精品解析：上海市奉贤区2025-2026学年八年级下学期期末数学试题

2025学年第二学期八年级数学练习（202606） （完卷时间100分钟，满分150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 3．填空题须在对应矩形框内作答，超出对应边框作答无效． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列y关于x的函数中，是正比例函数的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 3. 已知点和在反比例函数的图象上，那么下列结论正确的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 4. 已知一次函数的图像经过第一、二、三象限，那么（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 5. 下列命题中，假命题是（　　） A. 菱形的对角线互相平分 B. 菱形对角线的交点到四条边的距离相等 C. 菱形的对角线互相垂直 D. 菱形对角线的交点到四个顶点的距离相等 6. 如图，在平行四边形中，E、F分别为边、的中点，O为的中点，过点O的直线分别交边、于点G、H，连接、、 、．下列结论正确的是（ ） A. 的大小是的一半； B. 边的长度是边的一半； C. 四边形的面积是四边形面积的一半； D. 四边形的周长是四边形周长的一半． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 函数中，自变量 的取值范围是_____． 8. 如果点P在y轴正半轴上，且它到x轴的距离为2，那么点P的坐标是______． 9. 如果点和点B关于x轴对称，则点B的坐标是______． 10. 已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的函数值y随x的值增大而减小，那么k的取值范围是_____． 11. 如果某反比例函数的图像经过点，那么它的图像位于______象限． 12. 已知函数，如果函数值，那么相应的自变量x的取值范围是______． 13. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，如果直线轴，那么点的坐标可以是______（写出一个即可）． 14. 已知近视眼镜镜片的度数 （度）与镜片焦距 （米）成反比例．若度的近视眼镜镜片的焦距为米，那么 与 的函数表达式为______．（不要求写自变量的取值范围） 15. 一个多边形从一个顶点出发可引3条对角线，这个多边形的内角和等于_______． 16. 如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点O，与地面垂直于点M，，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为________． 17. 在矩形中为的重心，如果，那么它的对角线的长是______． 18. 如图，在梯形中，，，，，．点在边上，将 沿着 所在直线翻折，点A落在点F处，连接并延长，交边于点G．如果四边形是平行四边形，那么的长是______． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 某学校的校园平面简图如图4所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知教学楼的坐标为，实验楼的坐标为． （1）根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系； （2）根据（1）中建立的平面直角坐标系，直接写出操场、食堂和图书馆的坐标； （3）已知办公楼A和学生宿舍B的坐标分别为和，请在图中标出A和B的位置，并计算A、B两点之间的距离． 20. 小华用“描点法”绘制一个正比例函数图像和一个反比例函数图像，他列表取值的部分数据如表1和表2． 表1： 表2： x … a 1 2 … x … a 1 2 … … 2 1 … … b 2 4 … （1）请判断表1和表2分别对应哪种函数，并分别写出它们的函数表达式； （2）求表格中a、b的值； （3）在平面直角坐标系中，画出这两个函数的大致图像，并结合这两个函数的图像，直接写出当时，自变量x的取值范围． 21. 某款手机在不同状态下的电量变化是不同的． 手机在正常连续使用模式时，剩余电量与使用时间x（分钟）之间是一次函数关系，其部分图像如图所示．手机在快速充电模式时，充电电量与充电时间t（分钟）之间满足正比例函数关系，10分钟可以充电 ． （1）求正常使用状态下，剩余电量与使用时间x（分钟）之间的函数表达式，并写出自变量x取值范围； （2）将手机电量充满至时开始正常使用，持续使用了180分钟． ①此时手机剩余电量是多少？ ②若此时立即进入快速充电模式，如果手机要充到电量，需要充电多少分钟？ 22. 在学习了《折纸与数学》之后，同学们利用三角形纸片 开展了“折三角形中位线”的探究活动． 【甲同学的方案】如图1，将三角形纸片 的顶点沿着某一直线折叠，使得点落在边上点处，此时折痕就是它的一条中位线； 【乙同学的方案】如图2，将三角形纸片 的顶点沿着经过顶点A的直线折叠，使得顶点B落在边上点处，折痕与边的交点记为F；再将顶点A沿着某一直线折叠，使得点A恰好落在点F处，此时折痕就是它的一条中位线； （1）说明甲、乙两位同学的方案是否正确，若正确，请说明理由（写出证明过程）；若不正确，请举出反例或说明原因； （2）除了上述两种方法，请你再设计一种不同于甲、乙同学的折纸方案，折出的一条中位线，在图3中用虚线画出折痕，并写出结论． 