精品解析：上海市虹口区2025-2026学年八年级下学期期末数学学习能力诊断练习

2025学年度第二学期期末学习能力诊断练习 八年级数学学科试卷 （满分100分，考试时间90分钟） 注意： 1、本练习卷含三个大题，共25题．答题时，请务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本练习卷上答题一律无效． 2、除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 若正比例函数的图象经过点（，2），则这个图象必经过点（ ）． A. （1，2） B. （，） C. （2，） D. （1，） 3. 下列函数中，一定是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 定义：将顺次连接四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形．如果中点四边形是正方形，那么原四边形的两条对角线一定满足（ ） A. 两条对角线互相平分且相等 B. 两条对角线互相垂直且相等 C. 两条对角线互相平分且垂直 D. 两条对角线互相垂直且不等 5. 菱形具有且矩形不一定具有的性质是（ ） A. 四条边都相等 B. 四个角都是直角 C. 对角线互相平分 D. 对称轴互相垂直 6. 已知命题：①一组对边平行、一组对边相等的四边形是平行四边形；②一组对边平行、一组对角相等的四边形是平行四边形．下列四个选项中，正确的是（ ） A. 命题①与命题②都是真命题 B. 命题①是真命题，命题②是假命题 C. 命题①是假命题，命题②是真命题 D. 命题①与命题②都是假命题 二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 点到轴的距离为__________． 8. 经过点且平行于y轴的直线是不是某个函数的图像？_______．（填“是”或“不是”） 9. 点关于轴对称的点的坐标为________． 10. 已知 ，且 ，那么实数k的值为_______． 11. 已知函数是正比例函数，且y随x的增大而减小，那么k的取值范围是______. 12. 已知函数 ，当 时，函数值y的取值范围为_______． 13. 已知点、在反比例函数的图像上，且 ，那么_______（填“”或“”或“”） 14. 如图，在中，，点 是的重心，，则的长为_____． 15. 已知菱形的一条边与它的两条对角线所成的两个角的度数之比为，则这个菱形的较大内角为________． 16. 如图，将线段平移至线段的位置，且点与点对应，点与点对应．如果点、、的坐标分别为、、，那么点的坐标为_______． 17. 已知四边形 是菱形， ，如果用剪刀将该菱形只剪两刀，则可以得到三个等腰三角形，那么的度数为_______． 18. 定义一种“循环移位密码”，规则如下：（1）将个英文字母按顺序对应数字：．（2）密钥为三个字母：．（3）加密时，首先将明文每个字母对应的数字，加上密钥对应位置字母的数字（密钥可以循环使用）得到一个新数，然后求这个新数关于的余数，通过余数对应的字母，得到密文．例如：明文为“”，密钥为“”，那么加密计算规则以及加密后的密文如下表所示： 明文及对应数字 （ ） （ ） （ ） （ ） （） … … 密钥及对应数字 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） … 密文=明文+密钥 （ ） （ ） （ ） （） （8） … … 如果明文为，那么密文应该是______． 三、解答题：（本大题共7题，满分64分） 19. 已知一个多边形的内角和比它的外角和多 ，求这个多边形的边数． 20. 在平面直角坐标系中，已知两点，． （1）求点、两点间的距离； （2）如果线段的垂直平分线交轴于点 ，求点 的坐标． 21. 【情境】某城市为鼓励市民节约用水，对居民生活用水实行阶梯水价．具体收费标准如下表： 月用水量（单位：立方米） 水价（元/立方米） 不超过15立方米的部分 3 超过15立方米但不超过25立方米的部分 5 超过25立方米的部分 7 【问题】 （1）当 时，写出每月水费（元）与月用水量（立方米）之间的函数关系式； （2）小海家上个月的水费为130元，请问小海家上个月的用水量是多少立方米？ 22. 如图2，已知点 、分别在正方形 的边、上，且．连接、． （1）求证： ； （2）将线段绕点 逆时针旋转，使得点落在点 处，连接 ． ①请在如图的基础上，完善图形； ②求证：． 23. 如图展示了反比例函数图象的一部分，图象暂未绘制完整， 轴的部分信息已在图中呈现，点、点的位置如图所示，设图 中方格纸中的每个小正方形的边长为 ． （1）假如点、点在某个反比例函数的图象上，试依据目前的信息求该函数的解析式； （2）在图中画出轴以及坐标原点，求出 的面积； （3）请联系现实问题，为所得反比例函数设计一个实际应用场景． 24. 如图，在平行四边形 中，点 为 的中点，请仅用一把无刻度的直尺完成下列画图． （1）作出线段 的中点； （2）作以 为底的梯形，且使该梯形的面积与四边形 的面积之比为 ，写出简要说理过程． 25. 已知：点 、、 、 分别是四边形 的边 、 、 、 上的点，且点 、、 、 不与四边形 的顶点重合． （1）如图 ，如果四边形与四边形都是平行四边形，求证： ； （2）如图 ，如果四边形与四边形都是矩形，且 ，求的值； （3）如图，如果四边形与四边形都是正方形，且 、 、 、 所在直线为对称轴，作 、 、 、的对称点、、、，如果， ，求的面积（简要写出主要的解题思路即可）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年度第二学期期末学习能力诊断练习 八年级数学学科试卷 （满分100分，考试时间90分钟） 注意： 1、本练习卷含三个大题，共25题．答题时，请务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本练习卷上答题一律无效． 2、除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据坐标的中心对称性质计算即可． 【详解】解：所求点与关于原点对称， 横坐标与纵坐标互为相反数， 所求点坐标为． 故选C． 【点睛】本题考查了坐标的中心对称，熟记中心对称的性质是解题关键． 2. 若正比例函数的图象经过点（，2），则这个图象必经过点（ ）． A. （1，2） B. （，） C. （2，） D. （1，） 【答案】D 【解析】 【详解】设正比例函数的解析式为y=kx（k≠0）， 因为正比例函数y=kx的图象经过点（-1，2）， 所以2=-k， 解得：k=-2， 所以y=-2x， 把这四个选项中的点的坐标分别代入y=-2x中，等号成立的点就在正比例函数y=-2x的图象上， 所以这个图象必经过点（1，-2）． 故选：D． 3. 下列函数中，一定是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义逐一判断选项即可，反比例函数的定义为：形如，其中为常数且的函数是反比例函数． 【详解】解：选项A、是正比例函数，不符合反比例函数定义，故A错误； 选项B、符合反比例函数定义，常数 ，故B正确； 选项C、是正比例函数，不符合反比例函数定义，故C错误； 选项D、未说明，当时不是反比例函数，故D错误． 4. 定义：将顺次连接四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形．如果中点四边形是正方形，那么原四边形的两条对角线一定满足（ ） A. 两条对角线互相平分且相等 B. 两条对角线互相垂直且相等 C. 两条对角线互相平分且垂直 D. 两条对角线互相垂直且不等 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画图，利用中位线定理得 ， ， ， ，然后根据正方形的性质得四个角是直角，四条边相等，然后，根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：根据题意画出图形如下： ∵E、F、G、H分别是四边形 各边、 、、 的中点， ∴ ， ， ∴ ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ∴， ，即两条对角线互相垂直且相等． 5. 菱形具有且矩形不一定具有的性质是（ ） A. 四条边都相等 B. 四个角都是直角 C. 对角线互相平分 D. 对称轴互相垂直 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形和矩形的性质逐一判断选项即可求解． 【详解】解：、菱形的四条边都相等，矩形的四条边不一定都相等，该选项符合题意； 、矩形的四个角都是直角，菱形的四个角不一定都是直角，该选项不符合题意； 、菱形和矩形的对角线都互相平分，该选项不符合题意； 、菱形和矩形的对称轴都互相垂直，该选项不符合题意． 6. 已知命题：①一组对边平行、一组对边相等的四边形是平行四边形；②一组对边平行、一组对角相等的四边形是平行四边形．下列四个选项中，正确的是（ ） A. 命题①与命题②都是真命题 B. 命题①是真命题，命题②是假命题 C. 