2.2 平方根与立方根第4课时课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“估算无理数大小”与“用计算器开方”核心知识点，通过班级身高问题导入，由“猜”的经验引出估算方法，衔接平方根、立方根知识，以问题链搭建学习支架，引导学生掌握估算步骤。 其亮点在于情境化探究与方法系统化，以公园面积、圆形花圃等现实问题为载体，培养数学眼光。通过逐步逼近法估算发展推理意识，结合计算器操作强化应用意识，典例精析中梯子问题体现模型应用，助力学生提升估算与应用能力，为教师提供结构化资源，便于实施探究式教学。

第2章 实数 2.2 平方根与立方根 第4课时　估算与用计算器开方 同学们知道我们班男生和女生的平均身高吗？ 你是怎样得出结果的呢？ 导入新课 男生大约170cm，女生大约158cm. 猜的 “猜”的意思就是根据自己的判断估计得出的结果，它并不是准确值，但也不是无中生有，是有一定的理论依据的，这节课我们就来学习有关估算的方法． 探究新知 【探究1】估算 某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以环保为主题的公园。已知这块荒地的长是宽的 2 倍，它的面积为 400 000 m2。 (1) 公园的宽大约有多少？有 1000 m 吗？ S = 400 000 解：设公园的宽是xm，则长为2xm.根据题意，得x·2x＝400000，所以x2＝200000.所以公园的宽x为200000的算术平方根． 若x＝1000，则x2＝1000000， 1000 2000 S = 400 000 因为1000000>200000，所以它没有1000m. 5 2.如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？ x • 2x = 400000， 2x2 = 400 000， x2 = 200 000， x = 解：设公园的宽为 x 米. 2x S = 400 000 x 如何估计的近似值呢？ 由（1）知 x＜1 000， 当 x = 500 时，2x2 = 500 000 ＞ 400 000. 当 x = 400 时，2x2 = 320 000 ＜ 400 000. 当 x = 450 时，2x2 = 405 000 ＞ 400 000. 大约是多少呢？ 当 x = 440 时，2x2 = 387 200 ＜ 400 000. 所以 x =≈ 450. 答：它的宽大约是 450 米. 3.该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800m2，你能估计它的半径？（误差小于1米） 解：设它的半径为rm， 则πr2 ＝800，所以r2 ≈255， 因为225<255<256， 所以15<r<16， 当r＝16时， r2更接近于255，所以r≈16． 800 m2 r m 思考 通过估算比较数的大小 通过估算比较与的大小． 问题1：比较两个分数的大小，如果分母相同，我们可以比较______． 分子 问题2：在整数____与整数____之间． 2 3 问题3：怎样比较与的大小？ 解：因为 >2，所以－1>1，所以>. 比较两个无理数大小的常用方法： 1.估算法：估算出所给无理数的近似值，再比较. 2.作差法：若，则 ； 若，则 . 归纳总结 3.乘方法：把含根号的两个无理数同时乘方(一般平方或立方)，比较乘方后的数的大小，同时考虑符号确定大小即可. 4.放缩法：将其中一个数(或两个数)放大或缩小，再比较. 5.作商法、倒数法等. 针对训练 1. (1)下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？ √ × × 方法一：两数同时乘方 56 方法二：有理数化作带根号的形式 (2) 你能估算的大小吗？(结果精确到 1) 解：因为 93 ＜900＜103 ， 所以 且 900 更接近 1000， 所以9 ＜ ＜10 . 3.怎样估算无理数(误差小于 0.1)？ 解：∵=12.5， ∴ ∴的整数部分是3 ∵ ∴ ∴ 归纳总结 1. 估算无理数大小的方法：通过利用乘方与开方互为逆运算，采用“逐步逼近法”，确定真值所在范围； 2. “逐步逼近法”的基本步骤： (1)估计是几位数； (2)确定最高位上的数字(如百位)； (3)确定下一位上的数字(如十位)； (4)依次类推，确定个位上的数字或精确到小数点后的某一位． 【探究2】用计算器进行开方运算 对于开平方运算，按键顺序为： 被开方数 = 对于开立方运算，按键顺序为： 被开方数 SHIFT = 3 第二功能 对于小数与分数可以按： S⇔D 不同计算器可能会存在不同的用法. 同 SHIFT 键，指第二功能 如果想转换小数与分数可以按： S⇔D 同 键 1.利用计算器，求下列各式的值(结果保留4个有效数字)： 典例精析 (1) ; (2) ;(3) ; (3) (1) ; (2) ;(3) ; (3) 解：(1) ; (2) 1.6386 (3) 0.7616 (4) 0.7560 讨论：(1) 任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算······ 随着开方次数的增加，你发现了什么？ 随着开方次数的增加，运算的结果越来越接近1. (2) 用另一个小于 1 的正数试一试，看看是否仍有类似规律。 运算的结果越来越接近 1 . (3) 任意找一个非零数，利用计算器对它不断进行开立方运算，你发现了什么？ 选取任意非零数反复开立方， 对正数反复开立方，结果趋近于 1； 对负数反复开立方，结果趋近于－1. 归纳总结 1.用计算器进行开平方、开立方的方法： (1)开方运算要用到按键； (2)对于开平方运算，按键顺序为：，被开方数， ， ； (3)对于开立方运算，按键顺序为： SHIFT ，，被开方数， . 注：用不同型号的计算器进行开方运算，按键顺序可能有所不同，如用有些计算器进行开平方运算时，先按被开方数，再按“ ”． 2．在开平方运算时，随着开方次数的增加，所得结果越来越小，越来越接近1. 例1 根据生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定.现在有一个长度为6米的梯子，当梯稳定摆放时，它的顶端能达到5.6米高的墙头吗？ 典例精析 解：设梯子稳定摆放时的高度为xm，此时梯子底端离墙的距离恰为梯子长度的， 即x2＝32，x＝ . 因为5.62=31.36<32,所以>5.6. 因此，梯子稳定摆放时，它的顶端能够达到5.6m高的墙头。 根据勾股定理，有x2 +() 2 ＝6 2 例2 利用计算器，比较下列各组数的大小． （1） （1） 【方法指导】正确利用计算器进行运算是解题关键． 解：(1)∵≈2.08，≈2.34， ∴<； (2)∵＝0.875，≈0.31， ∴>. 估算 估算在生活中的应用 估算无理数的大致范围 估算一个无理数的近似值 估算比较两个数的大小 课堂小结 33 1. 估计 的值(　C　) A. 在 3 到 4 之间 B. 在 4 到 5 之间 C. 在 5 到 6 之间 D. 在 6 到 7 之间 C 随堂练习 2．估计＋1的值在 （ ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 B 3．已知m＝＋，对于m的估算，正确的是（ ） A．2<m<3 B．3<m<4 C．4<m<5 D．5<m<6 B 4．用计算器求下列各式的值． (结果精确到0.000 1) (1) ≈_______；(2)-≈_______； (3) ≈_______；(4) ≈_______． 1.9026 -0.9354 -0.9322 6.8950 5．如图，旗杆高10m，旗杆顶部A与地面一固定点B之间要拉一笔直的铁索，已知固定点B到旗杆底部的距离是7m，一工人找了长约12.5m的铁索，这一长度够吗？ 解：由题意，得AC＝10m，BC＝7m， AB＝ ∵12.2<<12.3， ∴ <12.5， ∴这一长度不够． $