23. 已知：如图，在中，D是边的中点，E是延长线上的点，且，连接，F是线段的中点，连接、、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，求证：四边形是正方形． 24. 阅读材料：我们知道正比例函数的图像经过定点．进一步研究一次函数 的图像，将它整理成 后，当含字母系数 的项为0即 ， 时， ，因此该函数的图像经过定点． 解决问题： 已知一次函数 （ ）的图像经过定点P． （1）求定点P的坐标； （2）在平面直角坐标系中，如图，该一次函数的图像上有一点Q，当点Q横坐标增加2时，其纵坐标增加3． ①求此时该一次函数的表达式； ②设一次函数 （ ）的图像与y轴交于点A，点M在x轴正半轴上，直线 与y轴正半轴交于点N，以 、 为邻边作平行四边形 ，如果P恰好是平行四边形 两条对角线的交点，求点N的坐标． 25. 在矩形中，点在边上，， ，垂足为，延长，交射线于点． （1）如图，当点在边上时， ①求证： ； ②如果 ， ，求 的值； （2）连接和．如果 是以为腰的等腰三角形，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期八年级数学练习（202606） （完卷时间100分钟，满分150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 3．填空题须在对应矩形框内作答，超出对应边框作答无效． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征判断即可． 【详解】解：∵点P的横坐标 ，纵坐标， ∴点在第四象限． 故选：D． 2. 下列y关于x的函数中，是正比例函数的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据正比例函数的定义判断各选项即可，正比例函数的定义为：形如（为常数，且）的函数是关于的正比例函数． 【详解】首先明确正比例函数定义：形如（为常数，）的函数叫做正比例函数， ∵ 选项A中，，符合的形式，且，∴A是正比例函数； ∵ 选项B中，是反比例函数，不符合正比例函数形式，∴B错误； ∵ 选项C中，是一次函数，常数项为，不是正比例函数，∴C错误； ∵ 选项D中，整理得，常数项为，是一次函数，不是正比例函数，∴D错误． 因此选A． 3. 已知点和在反比例函数的图象上，那么下列结论正确的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的比例系数的意义，判断与的关系即可． 【详解】解：∵点和点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 4. 已知一次函数的图像经过第一、二、三象限，那么（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】A 【解析】 【分析】一次函数中，时图象经过第一、三象限，截距时图象与轴交于正半轴，经过第二象限． 【详解】解：将函数整理为，可得，截距为， 函数图象经过第一、二、三象限，已经满足图象过第一、三象限，要经过第二象限，需图象与轴交于正半轴，即， 解得 ． 5. 下列命题中，假命题是（　　） A. 菱形的对角线互相平分 B. 菱形对角线的交点到四条边的距离相等 C. 菱形的对角线互相垂直 D. 菱形对角线的交点到四个顶点的距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质推理判断即可． 【详解】解：A，这是菱形的性质，所以该选项是真命题，不合题意； B，菱形的对角线平分对角，角平分线上的点到这个角两边的距离相等，所以该选项是真命题，不合题意； C，这是菱形的性质，所以该选项是真命题，不合题意； D，菱形的对角线不相等，所以菱形对角线的交点到四个顶点的距离不一定相等，所以该选项是假命题，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查真命题和假命题，菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键． 6. 如图，在平行四边形中，E、F分别为边 、的中点，O为的中点，过点O的直线分别交边、于点G、H，连接、 、 、．下列结论正确的是（ ） A. 的大小是的一半； B. 边的长度是边的一半； C. 四边形的面积是四边形面积的一半； D. 四边形的周长是四边形周长的一半． 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得四边形 都为平行四边形，四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质可进行排除选项． 【详解】解：由题意可得如图所示： ∵四边形是平行四边形，O为的中点， ∴ ， ∵E、F分别为边 、的中点， ∴ ， ∴四边形 都为平行四边形， ∵O为的中点， ∴ ， ∵过点O的直线分别交边、于点G、H， ∴根据平行四边形是中心对称图形可知： ， ∵ ， ∴四边形是平行四边形， 对于A、B选项，随着直线的位置变化，平行四边形的形状也会随之改变，进而可知：的大小不一定是的一半，边的长度不一定是边的一半，故错误； 对于C选项：∵， ∴， ∵， ∴，故该选项正确； 根据三角形三边关系可知： ， ∴ ， 即 ， ∴四边形的周长不一定是四边形周长的一半，故该选项错误． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 8. 如果点P在y轴正半轴上，且它到x轴的距离为2，那么点P的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点在轴正半轴上，可得点P的横坐标为0，纵坐标为正数，结合点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，即可求出点P的坐标． 【详解】解：∵点P在y轴正半轴上， ∴点P的横坐标为0，纵坐标大于0． ∵点P到x轴的距离为2， ∴点P的纵坐标为2， ∴点P的坐标为． 9. 如果点和点B关于x轴对称，则点B的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可． 【详解】解：∵点和点B关于x轴对称， ∴点B的坐标是， 故答案为：． 10. 已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的函数值y随x的值增大而减小，那么k的取值范围是_____． 【答案】k＜0 【解析】 【分析】根据正比例函数图象的性质可以得出结论． 【详解】解：∵对于正比例函数y＝kx（k≠0），y随x的值增大而减小， ∴k＜0． 故答案为：k＜0． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键． 11. 如果某反比例函数的图像经过点，那么它的图像位于______象限． 【答案】一、三 【解析】 【分析】先设反比例函数的一般解析式，将已知点代入求出比例系数，由的符号判断函数图像所在的象限． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将点代入得，， 解得， ∴反比例函数的图像位于第一、第三象限． 12. 已知函数，如果函数值，那么相应的自变量x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先求出函数值时对应的自变量的值，再结合一次函数的增减性即可求出时自变量的取值范围． 【详解】解：当时，， 移项得， 解得， ∵一次函数中，， ∴随的增大而增大， ∴当时，， 故答案为． 13. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，如果直线轴，那么点的坐标可以是______（写出一个即可）． 【答案】 （答案不唯一，纵坐标为且横坐标不为即可） 【解析】 【分析】根据平行于轴的直线上点的坐标特征，可知点与点纵坐标相等，且横坐标不相等，据此确定点的坐标要求，写出符合要求的坐标即可． 【详解】解：∵直线轴， ∴，且， ∴点的坐标可以是． 14. 已知近视眼镜镜片的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例．若度的近视眼镜镜片的焦距为米，那么与的函数表达式为______．（不要求写自变量的取值范围） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可设， 再代入已知对应值求出比例系数，即可得到所求函数表达式． 【详解】解：根据题意可设， 将，代入得， 解得， ， 故答案为：． 15. 一个多边形从一个顶点出发可引3条对角线，这个多边形的内角和等于_______． 【答案】##720度 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，多边形的对角线的公式，求出多边形的边数是解题的关键． 根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式求出边数，然后根据多边形的内角和公式列式进行计算即可得解． 【详解】解：由题意得，多边形的边数为：， ∴内角和为：， 故答案为：． 16. 如图是跷跷板示意图，支柱经过 的中点O，与地面垂直于点M，，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为________． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质．过点B作交的延长线于N，求得，得到，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：过点B作交的延长线于N， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴另一端B离地面的高度为 ． 故答案为：80． 17. 在矩形中为的重心，如果，那么它的对角线的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用三角形重心的性质得到边上中线的长度，再结合矩形对角线的性质计算对角线的长． 【详解】解：如图，设，交于点O，取的中点E，连接 交于点G， ∵为的重心， ∴， ∴， ∵是矩形， ∴， ∴． 18. 如图，在梯形中，，，，，．点 在边上，将 沿着所在直线翻折，点A落在点F处，连接并延长，交边于点G．如果四边形是平行四边形，那么 的长是______． 【答案】2 【解析】 【分析】由折叠的性质可知：，，由题意易得，，则有，设，则有，进而根据勾股定理建立方程进行求解即可． 