福建漳州市2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

2025一2026学年下学期期中考 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：湘教版选择性必修第二册第一章（导数）、第二章（空间向 量与立体几何)。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.在空间直角坐标系中，点A(0,2,5),B(-1,3,4),则BA= A.1,-1,1) B.(-1,1,-1) C.(1,1,1) D.(-1,5,9) 2.已知函数f(x)=xo+2元-1，则f(x)的导函数f'(x)= Aa+号 Aor启 C.x1n10+1 3.已知函数f(x)=2e-3ax的极值点为0，则a= b.2 c号 D.3 4 A.0 4.在空间直角坐标系中，O是平面ABC外一点，平面ABC的一个法向量为n=(1,2,2), △ABC的面积为3，且OA=(一3,1,2)，则三棱锥O-ABC的体积为 A.1 R号 C.2 D.3 5若函数g)=号为减两数，则必有 A.f'(x)≤f(x) B.f'(x)≥f(x) C.f'(x)≤3f(x) D.f'(x)≥3f(x) 6.某企业的一个产品的月均产量y(单位：百件)与月份数x(x∈N*)的关系式为y=x3一6x 十95，则该企业这个产品的月均产量的最小值为 A.56件 B.63件 C.5600件 D.6300件 7.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3,AD=4,AA1=2,BD1=√3I,∠A1AB= ∠A1AD=60°，则∠ABC= A.60° B.90 C.120° D.150° 【高二数学第1页（共4页）】 8.函数f(x)=e2一(2x十1)e十x2十x的最小值为 A-} B.In 2 C.1 D.0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.在四面体PABC中，PD=DB,A它=2EC,则 A陀-Pi+d BD=pA+P心-2P馆 cP啦-pi+心 D.Di=}pi+号P心-2P店 10.若3x∈(0,4]，3x2-a2<x3+10a,则a的取值可以为 A.-10 B.-√65 C.-4 D.1 11.在空间直角坐标系中，已知正四面体SABC的四个顶点的坐标为A(0,0,0),B(2√6,0,0)， C(√6,3√2,0)，S(m,n,t)(t>0),点N(x1y1,之1)在四面体SABC外接球的球面上，且CN⊥ 平面ABC,点H(x2,y2,z2)在四面体SABC内切球的球面上，则 A.mnt=8√3 B.HN|的最大值是最小值的2倍 C.四面体SABC外接球的体积为108π D当示取得最小值时，点H的坐标为(6，号，) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在标准正交基{i,j,k}下，已知向量m=3i十4j-5k,n=-2i-j十3k,则向量2m-n在j 上的投影为▲。 13.在空间直角坐标系中，已知A(0,1,2),B(2,3,2),C(3,3,1),则点A到直线BC的距离 为▲ 14.若a5-2a+2a≥8-21+2+(a>0.6>0),则)的取值范围是▲ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 15.(13分) 已知函数f(x)=x-2sinx. (1)求1im f(△x)一f(0)的值； △x (2)求f(x)在(0，)上的极值. 【高二数学第2页（共4页）】 16.(15分) 将正方体ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B,CD1后得到如图所示的几何体，且H为 AC的中点 (1)证明：A1H平面B1CD1. (2)求二面角A-B1H-A1的正弦值. D 17.(15分) 已知函数f(x)=a3x一lnx. (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性. 【高二数学第3页（共4页）】 18.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=AB=2,PA⊥AB,底面ABCD是正方形，E,F分别为 AD,PC的中点.过点D的直线L与PA平行，且I⊥BE. (1)证明：PA⊥底面ABCD (2)已知平面PAB与平面BEF的夹角为a. (i)求sina; (iⅱ)若Q是1上的一个动点，直线BQ与平面BEF所成的角为B, 证明：a>B. 19.(17分) 已知函数f(x)=er一ex一a.x. (1)证明：当a=2,x∈[0，十∞)时，f(x)≥0. (2)讨论f(x)的零点个数. (3)若a>2,正数xo满足f(xo)=0,证明：e0十1>a. 【高二数学第4页（共4页）】 2025一2026学年下学期期中考 数学参考答案 1.A依题意得BA=(0十1,2-3,5-4)=(1，-1,1). 2.Bf()10千2元=10x十 3.C广)=2E-3a,因为f0=2-a=0,所以a=号经检验，当a=号时，fx)的极值点 为0. 上A因为点O到平面ABC的距离d=O1”-；1,所以三棱锥0-ABC的体积为X n 3×1=1. 5.C因为g(r)=f) e为减函数，所以g')=[]r=Te3)e (e3r-1)2 一≤0恒成 立，即fx)-3fx）≤0恒成立，因为e->0,所以f'(x)≤3f(x). e3z-1 6.D设f(x)=x3-6x2+95(x>0),则f'(x)=3x2-12x,令f'(x)<0,得0<x<4,令 f'(x)>0,得x>4,则f(x)m=f(4)=63,故该企业这个产品的月均产量的最小值为63百 件，即6300件. 7.B在平行六面体ABCD-A1B,C,D1中，BD=BA+AD+DD=-A+AD+AA, BD =(-AB+AD+AA)=AB+AD+AA2-2AB.AD+2AA.AD -2AB.AA=9+16+4-24cos∠BAD+16cos60°-12cos60°=31-24cos∠BAD=31, 所以cos∠BAD=0,则∠BAD=90°，又四边形ABCD为平行四边形，所以∠ABC=180°一 ∠BAD=90°. 8.Df(x)=e2r-2xe+x2-e十x=(e-x)2-(e-x).设g(x)=e-x,则g'(x)=e 一1，当x<0时，g'(x)<0,g(x)单调递减，当x>0时，g(x)>0,g(x)单调递增，则g(x) ≥g(0)=1.令t=e-x,t≥1，则(e-x)2-(e-x)=t2-t,因为y=t2-t在[1，十o∞)上 单调递增，所以当t=1时，y=t2一t取得最小值，且最小值为0.故f(x)的最小值为0. 9.AD-Pi+A-Pi+号P心-Pi)=Pi+号P心，A正确，C误 D-P它-P币=？Pi+P心-2P弦，B错误，D正确， 10.ABD若3x∈(0,4]，3.x2-a2<x3+10a,则3x∈(0,4]，a2+10a>3.x2-x3,设函数 f(x)=3.x2-x3(0<x≤4)，则a2+10a>f(x)m·f'(x)=6.x-3x2=3x(2-x), 令f'(x)>0,得0<x<2,f(x)单调递增，令f'(x)<0,得2<x≤4，f(x)单调递减. 因为f(4)=-16<f(0)=0,所以f(x)mm=-16, 【高二数学·参考答案第1页（共5页）】 故a2+10a>-16,解得a∈(-∞，-8)U(-2,+∞). 11.ABD四面体SABC的直观图如图所示.设顶点S在底面 ABC上的射影为D,连接SD,则SD⊥平面ABC,连接CD并 延长，交AB于点E,易得E为AB的中点.因为AB=2√6，所 以CD=号CE=2E,所以SD=V2w6)r-(2②)=4，则 B S(W6,w2,4),则mt=√6×√2×4=83，A正确.设四面体 SABC外接球的球心为O1,则O1在SD上，设O1D=k,则 (4一k)2=k2十(2√2)2，解得k=1,所以四面体SABC外接球的半径为3，四面体SABC外 接球的体积为青×πX3”=36x,C错误。 易得四面体SABC内切球的半径r=OD|=1,内切球的球心为O1,则HN1的最大值为 3十1=4，最小值为3一1=2，B正确. 因为CN⊥平面ABC,所以N(√6,3√2，之1)，又因为O1N=3,所以（√6-√6）2+(3√2- √2)2+(-1)2=9，解得x1=2或x1=0(舍去)，N(W6,3√2,2).当HN取得最小值时， 0=0i,即0,22,1=3：-5-巨-10.得H6,52,》D正确 12.9因为2m-n=2(3i+4j-5k)-(-2i-j+3k)=8i+9j-13k,所以向量2m-n在j 上的投影为9. 13.√6因为BA=(-2,-2,0),BC=(1,0,一1)，所以点A到直线BC的距离为 赋--=8 14[兰，+)设f)=-2r2+2x,则fu)=3x-z+2.因为4=16-24<0，所以 f'(x)=3x2-4x+2>0恒成立，所以f(x)是增函数 80-22b+1+20+1=(20)3-2×(2)2+2×20=f(2), 又a6-2a4+2a2=f(a2),所以f(a2)≥f(2),因为f(x)是增函数，所以a2≥2. 因为a≥06>0.所以1na≥h2,2ha≥ln2,则≥号 2 15.解：(1)f'(x)=1-2c0sx,…2分 则li f△x)-f0)=imf0+△)-f0》-f(0)=1-2=-1..5分 Az A △x （2当x(0,）时，令f（)=0,得x=57分 令f'(x)<0,得0<x<,则f(x)在(0，）上单调递减， …9分 【高二数学·参考答案第2页（共5页）】 令f(x)>0,得<<受则f(x)在（行，）上单调递增，…11分 所以f(x)在(0，)上的极小值为f()=-5,f(x)在(o,)上无极大值.…13分 16.(1)证明：取B1D1的中点M,连接A1M,MC.…1分 之4 易i证A1M/AC,且A1M=2AC,… …2分 又H为AC的中点，所以A1M∥HC,且A1M=HC,…3分 则四边形AMCH是平行四边形，所以A1HMC.·4分 因为A1H￠平面B1CD1,MCC平面B1CD1,所以A1H∥平面 B1CD1.…6分 (2)解：以A为坐标原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x,y, 之轴建立空间直角坐标系，如图所示 设AB=2,则A(0,0,0),B1(2,0,2),H(1,1,0),A1(0,0,2),B1H=(-1,1,-2),AB1= (2,0,2),A1B1=(2,0,0).…8分 B1H·m=-x十y-22=0, 设平面AB1H的法向量为m=(x,y,之)，则 令x=1,得m= AB·m=2x+2x=0, (1,-1,-1)… …10分 B1i·n=-a十b-2c=0, 设平面A1B1H的法向量为n=(a,b,c),则 令b=2,得n= A1B1·n=2a=0, (0,2,1).… …12分 设二面角A-B1H-A,的平面角为a,则|cosa|=|cos〈m,n〉|= m·n= m n 1-2-1川 √15 √/1+1+1Xw4+ī5’ …14分 所以二面角A-B,H-A1的正弦值为-1cosa- 5 …15分 17.解：(1)当a=2时，f(x)=8x-lnx,则f'(x)=8-1 2分 则f(们)=7，…3分 因为f(1)=8,…4分 所以曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y-一8=7(x一1)， 即y=7x十1.…6分 (2)f(x)的定义域为(0，十∞)，…7分 f'(x)=a'x-1 8分 。。00000000000000000000000000。 当a≤0时，f'(x)<0,则f(x)在(0，十∞)上单调递减.…10分 【高二数学·参考答案第3页（共5页）】 当a>0时，令f(x)=0,得x=, 11分 令f'(x)<0,得0<x<3, 12分 令f(x)>0,得x>0, 13分 所以f(x)在(0，)上单调递减，在(，十)上单调递增 15分 18.(1)证明：因为l/PA,l⊥BE,所以PA⊥BE.… …1分 因为PA⊥AB,AB∩BE=B,ABC底面ABCD,BEC底面ABCD,…2分 所以PA⊥底面ABCD.…3分 (2)(1)解：以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴、 y轴、之轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2,0,0),E(0,1, 0),F(1,1,1),得B2=(-2,1,0),E疗=(1,0,1).…5分 n·BE=-2x+y=0, 设平面BEF的法向量为n=(x,y,之)，则 n.E求=x十2=0， 6分 令x=1,则y=2,2=-1,得n=(1,2,-1).…7分 易得平面PAB的一个法向量为m=(0,1,0),…8分 m·n √6 则cosa= mn …9分 故sina=√1-cos2a= 3 10分 (i)证明：设Q(0,2,a),得BQ=(-一2,2，a), 11分 BQ·n 则sinB=Bd1nl 12-al ......... 13分 √a2+8.√6 因为a9∈[0，受]，函数y=sinx在[0，受]上单调递增，所以要证a>,只需证sina> sinB,即证3 12-a …15分 a2+8·√6 即证a2十4a十12>0.…16分 因为△=42-4×12=-32<0，所以a2+4a+12>0恒成立.故a>3.…17分 19.(1)证明：当a=2,x∈[0，十o∞)时，f(x)=e2-e-2x,…1分 f'(x)=e2十ex一2≥2-2=0，当且仅当e=e-x,即x=0时，等号成立，…2分 所以f'(x)≥0，f(x)在[0，十∞)上单调递增.…3分 又f(0)=e°-e°-0=0，所以当x≥0时，f(x)≥f(0)=0,即f(x)≥0.…4分 (2)解：因为f(一x)=e一e十ax=一f(x),所以f(x)为R上的奇函数.…5分 【高二数学·参考答案第4页（共5页）】 f'(x)=e十ex一a.当a≤2时，f'(x)≥2-a≥0，f(x)在(0，+∞)上单调递增. 又f(0)=0,所以f(x)的零点个数为1.… …7分 当a>2时，令f'(x)=0,即e十e=a,设t=e(t>0),则t十=a,即t2-at十1=0，解 得=a±4，即x,=nav-4,=na+g 2 2 2 又因为-三.合-1.a+公>号>1 2 2 2 所以0<a-va-4 <1,即x1<0,x2>0, 8分 则当x<x1时，f'(x)>0,f(x)单调递增，当x1<x<x2时，f'(x)<0,f(x)单调递减， 当x>x2时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 所以f(x)极大值=f(x1)>f(0)=0,f(x)极小值=f(x2)<f(0)=0.…9分 又因为当x→一o∞时，f(x)>一∞，f(0)=0,当x>十∞时，f(x)>十∞，所以f(x)的零 点个数为3. 综上，当a≤2时，f(x)的零点个数为1；当a>2时，f(x)的零点个数为3.…10分 (3)证明：由f(x)=0,得e-e0=a,即a=c0-c …11分 要证e0+1>a,只需证e0+1e-e ，即证xo(eo十1)>eo-e0,即证xoe0十x0- e0十eZ0>0,…12分 设k(x)=xe+x-e十er,x>0,则k'(x)=e十xe+1-e-e-x=xe+l-e-x.… …13分 因为x>0,所以xe>0,1一e-x>0,…14分 所以k'(x)>0,k(x)在(0，十∞)上单调递增.…15分 又k(0)=0+0-1十1=0，且xo>0,所以k(xo)>k(0)=0,即xoe0+x0-e0+e0>0, 故e0十1>a得证.…17分 【高二数学·参考答案第5页（共5页）】