福建省泉州市第七中学数学高三考前定位卷数学试题

**基本信息** 2026年高三数学三模卷以AI质检、人工智能工厂数据为情境，通过线性回归、三棱锥外接球、导数方程等综合题，考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力，适配高考冲刺阶段定位需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合、复数、二项式定理|基础概念辨析，如第4题二项式系数和与常数项| |多项选择|3/18|数列、直线系|第10题以直线系为载体，考查定点与距离问题| |填空|3/15|向量夹角、双曲线离心率|第13题结合双曲线焦点与中点性质求离心率| |解答|5/77|线性回归、解三角形、三棱锥、轨迹方程、导数|第15题用AI工厂数据考回归与分布列，第17题三棱锥多问设计（面面垂直、外接球），第19题导数方程根问题体现逻辑推理|

2026年普通高等学校招生全国统一考试考前定位卷 高三数学试题答案 1.B 由N={>2={xx<-2或x>2分，M={-5,01,3}, 所以M∩N={-5,3} 2.C 11-i11. 因为0+：=1.所以：+a+)号分.则： 3.C 根据三角函数的诱导公式和二倍角公式即可求解， m2w=o2任儿1-2m任j小1-2-号 故选：C 4.c 依据题干得到，然后求得通项公式，根据常数项的特点计算即可. 由题可知：2”=64→n=6,通项公式为T1=C%x-, -四， 令6-31=0→7=4，所以常数项为(1Cg=15 2 故选：C 5.D 根据奇函数的性质求出α的值，进而求解即可. f(x)=aats-3a-=aa.a-3a.a*, f(-x)=aa-x-3atx =aa.ax-3a.a', 又函数∫(x)为R上的奇函数，则f(-x)=-f(x), 即a·ax-3d.d=-a.d+3a2.ax对任意xeR成立， 整理得(a-3a2)(a+）=0 所以a-3d=0,即a-2=3,结合a>1,解得a=3, 所以f(x)=3+-3x32-,即f(2)=3-3×3°=240. 6.D 记芯片为瑕疵芯片”为事件A,“芯片被标记为合格”为事件M,“芯片被标记为瑕疵为事件 N. 答案第1页，共15页 则P0-号P-子Paam=0P(=108 防以到=PM+P40-品子品 即在被A虹质检过的芯片中随机抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为 50 7.B 通过几何关系建立圆锥体积关于高的函数表达式，再利用导数求解函数最大值，需明确变量 的实际取值范围 设圆锥的高为h,底面半径为r,已知球O的半径R=1. ,圆锥内接于球O,球心到圆锥底面的距离为h-RHh-1, .由勾股定理可得r2+(-1)2=R=1,整理得r2=2h-2,其中h的取值范围为(0,2)， R h 根据圆谁体积公式V-青知h,将代入得：V-2h-i)2n-) 对V关于h求导，得"-(4h-3) 3 4 令V'=0,解得h=,或h=0(h=0不符合实际意义，舍去)· 3 :当0<h<专时，严>0，单调递增；当手<h<2时，”<0，V单调造减， 3 ·当么=号时，V取得最大值，代入得： 4)2 4)37 13264)32π 3927F81 故正确选项为B. 【点睛】方法归纳：求解几何体内接几何体的最值问题，通常先结合几何关系建立目标函数， 再利用导数或基本不等式求解最值，需注意变量的实际取值范围，避免无意义解 8.C 当P为短轴端点时，∠P耳=8最大，进而求出6的范围，由正弦定理得外接圆的半径 R=1 & sn0,再利用余弦定理和三角形面积公式化简得到△P3的面积S=3m3,由三角形 答案第2页，共15页 内切四的半径公式可得a5的内切圆半径r御？化前可得1 3tan号月 6 2tal2 2, 利用基本不等式求出最值即可. 由于+-1，所以a=2,b=5,故因=2，设∠RPg=0, 43 当P为短轴端点时，日最大，此时。PR为等边三角形，所以0<日≤ 3, 设a吹外接圆半径为元，则己)-2R,即R- sine sine 由余弦定理得： EE=PE+PE-2PPE引cos6=(P+PE-2PP卧(1+cosO), 整理可得P明P。