【详解】解：由题意可得如图所示： 由折叠的性质可知：，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则有， ∴ ， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：（负根舍去）， ∴． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 某学校的校园平面简图如图4所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知教学楼的坐标为，实验楼的坐标为． （1）根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系； （2）根据（1）中建立的平面直角坐标系，直接写出操场、食堂和图书馆的坐标； （3）已知办公楼A和学生宿舍B的坐标分别为和，请在图中标出A和B的位置，并计算A、B两点之间的距离． 【答案】（1） （2）操场的坐标为，食堂的坐标为，图书馆的坐标为 （3）； 【解析】 【分析】（1）根据教学楼和实验楼的坐标可确定原点和坐标轴的位置，据此建立对应的平面直角坐标系即可； （2）根据（1）以及操场，食堂和图书馆的位置可得对应的坐标； （3）根据（1）先描出点A和点B，再根据两点间的距离公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得操场的坐标为，食堂的坐标为，图书馆的坐标为； 【小问3详解】 解：图见答案， ∵办公楼A和学生宿舍B的坐标分别为和， ∴． 20. 小华用“描点法”绘制一个正比例函数图像和一个反比例函数图像，他列表取值的部分数据如表1和表2． 表1： 表2： x … a 1 2 … x … a 1 2 … … 2 1 … … b 2 4 … （1）请判断表1和表2分别对应哪种函数，并分别写出它们的函数表达式； （2）求表格中a、b的值； （3）在平面直角坐标系中，画出这两个函数的大致图像，并结合这两个函数的图像，直接写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】（1）表1对应反比例函数，；表2对应正比例函数， （2） ， （3），自变量x的取值范围为 或 ． 【解析】 【分析】（1）根据表格中的自变量和函数值进行判断即可； （2）根据所求函数解析式进行解答即可； （3）根据表格画出函数图象，根据函数图象的位置和交点坐标写出自变量x的取值范围即可． 【小问1详解】 解：根据表1可知， ， ∴表1对应反比例函数，即， 根据表2可知， ，即 ， ∴表2对应正比例函数，即 ， 【小问2详解】 解：由题意可得， ， 解得 ， 由题意可得， 【小问3详解】 根据表格画出函数图象，根据图象可知，自变量x的取值范围为 或 ． 21. 某款手机在不同状态下的电量变化是不同的． 手机在正常连续使用模式时，剩余电量与使用时间x（分钟）之间是一次函数关系，其部分图像如图所示．手机在快速充电模式时，充电电量与充电时间t（分钟）之间满足正比例函数关系，10分钟可以充电 ． （1）求正常使用状态下，剩余电量与使用时间x（分钟）之间的函数表达式，并写出自变量x取值范围； （2）将手机电量充满至时开始正常使用，持续使用了180分钟． ①此时手机剩余电量是多少？ ②若此时立即进入快速充电模式，如果手机要充到电量，需要充电多少分钟？ 【答案】（1） （2）①；②分钟 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①把 代入中求出的值即可得到答案； ②求出 ，再求出 时x的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：设， 由题意得，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①在中，当 时， ， ∴此时手机剩余电量是； ②设，则， 解得 ， ∴ ， 当 时， ， 解得 ， ∴需要充电分钟． 22. 在学习了《折纸与数学》之后，同学们利用三角形纸片开展了“折三角形中位线”的探究活动． 【甲同学的方案】如图1，将三角形纸片的顶点沿着某一直线折叠，使得点落在边上点处，此时折痕 就是它的一条中位线； 【乙同学的方案】如图2，将三角形纸片的顶点沿着经过顶点A的直线折叠，使得顶点B落在边上点处，折痕与边的交点记为F；再将顶点A沿着某一直线折叠，使得点A恰好落在点F处，此时折痕 就是它的一条中位线； （1）说明甲、乙两位同学的方案是否正确，若正确，请说明理由（写出证明过程）；若不正确，请举出反例或说明原因； （2）除了上述两种方法，请你再设计一种不同于甲、乙同学的折纸方案，折出的一条中位线，在图3中用虚线画出折痕，并写出结论． 【答案】（1）解：甲同学的方案不正确， 原因：连接，， 根据折痕 可得， 垂直平分， ∴，， 不能证明点D、E分别是 、的中点，也就不能证明折痕 就是三角形纸片的一条中位线； 乙同学的方案正确，理由如下： 如图，连接，， 根据折痕 可得， 垂直平分 ， ∴ ， ， ∴ ， 根据折痕 可得， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即为 中点， 同理可得 ，即 为中点， ∴折痕 是三角形纸片的一条中位线； （2）解：如图，将三角形纸片沿直线折叠，使得顶点与重合，折痕交 于，再将三角形纸片沿直线折叠，使得顶点与重合，折痕交于 ，即可得到为 中点， 为中点，折痕 是三角形纸片的一条中位线； 【解析】 【分析】（1）甲同学的方案连接，，根据折痕 可得， 垂直平分，得到，，但是不能证明点D、E分别是 、的中点，也就不能证明折痕 就是三角形纸片的一条中位线； 乙同学的方案连接，，根据折痕 可得， 垂直平分 ，得到 ， ，则 ，再根据折痕 可得， ，求出 ，得到 ，为 中点，同理可得 ，即 为中点，折痕 是三角形纸片的一条中位线； （2）将三角形纸片沿直线折叠，使得顶点与重合，折痕交 于，再将三角形纸片沿直线折叠，使得顶点与重合，折痕交于 ，即可得到为 中点， 为中点，折痕 是三角形纸片的一条中位线； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 已知：如图，在中，D是边的中点，E是延长线上的点，且，连接 ，F是线段 的中点，连接、、 ． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，求证：四边形是正方形． 【答案】（1）证明：∵D是边的中点，F是线段 的中点， ∴是 的中位线， ∴，，即， 又∵，E是延长线上的点， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：如图，连接，交于点O， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴，， 又∵ ， ∴， ∴、互相垂直平分， ∴四边形是菱形， ∴， ∵F是线段 的中点，， ∴， 又∵， ∴在中，即， 即， ∴是直角三角形， ， ∴ ， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】（1）先根据中位线的性质得，，即，进而可得，，根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证明； （2）连接，交于点O，根据平行四边形的性质得，，再根据等腰三角形三线合一的性质得，则、互相垂直平分，四边形是菱形，，再勾股定理逆定理证明是直角三角形， ，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 阅读材料：我们知道正比例函数的图像经过定点．进一步研究一次函数 的图像，将它整理成 后，当含字母系数 的项为0即 ， 时， ，因此该函数的图像经过定点． 解决问题： 已知一次函数 （ ）的图像经过定点P． （1）求定点P的坐标； （2）在平面直角坐标系中，如图，该一次函数的图像上有一点Q，当点Q横坐标增加2时，其纵坐标增加3． ①求此时该一次函数的表达式； ②设一次函数 （ ）的图像与y轴交于点A，点M在x轴正半轴上，直线 与y轴正半轴交于点N，以 、 为邻边作平行四边形 ，如果P恰好是平行四边形 两条对角线的交点，求点N的坐标． 【答案】（1）； （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）把原函数解析式变形为，根据题干中的方法即可求出答案； （2）①设该一次函数的表达式为，根据图像经过定点P解得 ，设点Q的坐标为，则变化后的点的坐标为，代入函数解析式得到方程组，解得， ，即可求出一次函数的表达式；②求出，四边形 是平行四边形，且是对角线的交点，是线段的中点，设,,根据中点坐标公式解得 ,即可得到点N的坐标． 【小问1详解】 解：， 当，即时，， ∴定点P的坐标为； 【小问2详解】 解：设该一次函数的表达式为， ∵图像经过定点P． ∴ ， 解得 ， 设点Q的坐标为，则变化后的点的坐标为，代入函数解析式可得， ， 两式相减得到 ， 解得， ∴ ， ∴该一次函数的表达式为 ； ②由①可知，一次函数解析式为 ， 当时，， ∴， ∵四边形 是平行四边形，且是对角线的交点， ∴是线段的中点， 设,, ∴ ， 解得 , ∴ 25. 在矩形中，点 在边上，， ，垂足为 ，延长 ，交射线于点． （1）如图，当点在边 上时， ①求证： ； ②如果 ， ，求 的值； （2）连接和．如果 是以为腰的等腰三角形，求的度数． 【答案】（1）①证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， 在 和 中，， ∴ ． ② （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据矩形的性质及直角三角形两锐角互余的性质得出 ，根据，即可证明 ； ②利用勾股定理求出，根据全等三角形的性质得出 ，利用勾股定理求出，设 ，根据，利用勾股定理列方程，求出的值，进而求出比值即可； （2）分和 两种情况，分别得出是等边三角形，是等腰直角三角形，进而根据矩形的性质及三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 解：①略 ②解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ， ， ∴， ， ， 由①可知， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 设 ， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 解得：，即， ∴ ． 【小问2详解】 解：如图，当时， ∵ ， ∴是的垂直平分线， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴是等边三角形，， ∴ ； 如图，当 时， ∵， ∴ ， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ． 综上所述：的度数为或 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $