云南曲靖市罗平县第一中学2025-2026学年下学期3月份考试高二数学试题

**基本信息** 高二数学月考卷涵盖函数、几何、概率等模块，通过基础题与综合题结合，检测数学抽象、逻辑推理及运算能力，适配阶段性学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、复数、数列、三角函数等|单选巩固基础，多选结合频率直方图（9题）、导函数图像（10题）考查数据分析与直观想象| |填空题|3题/15分|向量数量积、切线方程、双曲线离心率|注重数学运算与几何直观（如14题双曲线定义应用）| |解答题|5题/77分|等差数列、解三角形、导数应用、立体几何、抛物线|分层设问（如17题单调区间与恒成立问题），综合考查逻辑推理与数学建模（如19题抛物线存在性问题）|

云南省罗平县第一中学2025-2026学年下学期3月份考试 高二数学 本试卷共4页19题，满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 非选择题用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内,在试题卷上作答无效. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 1、 单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．复数的虚部是（    ） A． B． C． D．2 3．已知等比数列则（　　） A．8 B．±8 C．10 D．±10 4．若，且是第四象限角，则等于（   ） A． B． C． D． 5．若函数在处取得极值1，则（   ） A．-4 B．-3 C．-2 D．2 6．甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为（   ） A．0.95 B．0.6 C．0.05 D．0.4 7．设是平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若与所成的角相等，则 8．直线与圆交于，两点，且的面积为2，已知是圆上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2. 多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（   ） A． B．样本质量指标值的平均数为75 C．样本质量指标值的众数小于其平均数 D．样本质量指标值的第75百分位数为85 10．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递减区间 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 11．关于函数，下列结论正确的是（    ） A．是的一个对称中心 B．函数在上单调递增 C．函数图像可由函数的图像向右平移个单位得到 D．若方程在区间上有两个不相等的实根，则 第II卷（非选择题,共92分） 三．填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．已知向量与的夹角为，且．则_____． 13．已知函数，则曲线在点处切线的方程为__________. 14．已知是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在一点满足, ，则该双曲线的离心率为_______． 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分） 已知数列是等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求的最小值 16．(本小题满分15分） 已知，，分别为三个内角，，的对边，且. (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长. 17．(本小题满分15分） 已知函数. (1)当时，求的单调区间； (3)若不等式恒成立，求的最大值. 18．(本小题满分17分） 如图，在三棱柱中，平面，是边长为2的正三角形，，点，分别 为，的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 19．(本小题满分17分） 已知抛物线：（）的焦点为，直线：与交于，两点. (1)求的方程. (2)求的取值范围. (3)设点，试问是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B A D D A B D ACD ABD BC 12． 13． 14． 【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、余弦定理解三角形 【详解】 由题意可得，所以， 又， 所以在中，， 在中，， 所以，解得， 所以. 15．(1) (2)最小值 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、二次函数法求等差数列前n项和的最值 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，解得， 所以． （2）因为是等差数列，所以． 因为，所以当时，有最小值. 16．(1) (2)6 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，， 因为，所以，则， 则，又，所以． （2）由（1）知，又因为， 由余弦定理，得①， 由题意知，即②， 联立①②得，所以，故， 则的周长为. 17．(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【详解】（1）当时，，得， 令，得或（舍去）， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 即的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）恒成立，即恒成立， 即恒成立. 令，则， 当时，则，函数在上单调递增， 因为，不符合题意； 当时，由，得，则函数在上单调递增， 由，得，则函数在上单调递减， 故的最大值为， 由和，解得. 综上可得，的最大值为. 18．(1)证明见解析. (2) 【知识点】证明线面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定推理得证. （2）以D为原点建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，再利用空间向量求出线面角的正弦即可. 【详解】（1）在三棱柱中，由底面,平面，得， 由为等边三角形，为的中点，得， 而平面，所以平面. （2）取中点，连结，由为的中点，得， 由（1）知平面，平面，则，而， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， ，，设平面的法向量， 则 ，令，得，而， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的余弦值为.    19．(1) (2) (3)存在， 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】（1）根据焦点坐标得出，即可得出抛物线方程； （2）联立直线和抛物线应用判别式列式求解； （3）把转化为应用斜率列式求参. 【详解】（1）因为，所以，的方程为. （2）由得， 则， 得，即的取值范围为. （3）设，，由（2）知，， 设线段的中点为，则，， 假设存在，使得，则， 所以， 解得，故存在，使得.    数学 · 第 页（共4页）1 学科网（北京）股份有限公司 $