命题①是假命题，命题②是真命题 D. 命题①与命题②都是假命题 【答案】C 【解析】 【分析】分别判断两个命题的真假，命题①可通过反例判断，命题②可根据平行线性质和平行四边形定义证明，即可得到结果． 【详解】解：①对于命题“一组对边平行、一组对边相等的四边形是平行四边形”，等腰梯形满足一组对边平行，另一组对边相等，但等腰梯形不是平行四边形，因此命题①是假命题； ②对于命题“一组对边平行、一组对角相等的四边形是平行四边形”， 设四边形中，，， ∵， ， ， ， ∴， ∴四边形两组对边分别平行，是平行四边形，故命题②是真命题． 综上，命题①是假命题，命题②是真命题，故选C． 二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 点到轴的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】理解点的坐标中各个数字的意义并解题即可． 【详解】解：根据点的坐标的几何意义,点到轴的距离为， 故答案为：． 8. 经过点且平行于y轴的直线是不是某个函数的图像？_______．（填“是”或“不是”） 【答案】不是 【解析】 【分析】先确定所求直线的表达式，再根据函数的定义判断即可，函数定义要求对于自变量x的每一个确定的值，因变量y都有唯一确定的值与之对应． 【详解】解：经过点且平行于轴的直线的表达式为， 根据函数的定义，对于自变量的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，才满足函数关系， 在直线 中，当取时，有无数个值与之对应，不满足函数的定义， 因此该直线不是某个函数的图像． 9. 点关于轴对称的点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变，是解题的关键．根据此特征解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 10. 已知 ，且 ，那么实数k的值为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得 ， 解得 ． 11. 已知函数是正比例函数，且y随x的增大而减小，那么k的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】依据正比例函数的定义可知，然后解不等式即可． 【详解】解：∵正比例函数，y随x的增大而减小， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是正比例函数的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 12. 已知函数 ，当 时，函数值y的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性，结合给定的x的取值范围，即可求出函数值y的取值范围． 【详解】解：∵函数 中，， ∴y随x的增大而减小， 当时， ， ∵ ， ∴ ． 13. 已知点、在反比例函数的图像上，且 ，那么_______（填“”或“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数解析式判断比例系数符号，得到函数在各象限内的增减性，结合已知 判断点所在象限，即可比较与的大小． 【详解】解：∵反比例函数中，比例系数， ∴反比例函数的图象位于第一、第三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵ ， ∴点 ， 都在第三象限， ∴． 14. 如图，在中，，点是 的重心，，则的长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查相似三角形以及直角三角形斜边中线的性质．延长交于D，连接并延长交 于E，连接，根据中位线定理得到．，再证明，得到，再根据直角三角形斜边中线性质求出斜边长度． 【详解】解：延长交于D，连接并延长交 于E，连接． 点是 的重心， 点D、E是、 的中点． ．． ，． ． ． ． ． ，点D是是的中点． ． 故答案为6． 15. 已知菱形的一条边与它的两条对角线所成的两个角的度数之比为，则这个菱形的较大内角为________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】根据已知条件，设，则 ，由菱形的对角线互相垂直得出方程，解方程得出各个内角的度数，找到菱形内的较大内角，通过计算即可得出结果． 