0 所以刀3的面积S=PPRn6:6 6sin-cos 21 1+c0s81+2cos29 2-3ta 1 2, 2 2s 故P3的内切圆半径7”P+P风+R风am 2tan 因为sin0= 2 s3 28 2+c 2 1+tan20, 2 1 所以R+r= n日1+tan2日 -+tan- sin 2+tan2 am9≥， 01,3 2 2 2tan 2 2 2ta2 当且仅当 1.3tam?3 am日222，即tan 2tan 0晋取学 3 2 所以R+r的最小值为5. 9.AC 答案第3页，共15页 因为a1={2 ,a为偶数 ,a4=4所以a3=8或43=1. 3a.+1,4为奇数 当43=1时，42=2,4=4，此时S4=11: 当a3=8时，4=16,4=5或4=32，此时S4=33或S4=60 AC选项正确 10.BCD 利用直线系的性质，把直线系方程(x-1)cosθ+ysin8=1转化为(x-1)2+y2=1的圆的全 部切线，再根据圆的切线的性质判断选项，利用动圆切线无公共点判断选项A；利用点到直 线距离公式计算判断选项B;利用定点到切线最大距离为圆心距与半径的和，判断选项C； 不在直线系M中的点落在圆内部，即(x-1)+y<1,求面积判断选项D. 直线系方程(x-1)cos6+ysin8=1表示圆心为C(1,0),半径r=1的圆的全部切线， 若直线过定点(，%)，则(x-1)cos0+sin8=1对任意8∈[0,2π)恒成立， 不存在这样的定点，故A错误： 由点到直线的距离公式，点L0)到直线距离d=l-cos0+0-sm6-上」1. √cos20+sin0 距离恒为定值1，故B正确： 设P(-2,4),圆心C(1,0),两点间距|PC=1-(2]+(0-4}=5, 点到圆切线距离的最大值为PC+r=5+1=6,故C正确： 不在直线系M中的点到C(1,0)的距离小于1，在圆(x-1)+y<1内部， 圆面积S=π2=元×1？=元，故D正确、 11.ACD 利用平面法向量的意义，结合线面垂直的判定性质逐项分析判断即可. 依题意，向量元是平面DEFG的法向量， 对于A,由元/AB,得AB⊥平面DEFG,而DGC平面DEFG,则DG⊥AB, 由PA⊥平面ABC,DGC平面ABC,得DG⊥PA,又AB∩PA=A,AB,PAC平面PAB, 因此DG⊥平面PAB,又DEC平面PAB,则DE⊥DG,A正确： 对于B,由元/IPC,得PC⊥平面DEFG,而DGc平面DEFG,则DG⊥PC, 由PA⊥平面ABC,DGC平面ABC,得DG⊥PA,又PC∩PA=P,PC,PAC平面PAC, 因此DG⊥平面PAC,又FGC平面PAC,则FG⊥DG,假设DE⊥DG, 而DE,DG,FGC平面DEFG,则DE/IFG,而DE不在平面PAC内，则DE//平面PAC, 平面PAB∩平面PAC=PA,DEC平面PAB,则必有DE//PA,当DG/IBC时，由BC⊥AB, 得DG⊥AB,由选项A知DE⊥DG,此时DE,PA不一定平行，因此DE,DG不一定平行， B错误； 答案第4页，共15页 对于C,由元/IPB,得PB⊥平面DEFG,而DGc平面DEFG,则DG⊥PB, 由PA⊥平面ABC,DGC平面ABC,得DG⊥PA,又PBOPA=P,PB,PAC平面PAB, 因此DG⊥平面PAB,又DEC平面PAB,则DE⊥DG,C正确： 对于D,由i/IAC,得AC⊥平面DEFG,而DEC平面DEFG,则DE⊥AC, 由PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,得BCLPA,又BC⊥AB,ABPA=A,AB,PAC平面 PAB, 因此BC⊥平面PAB,又DEC平面PAB,则DE⊥BC,而BCOAC=C,BC,ACC平面ABC, 于是DE⊥平面ABC,又DGC平面ABC,则DE⊥DG,D正确. 12 利用己知条件结合向量数量积运算律求出·，再利用向量的数量积及模长求解即可： 因为，万为单位向量，所以园==1 i-=5两边平方，可得(2a-万列矿-4时-4a.6+-3,解得a石-号 a--a-6可=-2a6+可=P-2x3护-1. b5-d=25-=-4p6-4a6+团-4x1P-4+=5, a-列(25-到3a五-26-团=3x分2P-- 设向量a-b与2b-a的夹角为0,6e[0,π]， 则cos6= a-b)(2五-d 5,所以9= a-26-d1x5=2 6 向量a-b与2乃-a的夹角为 6 13.5 如图： F2 因为B为A耳中点，O为F1F2中点，所以A⊥， 则AH8叶4，A因=30， 设AE=,则AE=2,A-AE引=m=2a, 答案第5页，共15页 在直角三角形AR中，由m30-5_24,解得e=-V5 32c 14.1 3 分别设直线1与y=e*的图象相切于点A(:,e),与y=Vx+ 的图象相切于点 a=e= 2+4 由公切线得到{e=,+b 3 ，令t=s+, 得到 + 4 =2+b b+血(2]-+这进而构运函数0=血(2)-f+子道过求导，确定零点，进而 可求解 3 设直线与y=e的图象相切于点A(,©)，直线1与y=c+的图象相切于点 a=e= 2 /2+ 则'(6)=，8g'6) ,.3,得e=+b 2+4 3 V+4 =X2+b 3 得b=e-eV42+2 3,令t=x2+ >0, 则f-子e= 27=-血26， 得D+h(a创j-+司 所以+h(2到】-名司整理可得n(②)-f+好0. 设0=(2)-f+子显然t=为)的一个零点，N024, 当e号 时，h()>0,h(d)单调递增， 答案第6页，共15页 臣+n所，0<00单洞磁减，花0-492-o, 当te 22 所以如(2)）-+0的两根位于巨两侧， 2 己知一根为与，当t=时，b 13=1, 44 所以另一根位于区间 3 e 3 e 2’2 内，由对勾函数单调性可知力=号十 在 单调递增， 2& 2 t3e+3<1, 此时b=2*8t44e 所以当t=时，b取得最大值，该值为1 15.(1)少=1.6x+0.2,13 (2) X 0 1 2 1 10 3-5 10 B(X)= (1)由公式求解五，a,在将x=8代入即可. (2)由题意可得X=0,1,2,列出分布列，即可求解. (1)由表格中的数据可得-1+2+3+4+5-3，D-2+3+5+7+8-5,所以 5 方.x-0-列 2-刘 -0-32-5+2-3)6-56-36-54-3)7-5}6-3席-511.6 1-3)}+(2-3)+3-3+4-3+6-3) 故a=y-bx=5-1.6×3=0.2. 故y关于x的线性回归方程为)=1.6x+0.2, 当x=8时，)=1.6×8+0.2=13， 故预测第8个月该工业园区应用人工智能的工厂个数为13. (2)由题意可得X=0,1,2, mx-叭-等0P-1P-2 答案第7页，共15页 分布列如下： X 0 1 2 1 3 3 10 10 所以=001房2品号 105 16.(1):(2)7. (1)由正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式，结合siA≠0， 可得m吸-专，结合BE0:可得的查 (2)由己知可求∠C-誓，设AC=8C-2a利用三角形的面积公式可求a的值，可特得4C =BC=2√7，在△ACM中，由余弦定理即可求解AM的值 (1)因为√5 asinB-bcosBcosC=ccos2B, 所以由正弦定理可得√5 sinAsinB-sinBcosBcosC=sinCcos2B, 可得√5 sinAsinB-=cosB(sinBcosC-+sinCcosB)=cosBsinA, 因为sin40,可得5sinB=cosB,即tamB=5, 3 由B∈(0，)，可得B=交 61 (2)由已知4名，则△1C是字腰三角形，∠c,设4C-Bc-2a 可得SMBC=CBC∠AcB=(2m)2in2-V5, 3 由已知△ABC的面积为7√5，得=7，a=√7，可得AC=BC=2W7, .2π △ACM中，由余弦定理，AP=CA2+CME-2 CA'CMcos? =2v7)47-227xx(- =49, 所以AM=7. 17.(1)在等边△ABC中，P是AB的中点， CPLAB,又：CP⊥AD且ABOAD=A,AB,ADC平面ABD, .CP⊥平面ABD,又BDC平面ABD, BD⊥CP,又，BD⊥BC且CP∩BC=C,CP,BCC平面ABC, ·BDI平面ABC,又BDC平面BCD, .平面ABC⊥平面BCD. 0 28π 3)3 3 (I)先证明CP⊥平面ABD,从而得到3D 1 CP,结合BD L BC可得BDI平面ABC,故平 答案第8页，共15页 面ABC⊥平面BCD: (2)根据(1)中的条件，将三棱锥补全为正三棱柱，得到外接球球心即为两个底面的中心 连线的中点，使用勾股定理计算即可得到半径，进而得到表面积： (3)以BC的中点为原点，平行于BD为x轴方向，OC为y轴方向，垂直于平面BDC向上 为z轴方向，建立坐标系，设从z轴逆时针转到OA的角度为日（从左侧看），利用空间向量 法得到平面ACD和平面ABC的法向量，得到夹角表达式，最后利用变量代换求得最小值. (1)略 (2)由(1)知BD⊥平面BCD,且△ABC为等边三角形， 故可将三棱锥A-BCD补全为正三棱柱ABC-ADC1,三棱柱的高h=BD=2, D 则三棱锥A-BCD的外接球就是三棱柱ABC-ADC1的外接球， 外接球的球心为等边三角形ABC和ADC1的中心连线的中点O1, 7 半径R=OO 所以三棱锥A-BCD外接球的表面积为4R?