EF,BF=CE, 在△ABF和△DCE中 ∠B=∠C BF=CE ∠AFB=∠DEC ∴.△ABF≌△DCE(ASA ∴.添加∠AFB=∠DEC(答案不唯一). 故答案为：∠AFB=∠DEC(答案不唯一). ③BE=CF .BE+EF=CF+EF,BF=CE, 在△ABF和△DCE中 ∠B=∠C BF=CE AB=DC ∴.△ABF≌△DCE(SAS ∴添加AB=DC(答案不唯一). 故答案为：AB=DC(答案不唯一. 10.解：两个三角形全等， .x=6,y=5 .x+y=11; 故答案为：11. 11.解：延长BD交AC于点E,如图. DA .CD ∠ACB BD⊥CD 平分 ∴.∠DCE=∠DCB,∠CDE=∠CDB=90 在△CDE和△CDB中： ∠CDE=∠CDB CD=CD ∠DCE=∠DCB .△CDE≌△CDB ASA, ∴.ED=BD=2,EC=BC=6 .∠A=∠ABD, ∴.AE=BE=4, ∴.AC=AE+EC=4+6=10, 故答案为：10. 12.解：'∠ACB=90°，BE⊥CE于点E,AD⊥CE于点D, .∴.∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠CAD=90°， .∴.∠CAD=∠BCE, 在△CDA和△BEC中， (人CAD20, AC=BC .∴.△CDA≌△BEC(AAS), ∴.CD=BE,AD=CE, DE=CE-CD .'DE=AD-BE, 'AD=7cm,BE=3cm, .∴.DE=7-3=4cm. 故答案为：4. 13.解：如图，过点E作EH⊥AB于点H, E B D .AE⊥AD AE-AD G ,且 ∴.∠EAH+∠BAD=90, .:∠EAH+∠HEA=90°， ∴.∠HEA=∠BAD, .'∠EHA=∠ABD=90°，AE=AD. .∴.△HEA≌△BAD AAS, ∴.AH=DB=2,EH=AB, .AB=CB ∴.EH=CB, ,∠EHF=∠CBF=90°，∠EFH=∠CFB, ∴.△EFH≌△CFBAAS, ∴.FH=FB=3, ∴.AB=AH+HF+FB=8, 故答案为：8. 14.解：设点P运动的时间为tt>0秒，则AP=3t厘米，PB=12-3t厘米，BD=vt厘 米， ,AC⊥AB,BM⊥AB .∠A=∠ABD=90°， 当点P在线段AB上时， .AB>PB, ∴.此时只有△ABC≌△BDP这种情况， .BD=AB=12厘米，BP=AC=6厘米， .12-3t=6} t=12 t=2 解得v=6 当点P在AB的延长线上时，∠PBD=∠A=90°， ∴.只存在△ABC≌△BDP和△ABC≌△BPD两种情况， 当△ABC≌△BDP时，则BD=AB=12厘米，AC=PB=6厘米， ,3t-12=6 n=12 t=6 解得v=2 当△ABC≌△BPD时，则BD=AC=6厘米，AB=BP=12厘米， ,|3t-12=12 t=6 t=8 解得 =3 4 3 综上所述，v的值为或2或6， 故答案为： 4或2或6. 15.解：如图，任意作射线BM,以点B为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线BM于点 C,再作∠CBN=∠a,在∠CBN的同侧作∠BCA=∠B,交射线BN于点A, 则△ABC即为所求. AN 16.(1)解：a-3+b-5=0' .a-3=0,b-5=0. ∴a=3,b=5 根据三角形三边关系，可得5-3<c<5+3,即2<c<8. ,c为整数， .c的最小值为3. (2)解：根据三角形三边关系，可得b+c>a,a+c>b,a+b>c, ∴.b+c-a+c-a-b-a-b+c =b+c-a-c-a-b-a+c-b) =b+c-a-c+a+b-a-c+b =3b-a-c. 17.(1)证明：.AE=CF, ∴.AE+EC=EC+CF, ∴.AC=EF, BC=ED 在△ABC和△FDE中， ∠ACB=∠FED, AC=EF ∴.△ABC≌△FDE SAS, ∴∠A=∠F, .AB DF; (2)解：.AF=18,EC=6, ∴.AE+CF=12, .AE=CF, ∴.AE=CF=6, .∴.AC=AE+CE=6+6=12. 18.解：AB=123m,理由如下： 根据题意得：∠ABC=∠CDE=90°，DE=123m, 在△ABC和△EDC中， ,∠ABC=∠CDE=90°，BC=CD,∠ACB=∠DCE, ∴.△ABC≌△EDC ASA, .AB=DE=123m, 19.(1)解：.∠1=∠2， ∴.∠1+∠CBE=∠2+∠CBE, 即∠ABE=∠CBD, 在△ABE和△CBD中， AB=CB ∠ABE=∠CBD BE=BD ∴.△ABE≌△CBD|SAS: (2)解：由(1)得△ABE≌△CBD ∴.CD=AE=8, 又.CE=5, ∴.ED=CD-CE=8-5=3. 20.(1)解：BD=CE,BD⊥CE 证明：，：∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ∴.∠BAD=∠CAE,∠B=∠ACB=45°， 在△ABD与△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE .∴.△ABD≌△ACESAS, ∴.BD=CE,∠B=∠ACE=45°， ∴.∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°， ∴.BD⊥CE 故答案为：BD=CE,BD⊥CE: (2)解：成立.理由如下： ,∠BAC=∠DAE=90°， .∴.∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD, ∴∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE .△ABD≌△ACE(SAS), .BD=CE,∠ABC=∠ACE, ,在△ABC中，∠BAC=90°， .∠ABC+∠ACB=90°， .∠ACE+∠ACB=90°，即∠BCE=90°， .BD⊥CE (3)解：①当点D在BC上时，如图， 由(1)可知△ABD≌△ACE, ∴.BD=CE=5, .'CD=BC-BD=8-5=3cm; ②当点D在CB延长线上时，如图， 由(2)可知，△ABD≌△ACE, .∴BD=CE=5, .'CD=BC+BD=8+5=13cm, 故答案为：3或13； (4)解：作AM⊥BC于点M, ,△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，BC=8cm, :.AM=BC=4cm, Sa0BDAM-.BD.4-2BD. :△ABD的面积为12cm2, ,2BD=12, 解得BD=6cm ,点D从点C出发在直线BC上2cm/s速度运动， 设运动时间为tt>0, ∴.CD=2t, ①当点D在BC上时，BD=8-2t=6, .t=1; ②当点D在CB延长线上时，BD=2t-8=6, .t=7: 综上，当t为1或7时，△ABD的面积为12cm2.