【详解】解：如图所示： ∵四边形是菱形， ∴ ，，， 设，则 ， ∵， ∴，即， 解得 ， ∴， ， ∴菱形的较大角． 16. 如图，将线段平移至线段的位置，且点与点对应，点与点对应．如果点、、的坐标分别为、、，那么点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定点A到点C的坐标的变化特征，再根据此特征解答即可． 【详解】解：∵点 经过平移的对应点 ， ∴横坐标加6，纵坐标加4， ∴点 的对应点的坐标为 ， 即 ． 17. 已知四边形是菱形， ，如果用剪刀将该菱形只剪两刀，则可以得到三个等腰三角形，那么的度数为_______． 【答案】 或 【解析】 【分析】先画出图形，分两种情况：连接，在上取一点E，使 ，且，根据菱形的性质得 ，再设，则 ，再求出 ，然后根据 得出方程，求出解即可；连接，在上取一点E，使 ，且，仿照上述过程解答即可． 【详解】解：连接，在上取一点E，使 ，且， ∵四边形是菱形， ∴ ，则 是等腰三角形， ∴ ． 设，则 ， ∴． ∵ ， ∴， ∴ ， ∴ ． ∵， ∴ ， 即 ， 解得 ，即 ； 连接，在上取一点E，使 ，且， ∵四边形是菱形， ∴ ，则 是等腰三角形， ∴ ． 设，则 ， ∴． ∵ ， ∴， ∴ ． ∵， ∴ ， 即 ， 解得 ，即 ． 所以的度数为或 ． 18. 定义一种“循环移位密码”，规则如下：（1）将个英文字母按顺序对应数字：．（2）密钥为三个字母：．（3）加密时，首先将明文每个字母对应的数字，加上密钥对应位置字母的数字（密钥可以循环使用）得到一个新数，然后求这个新数关于的余数，通过余数对应的字母，得到密文．例如：明文为“”，密钥为“”，那么加密计算规则以及加密后的密文如下表所示： 明文及对应数字 （ ） （） （ ） （ ） （） … … 密钥及对应数字 （ ） （） （ ） （ ） （） （ ） … 密文=明文+密钥 （ ） （ ） （ ） （） （8） … … 如果明文为，那么密文应该是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的加密规则，先将明文的字母转换为对应数字，再依次与密钥对应位置的数字相加，计算和对的余数，最后将余数转换为对应字母即可得到密文. 【详解】根据规则可得： 明文 对应数字依次为，，， 密钥对应数字依次为，，， 逐个计算密文对应余数： 第一个字母：，余数 对应字母为， 第二个字母：，余数对应字母为， 第三个字母：，余数对应字母为， 故密文为：. 三、解答题：（本大题共7题，满分64分） 19. 已知一个多边形的内角和比它的外角和多 ，求这个多边形的边数． 【答案】这个多边形的边数是6． 【解析】 【分析】本题首先由题意得出等量关系，即这个多边形的内角和比外角和多 ，由此列出方程即可解出边数． 【详解】解：设边数为 ，根据题意，得 ， 解得 ． 答：这个多边形的边数是6． 20. 在平面直角坐标系中，已知两点，． （1）求点、两点间的距离； （2）如果线段的垂直平分线交轴于点，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理即可解答； （2）设点的坐标为，根据垂直平分线的性质得出，即可得出，解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：设点的坐标为， 线段的垂直平分线交轴于点， ， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴． 21. 【情境】某城市为鼓励市民节约用水，对居民生活用水实行阶梯水价．具体收费标准如下表： 月用水量（单位：立方米） 水价（元/立方米） 不超过15立方米的部分 3 超过15立方米但不超过25立方米的部分 5 超过25立方米的部分 7 【问题】 （1）当 时，写出每月水费（元）与月用水量（立方米）之间的函数关系式； （2）小海家上个月的水费为130元，请问小海家上个月的用水量是多少立方米？ 【答案】（1） （2） 30立方米 【解析】 【分析】（1）根据每月的水费等于15立方米的水费加上 立方米的水费，再加上超过25立方米的水费，然后整理得出关系式； （2）将 代入关系式得出答案即可． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵ ， ∴当 时， 即 ， 解得 ， 所以小海家上个月用水量是30立方米． 22. 如图2，已知点 、分别在正方形的边、 上，且．连接、． （1）求证： ； （2）将线段绕点 逆时针旋转，使得点落在点 处，连接 ． ①请在如图的基础上，完善图形； ②求证：． 