21.2 二次函数的图象和性质 教案 2026--2027学年沪科版九年级数学上册

该教案聚焦二次函数的图象和性质，从y=ax²入手，通过篮球运动轨迹、涵洞结构等现实情境导入，逐步过渡到y=ax²+k、y=a(x+h)²及一般式，构建从特殊到一般的学习支架。 以情境导入培养数学眼光，如用篮球抛物线实例抽象出研究对象；通过描点法画图、平移规律探究发展数学思维，提升推理与运算能力；结合拱桥、喷水管等问题强化数学语言，增强模型与应用意识。助力学生直观理解知识，帮助教师系统开展教学。

21.2 二次函数的图象和性质 21.2.1二次函数y＝ax2的图象和性质 【教学目标】 1.正确理解抛物线的有关概念；(重点) 2.会用描点法画出二次函数y＝ax2的图象，概括出图象的特点；(重点) 3.掌握形如y＝ax2的二次函数图象的性质，并会应用；(难点) 4.通过动手操作、合作交流，积累数学活动经验，培养动手能力和观察能力. 【教学过程】 一、情境导入 我们都见过篮球运动员投篮，你知道篮球从出手到落入篮圈内的路线是什么图形吗？它是如何画出来的？ 我们把篮球从出手到落入篮圈内的曲线叫抛物线，你还能举出一些抛物线的例子吗？ 二、合作探究 探究点一：二次函数y＝ax2的图象 【类型一】 画二次函数y＝ax2的图象 在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①y＝x2；②y＝2x2；③y＝－x2；④y＝－2x2.根据图象回答下列问题： (1)这些函数的图象都是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？ (2)图象有最高点或最低点吗？如果有，最高点或最低点的坐标是什么？ 解析：要画出已知四个函数的图象，需先列表，因为在这些函数中，自变量的取值范围是全体实数，故应以原点O为中心，对称地选取x的值，列出函数的对应值表. 解：列表： 描点、连线，函数图象如图所示. (1)这四个函数的图象都是轴对称图形，对称轴都是y轴； (2)函数y＝2x2和y＝x2的图象有最低点，函数y＝－x2和y＝－2x2的图象有最高点，这些最低点和最高点的坐标都是(0，0). 方法总结：(1)画形如y＝ax2(a≠0)的图象时，x的值应从最低(或最高)点起左右两边对称地选取. (2)连线时，一般按从左到右的顺序将点连接起来，一定注意连线要平滑，不能画成折线. (3)抛物线的概念：二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是抛物线，简称为抛物线y＝ax2. (4)抛物线的特点：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点——对称轴与抛物线的交点.抛物线的顶点也是它的最低点或最高点. 【类型二】 同一坐标系中两种不同图象的判断 当ab>0时，抛物线y＝ax2与直线y＝ax＋b在同一直角坐标系中的图象大致是( ) 解析：根据a、b的符号来确定.当a>0时，抛物线y＝ax2的开口向上.∵ab>0，∴b>0.∴直线y＝ax＋b过第一、二、三象限.当a<0时，抛物线y＝ax2的开口向下.∵ab>0，∴b<0.∴直线y＝ax＋b过第二、三、四象限.故选D. 方法总结：本例综合考查了一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2的图象和性质.因为在同一问题中相同字母的取值是相同的，所以应从各选项中两个函数图象所反映的a的符号是否一致入手进行分析. 探究点二：抛物线y＝ax2的开口方向、大小与系数a的关系 如图，四个二次函数图象中，分别对应：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a、b、c、d的大小关系为( ) A.a>b>c>d B.a>b>d>c C.b>a>c>d D.b>a>d>c 答案：A 方法总结：抛物线y＝ax2的开口大小由|a|确定，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大. 探究点三：二次函数的图象与几何图形的综合应用 已知二次函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝2x－3相交于点A(1，b)，求： (1)a，b的值； (2)函数y＝ax2的图象的顶点M的坐标及直线与抛物线的另一个交点B的坐标； (3)△AMB的面积. 解析：直线与二次函数y＝ax2的图象交点坐标可利用方程求解，而求△AMB的面积，一般应画出草图进行解答. 解：(1)∵点A(1，b)是直线y＝2x－3与二次函数y＝ax2的图象的交点，∴点A的坐标满足二次函数和直线的关系式， ∴∴ (2)由(1)知二次函数为y＝－x2，顶点M(即坐标原点)的坐标为(0，0).由－x2＝2x－3，解得x1＝1，x2＝－3，∴y1＝－1，y2＝－9，∴直线与二次函数的另一个交点B的坐标为(－3，－9)； (3)如图所示，作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C、D，根据点的坐标的意义，可知MD＝3，MC＝1，CD＝1＋3＝4，BD＝9，AC＝1，∴S△AMB＝S梯形ABDC－S△ACM－S△BDM＝×(1＋9)×4－×1×1－×3×9＝6. 方法总结：解答此类题目，最好画出草图，利用数形结合，解答相关问题.探究点四：二次函数y＝ax2的性质 【类型一】 二次函数y＝ax2的增减性 作出函数y＝－x2的图象，观察图象，并利用图象回答下列问题： (1)在y轴左侧图象上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使x2<x1<0，试比较y1与y2的大小； (2)在y轴右侧图象上任取两点C(x3，y3)，D(x4，y4)，使x3＞x4＞0，试比较y3与y4的大小. 解析：根据画出的函数图象来确定有关数值大小比较，是一种比较常用的方法. 解：(1)图象如图所示，由图象可知y1＞y2； (2)由图象可知y3<y4. 方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图，进行观察和分析以免解题时产生错误. 【类型二】 二次函数y＝ax2的最值 已知函数y＝(1－n)xn2＋n－4是关于x的二次函数，当n为何值时，抛物线有最低点？并求出这个最低点的坐标.这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 解：∵函数y＝(1－n)xn2＋n－4是关于x的二次函数，∴解得n＝2或n＝－3.∵抛物线有最低点，∴1－n>0，即n<1.∴n＝－3.∴当x>0时，y随x的增大而增大. 方法总结：抛物线有最低点或最高点是由抛物线y＝ax2(a≠0)的二次项系数a的符号决定的；当a>0时，抛物线有最低点；当a<0时，抛物线有最高点.而此题常错误地认为n>0时，抛物线有最低点.正确的答案应为1－n>0，即n<1时，抛物线有最低点，因为二次项系数是(1－n). 探究点五：利用二次函数y＝ax2的图象和性质解题 【类型一】 利用二次函数y＝ax2的性质解题 当m为何值时，函数y＝mxm2－m的图象是开口向下的抛物线？当x为何值时，y随x的增大而增大？这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ 解：由题意，得m应满足解得m＝－1.当x<0时，y随x的增大而增大.这个函数有最大值，最大值是0. 方法总结：本题主要考查函数y＝ax2(a≠0)的有关性质.当a>0时，图象开口向上，函数有最小值0；当a<0时，图象开口向下，函数有最大值0.当a<0且x<0时，y随x的增大而增大. 【类型二】 二次函数y＝ax2的图象和性质的实际应用 如图，是一座抛物线形拱桥的示意图，在正常水位时，水面AB的宽为20m，如果水位上升3m，水面CD的宽为10m. (1)建立如图所示的坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶了1h时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时，水位在CD处，当水位涨到桥拱最高点O时，禁止车辆通行).问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？ 解：(1)设抛物线的函数表达式为y＝ax2(a≠0)，拱桥最高点O到水面CD的距离为hm，则D(5，－h)，B(10，－h－3). ∴解得∴抛物线的函数表达式为y＝－x2； (2)水位由CD处涨到最高点O的时间为h÷0.25＝1÷0.25＝4(h)，货车按原来速度行驶的路程为40×1＋40×4＝200<280，∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.设货车速度提高到xkm/h，即当4x＋40×1＝280时，x＝60.∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60km/h. 方法总结：一般地，求二次函数y＝ax2的表达式时，只需一个已知点(坐标原点除外)的坐标即可.而此题由于点B，D的纵坐标未知，故需设出CD到桥顶的距离h作为辅助未知数. 【板书设计】 21.2.2二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 第1课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质 【教学目标】 1.会用描点法画出y＝ax2＋k的图象； 2.掌握形如y＝ax2＋k的二次函数图象的性质，并会应用；(重点) 3.理解二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k之间的联系.(难点) 【教学过程】 一、情境导入 边长为15cm的正方形铁片，中间剪去一个边长为x(cm)的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y(cm2)与x(cm)的函数关系式是什么？它的顶点坐标是什么？ 二、合作探究 探究点一：二次函数y＝ax2＋k的图象与性质 【类型一】 确定y＝ax2＋k的图象与坐标轴的交点 抛物线y＝x2－4与x轴的交点坐标是________. 解析：因为抛物线y＝x2－4与x轴的交点纵坐标是0，即y＝0，此时x2－4＝0，解得x＝±2，所以抛物线y＝x2－4与x轴的交点坐标是(2，0)与(－2，0). 方法总结：求抛物线与x轴交点坐标时，可利用交点纵坐标为0构造关于x的方程来求抛物线的横坐标. 【类型二】 二次函数y＝ax2＋k增减性判断 已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是( ) A.若y1＝y2，则x1＝x2 B.若x1＝－x2，则y1＝－y2 C.若0＜x1＜x2，则y1＞y2 D.若x1＜x2＜0，则y1＞y2 解析：如图所示，选项A：若y1＝y2，则x1＝－x2，所以选项A是错误的；选项B：若x1＝－x2，则y1＝y2，所以选项B是错误的；选项C：若0＜x1＜x2，则在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，则y1＜y2，所以选项C是错误的；选项D：若x1＜x2＜0，则在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则y1＞y2，所以选项D是正确的.故选D. 【类型三】 二次函数y＝ax2＋k的图象与性质的综合 若二次函数y＝ax2＋2的图象经过点(－2，10)，则下列说法错误的是( ) A.a＝2 B.当x＜0，y随x的增大而减小 C.顶点坐标为(2，0) D.图象有最低点 解析：把x＝－2，y＝10代入y＝ax2＋2可得10＝4a＋2，所以a＝2，抛物线开口向上，有最低点，当x＜0，y随x的增大而减小，所以A、B、D均正确，顶点坐标为(0，2)，而不是(2，0).故选C. 方法总结：抛物线y＝ax2＋k(a≠0)的顶点为(0，k). 【类型四】 在同一坐标系中确定y＝ax2＋k的图象与一次函数的图象 在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c与二次函数y＝ax2＋c的图象大致为( ) 解析：当a＞0时，抛物线开口向上，且直线从左向右逐渐上升；当a＜0时，抛物线开口向下，且直线从左向右逐渐下降，由此排除选项A，C，D，故选B. 探究点二：二次函数y＝ax2＋k的平移 【类型一】 利用平移确定y＝ax2＋k的解析式 已知抛物线y＝ax2＋c向下平移2个单位后，所得抛物线为y＝－3x2＋2.那么抛物线的解析式为____________. 解析：因为抛物线y＝ax2＋c向下平移2个单位后，所得抛物线为y＝－3x2＋2.所以a＝－3，c－2＝2，所以c＝4，所以抛物线的解析式为y＝－3x2＋4. 【类型二】 确定y＝ax2与y＝ax2＋k的关系 抛物线y＝ax2＋c与y＝－5x2的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0，3)，求抛物线的表达式，它是由抛物线y＝－5x2怎样得到的？ 解：抛物线y＝ax2＋c与y＝－5x2的形状大小相同，开口方向也相同，∴a＝－5. 又∵其顶点坐标为(0，3)，∴c＝3. ∴y＝－5x2＋3.它是由抛物线y＝－5x2向上平移3个单位得到的. 方法总结：对于二次函数y＝ax2的图象来说，向上平移|c|个单位，就在ax2后面加|c|，向下平移|c|个单位，就在ax2后面减|c|. 【板书设计】 第2课时 二次函数y＝a(x＋h)2的图象和性质 【教学目标】 1.会用描点法画出y＝a(x＋h)2的图象； 2.掌握形如y＝a(x＋h)2的二次函数图象的性质，并会应用；(重点) 3.理解二次函数y＝a(x＋h)2与y＝ax2之间的联系.(难点) 【教学过程】 一、情境导入 涵洞是指在公路工程建设中，为了使公路顺利通过水渠不妨碍交通，修筑于路面以下的排水孔道(过水通道)，通过这种结构可以让水从公路的下面流过.如图建立直角坐标系，你能得到函数图象解析式吗？ 二、合作探究 探究点一：二次函数y＝a(x＋h)2的图象与性质 【类型一】 y＝a(x＋h)2的顶点坐标 已知抛物线y＝a(x＋h)2(a≠0)的顶点坐标是(－2，0)，且图象经过点(－4，2)，求a，h的值. 解：∵抛物线y＝a(x＋h)2(a≠0)的顶点坐标为(－2，0)，∴h＝2.又∵抛物线y＝a(x＋2)2经过点(－4，2)，∴a(－4＋2)2＝2.∴a＝. 方法总结：二次函数y＝a(x＋h)2的顶点坐标为(－h，0). 【类型二】 二次函数y＝a(x＋h)2图象的形状 顶点为(－2，0)，开口方向、形状与函数y＝－x2的图象相同的抛物线的解析式为( ) A.y＝(x－2)2 B.y＝(x＋2)2 C.y＝－(x＋2)2 D.y＝－(x－2)2 解析：因为抛物线的顶点在x轴上，所以可设该抛物线的解析式为y＝a(x＋h)2(a≠0)，而二次函数y＝a(x＋h)2(a≠0)与y＝－x2的图象相同，所以a＝－.而抛物线的顶点为(－2，0)，所以h＝2.把a＝－，h＝2代入y＝a(x＋h)2得y＝－(x＋2)2.故选C. 方法总结：决定抛物线形状的是二次项的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相同. 【类型三】 二次函数y＝a(x＋h)2的增减性及最值 对于二次函数y＝9(x－1)2，下列结论正确的是( ) A.y随x的增大而增大 B.当x＞0时，y随x的增大而增大 C.当x＝－1时，y有最小值0 D.当x＞1时，y随x的增大而增大 解析：因为a＝9＞0，所以抛物线开口向上，且h＝－1，顶点坐标为(1，0)，所以当x＞1时，y随x的增大而增大.故选D. 探究点二：二次函数y＝a(x＋h)2图象的平移 【类型一】 利用平移确定y＝a(x＋h)2的解析式 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式. 解析：y＝ax2向右平移3个单位后的关系式可表示为y＝a(x－3)2，把点(－1，4)的坐标代入即可求得a的值. 解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，a＝，∴平移后二次函数关系式为y＝(x－3)2. 方法总结：根据抛物线平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”. 【类型二】 确定y＝a(x＋h)2与y＝ax2的关系 向左或向右平移函数y＝－x2的图象，能使得到的新的图象过点(－9，－8)吗？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由. 解：能，理由如下：设平移后的函数为y＝－(x＋h)2， 将x＝－9，y＝－8代入得－8＝－(－9＋h)2，所以h＝5或h＝13， 所以平移后的函数为y＝－(x＋5)2或y＝－(x＋13)2. 即抛物线的顶点为(－5，0)或(－13，0)，所以应向左平移5或13个单位. 【类型三】 二次函数y＝a(x＋h)2图象的平移与几何图形的综合 把函数y＝x2的图象向右平移4个单位后，其顶点为C，并与直线y＝x分别相交于A、B两点(点A在点B的左边)，求△ABC的面积. 解析：利用二次函数平移规律先确定平移后的抛物线解析式，确定C点坐标，再解由所得到的二次函数解析式与y＝x组成的方程组，确定A、B两点坐标，最后求△ABC的面积. 解：平移后的函数为y＝(x－4)2，顶点C的坐标为(4，0)， 解方程组得或 ∵点A在点B的左边，∴A(2，2)，B(8，8). ∴S△ABC＝S△OBC－S△OAC＝OC×8－OC×2＝12. 方法总结：两个函数交点的横、纵坐标与两个解析式组成的方程组的解是一致的. 【板书设计】 第3课时 二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象和性质 【教学目标】 1.会用描点法画出y＝a(x＋h)2＋k的图象； 2.掌握形如y＝a(x＋h)2＋k的二次函数图象的性质，并会应用；(重点) 3.理解二次函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2之间的联系.(难点) 【教学过程】 一、情境导入 前面我们是如何研究二次函数y＝ax2、y＝ax2＋k、y＝a(x＋h)2的图象与性质的？如何画出y＝(x－2)2＋1的图象？ 二、合作探究 探究点一：二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象与性质 【类型一】 抛物线y＝a(x＋h)2＋k的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性 对于抛物线y＝3(x－3)2＋6，下列结论：①抛物线的开口向上；②对称轴为直线x＝3；③顶点坐标为(3，6)；④x>0时，y随x的增大而增大.其中正确结论的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：根据二次函数的性质对各小题分析判断即可.①∵a＝3>0，∴抛物线的开口向上，正确；②对称轴为直线x＝3，正确；③顶点坐标为(3，6)，正确；④∵x>3时，y随x的增大而增大，即x>0时，图象的增减性不同.故选C. 方法总结：对于抛物线y＝a(x＋h)2＋k，其对称轴为x＝－h，顶点坐标为(－h，k).当a>0时，对称轴左边的图象，y随x的增大而减小，对称轴右边的图象，y随x的增大而增大，当a<0时，反之. 【类型二】 利用顶点确定y＝a(x＋h)2＋k的解析式 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象顶点为(－2，3)，且过(－1，5)，则抛物线的表达式为__________________. 解析：由题意可设抛物线的表达式为y＝a(x＋2)2＋3，把x＝－1，y＝5代入得5＝a(－1＋2)2＋3，所以a＝2，所以抛物线的表达式为y＝2(x＋2)2＋3. 【类型三】 利用y＝a(x＋h)2＋k的图象解决问题 如图，点A，B的坐标分别为(1，4)和(4，4)，抛物线y＝a(x－m)2＋n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点(C在D的左侧)，点C的横坐标最小值为－3，则点D的横坐标最大值为( ) A.－3 B.1 C.5 D.8 解析：C、D两点是抛物线与x轴的交点，当C的横坐标取得最小值时，抛物线的顶点在A处，把C(－3，0)，A(1，4)代入解析式，可得0＝a(－3－1)2＋4，求得a＝－，当抛物线的顶点在B处时，D的横坐标取得最大值，其解析式y＝－(x－4)2＋4，易得最大值为8.故选D. 探究点二：二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象的平移 将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是( ) A.y＝(x－2)2－1 B.y＝(x－2)2＋1 C.y＝(x＋2)2＋1 D.y＝(x＋2)2－1 解析：由“上加下减”的平移规律可知，将抛物线y＝x2向下平移1个单位所得抛物线的解析式为y＝x2－1；由“左加右减”的平移规律可知，将抛物线y＝x2－1向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y＝(x－2)2－1.故选A. 探究点三：二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象与几何图形的综合 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y＝(x－h)2＋k.所得抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，顶点为D. (1)求h，k的值； (2)判断△ACD的形状，并说明理由. 解析：(1)按照图象平移规律“左加右减，上加下减”可得到平移后的二次函数的解析式； (2)分别过点D作x轴和y轴的垂线段DE，DF，再利用勾股定理，可说明△ACD是直角三角形. 解：(1)∵将抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y＝(x＋1)2－4，∴h＝－1，k＝－4； (2)△ACD为直角三角形.理由如下：由(1)得y＝(x＋1)2－4.当y＝0时，(x＋1)2－4＝0，x＝－3或x＝1.∴A(－3，0)，B(1，0).当x＝0时，y＝(x＋1)2－4＝(0＋1)2－4＝－3，∴C点坐标为(0，－3).顶点坐标为D(－1，－4).作出抛物线的对称轴x＝－1交x轴于点E，作DF⊥y轴于点F，如图所示.在Rt△AED中，AD2＝22＋42＝20；在Rt△AOC中，AC2＝32＋32＝18；在Rt△CFD中，CD2＝12＋12＝2.∵AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形. 【板书设计】 第4课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 【教学目标】 1.会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的图象； 2.配方法求二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴，并掌握二次函数的性质；(重点) 3.二次函数性质的综合应用.(难点) 【教学过程】 一、情境导入 火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用h＝－5t2＋150t＋10表示.经过多长时间火箭达到它的最高点？ 二、合作探究 探究点一：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 【类型一】 二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值 已知0≤x≤，那么函数y＝－2x2＋8x－6的最大值是( ) A.－10.5 B.2 C.－2.5 D.－6 解析：y＝－2x2＋8x－6＝－2(x－2)2＋2，∵自变量取值范围为0≤x≤，∴图象都在对称轴的左侧，且y随x的增大而增大.∴当x＝时，y有最大值，最大值为y＝－2x2＋8x－6＝－2×()2＋8×－6＝－2.5.故选C. 方法总结：二次函数求最值最常用的方法是配方法和公式法，需要注意的是，当自变量限制范围时，如果对称轴取值不在范围内，则可以根据二次函数图象的增减性在取值范围内求最值. 【类型二】 二次函数y＝ax2＋bx＋c的增减性 如图，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是( ) A.a＞1 B.－1＜a≤1 C.a＞0 D.－1＜a＜2 解析：抛物线的对称轴为x＝－＝1，∵抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴a≤1.∵－1＜x＜a，∴a>－1，∴－1<a≤1.故选B. 方法总结：抛物线的增减性：当a＞0时，开口向上，对称轴左降右升；当a＜0时，开口向下，对称轴左升右降. 【类型三】 在同一坐标系中确定二次函数与一次函数的图象 在同一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和y＝－mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是( ) 解析：当二次函数图象开口向上时，－m>0，即m<0，对称轴x＝＝<0，这时抛物线的对称轴在y轴左侧.当m<0时，一次函数y＝mx＋m的图象经过第二、三、四象限.故选D. 方法总结：多种函数图象的识别，一般可以先确定其中一种函数的图象，再根据函数图象得到该函数解析式中字母的特点，最后结合二次函数图象的开口方向、对称轴或图象经过的特殊点对选项进行逐一考察，得出结论. 探究点二：二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的平移 在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2＋4x－3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到图象的顶点坐标是( ) A.(－3，－6) B.(1，－4) C.(1，－6) D.(－3，4) 解析：二次函数y＝2x2＋4x－3配方得y＝2(x＋1)2－5，将y＝2(x＋1)2－5向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y＝2(x＋1－2)2－5＝2(x－1)2－5，将抛物线y＝2(x－1)2－5向下平移1个单位所得抛物线的解析式为y＝2(x－1)2－5－1＝2(x－1)2－6，此时二次函数图象的顶点为(1，－6).故选C. 方法总结：二次函数的平移规律：将抛物线y＝ax2(a≠0)向上平移k(k>0)个单位所得的函数关系式为y＝ax2＋k，向下平移k(k>0)个单位所得函数关系式为y＝ax2－k；向左平移h(h>0)个单位所得函数关系式为y＝a(x＋h)2；向右平移h(h>0)个单位所得函数关系式为y＝a(x－h)2；这一规律可简记为“上加下减，左加右减”. 探究点三：二次函数y＝ax2＋bx＋c的位置与系数a、b、c的关系 如上图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，x＝－1是对称轴，有下列判断：①b－2a＝0；②4a－2b＋c<0；③a－b＋c＝－9a；④若(－3，y1)，(，y2)是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是( ) A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④ 解析：∵－＝－1，∴b＝2a，即b－2a＝0，∴①正确；∵当x＝－2时点在x轴的上方，即4a－2b＋c>0，∴②不正确；∵4a＋2b＋c＝0，∴c＝－4a－2b，∵b＝2a，∴a－b＋c＝a－b－4a－2b＝－3a－3b＝－9a，∴③正确；∵(，y2)关于对称轴x＝－1的对称点为(－，y2)，x<－1时，y随x的增大而增大，∵－3>－，∴y1>y2，∴④正确.综上所述，选B. 方法总结：抛物线在直角坐标系中的位置，由a、b、c的符号确定：抛物线开口方向决定了a的符号，当开口向上时，a＞0，当开口向下时，a＜0；抛物线的对称轴是x＝－；当x＝2时，二次函数的函数值为y＝4a＋2b＋c；函数的图象在x轴上方时，y>0，函数的图象在x轴下方时，y<0. 探究点四：二次函数图象与几何图形的综合应用 如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(2，0)、B(0，－6)两点. (1)求这个二次函数的解析式； (2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积. 解：(1)把A(2，0)、B(0，－6)代入y＝－x2＋bx＋c得解得 ∴这个二次函数的解析式为y＝－x2＋4x－6； (2)∵该抛物线对称轴为直线x＝－＝4， ∴点C的坐标为(4，0)， ∴AC＝OC－OA＝4－2＝2， ∴S△ABC＝×AC×OB＝×2×6＝6. 【板书设计】 21.2.3.二次函数表达式的确定 【教学目标】 1.通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法；(重点) 2.会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式.(难点) 【教学过程】 一、情境导入 某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的抛物线水柱最大高度为3米，此时喷水水平距离为米，你能写出如图所示的平面直角坐标系中抛物线水柱的解析式吗？ 二、合作探究 探究点：用待定系数法求二次函数解析式 【类型一】 用一般式确定二次函数解析式 已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1).求这个二次函数的关系式. 解析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0). 解：设这个二次函数的关系式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0). 依题意得解得 ∴这个二次函数的关系式为y＝2x2＋3x－4. 方法总结：当题目给出函数图象上的三个点时，设一般式y＝ax2＋bx＋c，转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值. 【类型二】 用顶点式确定二次函数解析式 已知二次函数的图象顶点坐标是(－2，3)，且过点(－1，5)，求这个二次函数的关系式. 解：设二次函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k， ∵图象顶点是(－2，3)， ∴h＝2，k＝3. 依题意得5＝a(－1＋2)2＋3，解得a＝2. ∴二次函数的关系式为y＝2(x＋2)2＋3＝2x2＋8x＋11. 方法总结：若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设y＝a(x＋h)2＋k.顶点坐标为(－h，k)，对称轴为x＝－h，极值为当x＝－h时，y极值＝k. 【类型三】 用交点式确定二次函数解析式 已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的解析式. 解析：由于已知图象与x轴的两个交点，所以可设y＝a(x－x1)(x－x2)求解. 解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所以设二次函数的解析式为y＝a(x＋1)(x－1).又因为抛物线过点M(0，1)，所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，所以所求抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－1)，即y＝－x2＋1. 方法总结：此题也可设y＝a(x＋h)2＋k，因为与x轴交于(－1，0)，(1，0)，故对称轴为y轴. 【板书设计】 二次函数表达式的确定 1 学科网（北京）股份有限公司 $