=28 3 (3)取BC的中点O为原点，平行于BD为x轴方向，OC为y轴方向， 垂直于平面BDC向上为z轴方向，建立如图所示的坐标系， 设从z轴逆时针转到OA的角度为0（从左侧看）， B D 则C(0,1,0),B(0,-1,0),D(2,-1,0),A(V3sin00,V5cos), cD=(2,-2,0),CA=(-V3sin6,-1,V3cos), 设=(x,y,z)是平面ACD的一个法向量， 答案第9页，共15页 [2:CD=2x-2y=0 则有 CA=-3xsine-y+cos0=0' 1+3sin0 取x=y=1,则乃=1,1， 指向三棱锥外， √3cos0 设乃=(x,y)是平面ABC的一个法向量， nOC=y=0 则有 04=-3xsine+3zcos0=0 取x=cos0,则2=(cos6,0,sin,指向三棱锥内， (1+3sin0)sine cos0+ 得cos=c0sh,2= √3cos0 √3+sin0 1+√3sin0 V-3sin20+23sin 0+7 1+1+ 3cos0 令x=V3+sin0e[5-l,5+1], x 1 1 cOSa= 则 V-3x2+8/3x-8 838 1V3 3 -3+ x x2 3-82 当x=2 3 ,即sinB=- 时取等号， 3 所以cosa的最小值为Y 3 18.(1)y=4x (2)由题设OA:y=2x,OD:y=-2x,设(m2,2)(m≠0，±1)， 前以0ty-0子-小.02品-0， 00y2--.即00y2名-， m2-1 由于直线QA与OD相交于点S,直线QD与OA相交于点T,则m≠±2， s、 联立 y-2=2-0,解得 ，即得S 2 +1 y=-2x L+2+2 m+2 答案第10页，共15页 联立 ,解得 x- 即得T m 2m y=2x 2 2-'2-m y= 2-m 221m 42 所以直线5T的斜率k=2-mm+2=4证=m, 41 2-mm+24-f 则其方程为y- 2m +2m++2·即y三mx+)恒过定点(L0),得 ®ldo1omj (1)根据已知有√(x-1)2+y2=x+1,化简整理即可得： (2)设Q(m2,2m)(m≠0，±1)，写出直线OA、直线QD,并求出它们与OD、OA的交点 坐标，进而写出直线ST,即可证 (3)设P(xo,yo),结合已知得∈[-9,9)，设切点M(,2),N(,2t),从而得到 PM:y=x+,PN:y=x+兮，即，5为方程P-yt+=0的两根，韦达定理得+t2=%, 华=5，进而有S=引任-%-24(6-外8=引松-)%-2西，(6-圳，化简得 601-)-+为， 令U=(101-)-(+1),V=1(101-x)-(+1)%转 S2 t2(101-x号)-(+1)% 化为班光登-的泡，定a=将且注应<0，从面闲到泡H (1)设圆心M(k,y),由动圆过点F1,0)且与直线1：x=1相切， 所以V(x-1)+y2=x+1,平方整理得C的方程为y=4x. (2)略 (3) 设P(xo,yo) 由P=10得(-1)2+6=100，且-9≤x≤11， 由P在抛物线y2=4x外部，所以6>4， 答案第11页，共15页 所以(。-1)2+6=100>(-1)2+4x=(年+1)2，则-11<<9， 综上∈[-9,9)， 设切点M(,24),V6,24),而y=2,则y=±=2=2 Vx±2y 所以PM:4y=x+行，PW:y=x+5,故=+且%=+号， 则4,4为方程2-%+=0的两根，其中△=片-4x>0,则+i,=,朽=， 在P中P(c以0.ME.4).时P-. 所以%-(-1)y-%=0,则M到直线PF的距离 5%-24(压-)-_%-24(。-1)-为 √(-1+6 所以8m头-侣少少2长-小同理得 10 8=2店-1)⅓-24，(6， 经后0 又日=46-0，=5%-， 音伦调 4(6-2+2)-(+1)% 5(号-2%+2)-(+1)% 由6=100-(6-D,则是=01-)-6+1% S2t(101-x号)-(+1)% 今-40om--代+”-40oi--代-%：则是-闾 且w=[501-),+1][501-x6}+1] =话(101-6)-(101-)(6+1)%店+)+(+126 =(101--(101-x)+)哈+(+1坊 =3(101-5-00+6-6)6+1)00-6-1月 =100(+2%-99)=100[(5+1-10], 由(+1)°∈[0,100)，故(+1)-100<0，即UW<0, 答案第12页，共15页 由w+r9=[101-6{+)-X6+9⅓j=(6-26+99[100-(6] =(-2x+99)(x6+2x+99), 0-ry=[101-6)6-4了=101-)[G+6-44,]=(101-)(-4) =(101-)[100-(6-1-46=(101-6(号-2+99)， 设a-8c,则 101- 分-202.x6+10201 (-x6-2+99)(-6+2+99) x4-202x7+9801 =1 400 (G-101)°-400，且e[0,8],则a∈ 10201 ,十00 而U<0, 9801 U2-2UV+V2 2 此时a=P+2V+72 Uv. Ul.v 2 2(a+1)=0, 22+4( 、10001 a-1 100 结合对勾函数的性质有 品小a圆.又u=y时。 所[品1侧因数益范国为[品1w 19.(1)在(0，em1)上单调递减，在(e-1,+o）上单调递增 (2)①(e-1,+o)②证明见解析 (1)先对函数求导，然后根据导数的正负判断函数的单调区间即可； (2)①将方程分离参数得m=e-血x-1,构造函数g(w),由导数判断函数的单调性，从 而得到最小值，即可求得m的取值范围； ②先构造两数（的证明-青15,0，再构造）证得)>8(，结合8的的 X 2 X2 单调性推出x3<1,即(：)<0，联立两步结论，代回原式即可完成不等式证明. (1)因为f(x)=x+xnx+1,x>0,所以f'(x)=+x+1. 由f()<0,得0<x<e-1;由f()>0,得x>em-1 所以函数f(x)在(0，em-1)上单调递减，在(e1,+∞)上单调递增. 答案第13页，共15页 (2)①方程f()=e,即x+xhnx+1=e,x>0,则m=e-nx-上 设g(x)=g-lr-,x>0,则方程f)=e有两个根x,x, 即函数g(x)的图象与直线y=m有两个不同的交点. 因为gy--1e1+1--1fe-0, x 当x>0时， 所以当0<x<1时，g'(x)<0,当x>1时，g(x)>0, 所以函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 所以当x=1时，函数g(x)取得极小值，也是最小值. 因为8(1)=e-1,当x→0*时，g(x)→+0，当x→+0时，8(x)→+0， 所以m>e-1,即实数的取值范围是(e-1,+o). yg(x) y-m e-l 0 ②证明：由①可知，m-货-京 则证不等式+<m-兰即正+<号-lx克号 装靴为F(小至9 为2 令到=三--上5,0，则y--C-- x 2 x2 令m()=e-x-1,则(x)=e-1. 因为l(x)>0在(0，+o)上恒成立， 所以m(x)在(0，+o)上单调递增，所以(x)>(0)=0, 答案第14页，共15页 所以当x>0时，ex-x-1>0. 所以当0<x<1时，h(x)<0,当x>1时，(x)>0. 所以函数h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+o)上单调递增. 所以h(y≥h=e-2-50. 2 由O知g(d)=g-lnc 1 二，x>0. (x)= x2 111 令p(x)=e-e+x-l,则p(x)=e-e+e+l. 111 11 11 因为x21,所以p'(x)=e-ex+二ex+1≥e-e+ex+l=二ex+1>0, 所以p(x)在[1，+o)上单调递增，所以p(x)≥p(1)=0, 所以当x>1时，n(x)>0. 所以n(x)单调递增，所以n(x)≥n(1)=0. 所以当x>1时g)产日 由①及题意可知，0<x1<1<2,所以g(3)=g(:)>8 因为0<名<1且g()在(0,1)上单调递减，所以x1<号 所以0<x1x2<1,所以h(:x)<0. 所以血(s)<0<e的x-1V2 x2 所以x1+x,<m-9 答案第15页，共15页 绝密★启用前 高 三 数 学 准考证号 姓 名 注意事项： 1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 学科网（北京）股份有限公司 2026年普通高等学校招生全国统一考试考前定位卷 高三数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．若复数满足，则 A． B． C． D． 3．已知，则 A． B． C． D． 4．的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为 A．8 B．12 C．15 D． 5．已知，函数，为奇函数，则 A．13 B．24 C．80 D．240 6．某科技公司使用AI质检系统对生产的芯片进行初筛（分为合格芯片和瑕疵芯片）．已知芯片被标记为合格的概率为，被标记为瑕疵的概率为．被标记为合格的芯片中有实际为瑕疵芯片，被标记为瑕疵的芯片中有实际为合格芯片．在被AI质检过的芯片中随机抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为 A． B． C． D． 7．已知球的半径为，圆锥内接于球，则圆锥体积的最大值为 A． B． C． D． 8．已知椭圆：，，为的左、右焦点，为上的一个动点（异于左、右顶点），设的外接圆半径为，内切圆半径为，则的最小值为 A． B．1 C． D．2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知正整数数列满足，且，则的前4项和的值可以是 A．11 B．22 C．33 D．44 10．一般称具有某性质的所有直线的全体为一个直线系．如，与直线平行的直线系可表示为．设直线系（），则 A．M中所有直线均经过一个定点 B．点到M中任意一条直线的距离为定值 C．点到M中所有直线距离的最大值为6 D．不在直线系M中的点都落在面积为的区域内 11．在三棱锥中，底面，，用一平面截该三棱锥分别与棱，，，相交于点，，，，如图所示，记向量为平面的一个法向量，下列条件中，使的是 A．若 B．若 C．若 D．若 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若两个单位向量，满足，则向量与的夹角为_______． 13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若点恰为的中点，且，则双曲线的离心率为_________． 14．若直线与函数和的图象均相切，则实数的最大值为__________． ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分） 党的二十届五中全会审议通过的《中共中央关于制定国民经济和社会发展第十五个五年规划的建议》明确提出：“加快人工智能等数智技术创新”“全面实施‘人工智能+’行动”．下表是二十届五中全会后第个月某工业园区应用人工智能的工厂个数的数据： 1 2 3 4 5 2 3 5 7 8 (1) 求关于的线性回归方程，并预测第8个月该工业园区应用人工智能的工厂个数； (2) 从表中这5个月份中随机抽取3个月份，记这3个月份中应用人工智能的工厂个数大于6的月份的个数为，求的分布列与数学期望． 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， 16.（15分） 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 （1）求角B的值； （2）若且△ABC的面积为求BC边上的中线AM的长. 17.（15分） 如图三棱锥中，是边长为2的等边三角形，中且． (1) 若是的中点，且，求证：平面平面； (2) 在（1）的条件下求三棱锥外接球的表面积； (3) 设二面角的大小为，求的最小值． 18.（17分） 已知经过点的动圆与直线相切，设圆心的轨迹为． (1) 求的方程； (2) 已知，，是上的点，点是上异于，，的任意一点，直线与相交于点，直线与相交于点，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标； (3) 若是外的一点，满足，过作的两条切线，切点分别为，，设的面积为，的面积为，求的取值范围． 19.（17分） 已知函数，． (1) 判断函数的单调性． (2) 若方程有两个根． ① 求实数的取值范围； ② 证明：． 数 学 学科网（北京）股份有限公司 $