【答案】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴ ， ， 又∵， ∴ ，即 ， 在和中， ， ∴ ． ∴ ． （2）①如图所示， ； ②如图所示，设、交于点H， 由（1）中结论可得， ， ， ， ， 由旋转可知 ， 又由（1）可知 ，且 ， ，故四边形 为平行四边形， ． 【解析】 【分析】（1）由正方形性质可证得 ，再用 证明 即可得到结论； （2）①根据题意作图即可； ②设、交于点H，先证明 ，再利用旋转和平行线的性质证明 ．继而证明四边形 为平行四边形即可得证． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 23. 如图展示了反比例函数图象的一部分，图象暂未绘制完整， 轴的部分信息已在图中呈现，点、点的位置如图所示，设图 中方格纸中的每个小正方形的边长为． （1）假如点、点在某个反比例函数的图象上，试依据目前的信息求该函数的解析式； （2）在图中画出轴以及坐标原点，求出 的面积； （3）请联系现实问题，为所得反比例函数设计一个实际应用场景． 【答案】（1） （2）， （3）用纸裁出面积为的矩形，所裁矩形的长与宽的关系为（答案不唯一） 【解析】 【分析】利用待定系数法解答即可； 根据补全坐标系，进而根据图形利用割补法求出 的面积； 根据所得函数解析式写出实际应用场景即可． 【小问1详解】 解：由图可知，点的横坐标为，点的横坐标为 ， 设，则， ∵点、点在某个反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴， 设反比例函数的解析式为，则 ， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：画图略， ； 【小问3详解】 解：用纸裁出面积为的矩形，所裁矩形的长与宽的关系为． 24. 如图，在平行四边形 中，点 为 的中点，请仅用一把无刻度的直尺完成下列画图． （1）作出线段 的中点； （2）作以 为底的梯形，且使该梯形的面积与四边形的面积之比为 ，写出简要说理过程． 【答案】（1）如图所示，点 即为所求： （2）四边形 即为所求，理由如下： 设 ，平行四边形底边 的高为，则 ，梯形 底边 的高为 ， ∴ ， ， ∴ ． 【解析】 【分析】（1）连接 相交于点，连接并延长交于点，连接 相交于点，经过点 画直线 ，交于点 ，交 于点，由平行四边形的性质及全等三角形的性质易证明四边形 是平行四边形，即得 ，进而由三角形中位线的性质得到 ，即得到四边形 是平行四边形，再根据平行四边形的性质及全等三角形的性质可推导出 ，即点 为线段的中点，故点 即为所求； （2）由（1）作图所得的四边形 即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 已知：点 、、 、 分别是四边形 的边 、 、 、 上的点，且点 、、 、 不与四边形 的顶点重合． （1）如图，如果四边形与四边形都是平行四边形，求证： ； （2）如图 ，如果四边形与四边形都是矩形，且 ，求的值； （3）如图，如果四边形与四边形都是正方形，且 、 、 、 所在直线为对称轴，作 、 、 、的对称点、、、，如果， ，求的面积（简要写出主要的解题思路即可）． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴ ， ， ∴ ，即 ， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ ； （2） （3） 【解析】 【分析】连接，证明即可求证； 连接，可证四边形 和四边形 都是矩形，即得，，进而得到，即可求解； 连接 ，由轴对称的性质可得 ， ， ， ，进而可证 三点共线，设 ，则 ，得到 ，即得，得到 ， ，再由得 ，最后根据三角形的面积公式计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 同理可得 ， ∵ ， ∴ ， ∵四边形是矩形， ∴四边形 和四边形 都是矩形， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接 ， 由轴对称的性质可得 ， ， ， ， ∵四边形是正方形， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 三点共线， 设 ，则 ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， 又∵ ， ， ∴， ∴ ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $