精品解析：福建省漳州艺术实验学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

漳州艺术实验学校2024-2025学年（下） 期中考高二年级数学试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一､单选题 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中，点关于坐标轴对称的特征求解. 【详解】依题意，点关于轴的对称点为. 故选：D 2. 已知是函数的导函数，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导函数，令即可求解. 【详解】由，可得， 故，解得. 故选：A. 3. 如图，空间四边形中，．点在上，且，为的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算结合空间向量基本定理求解即可. 【详解】利用中，，， 所以． 故选：B． 4. 如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 在上是增函数 C. 在上是减函数 D. 在时，取极大值 【答案】B 【解析】 【分析】 利用导函数值的符号判断函数的单调性，推出选项即可． 【详解】因为在某区间内，导函数为正，对应的原函数在该区间内递增， 则由导函数的图象可知，导函数在， 导函数为正，所以是增函数， 即在上是增函数. 故选：B． 【点睛】本题考查原函数的单调性与导函数的关系，考查基本知识的应用． 5. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，导函数在上恒非负，根据恒成立的问题的办法解决. 【详解】，又在上单调递增，故在上恒成立，而时，易见，只需要即可，故. 故选：B. 6. 在正方体中，为的中点，为平面与平面的交线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设为的中点，则即为所在直线，判断与是异面直线，即可判断A；由，与不垂直，即可判断B；由条件可证得平面，而，可得平面，从而，即可判断C，D. 【详解】设为的中点，连接， ∵为的中点，为的中点，∴， 又∵，∴， ∴四点共面， ∴平面与平面的交线为，则即为所在直线， ∵与是异面直线，即与是异面直线，故A错误； ∵，而在直角中，，则与不垂直， 故与不垂直，即与不垂直，故B错误； ∵平面，平面，∴， 又，，平面， ∴平面，又， ∴平面，即平面， ∵平面，∴，故C错误，D正确， 故选：D. 7. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，根据题意可判断，是偶函数，在上是增函数，在减函数，把原不等式转化为解不等式，进而，解得即可. 【详解】令，则， 当时，，所以当时，， 即在上是增函数，由题意是定义在上的偶函数，所以， 所以，所以是偶函数，在单调递减， 所以，， 即不等式等价为， 所以，解得或， 所以不等式的解集为． 故选：D 8. 若直线是曲线和的公切线，则实数k的值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】设直线与曲线、分别相切于点、，利用导数求出曲线在点处的切线方程，以及曲线在点处的切线方程，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得的值． 【详解】设直线与曲线、分别相切于点、， 对函数求导得，则， 曲线在点处的切线方程为，即， 对函数求导得，则， 曲线在点处的切线方程为，即， 所以，，化简可得． 故选：D. 二､多选题 9. 已知空间向量，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据模长公式即可求解A，根据垂直的坐标关系即可求解B，根据平行满足的坐标关系即可求解C，根据夹角公式即可求解D. 【详解】A：，A错误； B：由知，，解得，B正确； C：由知，，解得，C错误； D：若，，则，D正确. 故选：BD 10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，则以为原点，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. C. 是平面的一个法向量 D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由线面平行的判定定理证明即可；对于B，由空间向量判断异面直线垂直即可；对于C，由平面法向量求解即可；对于D，由点到平面的距离公式计算即可. 【详解】对于A，由于，分别是的中点， 所以平面平面， 所以平面，故A正确； 对于B，， 故，， 故与不垂直，进而可得与不垂直，故B错误； 对于C，由，所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以平面的一个法向量，故C正确； 对于D，，点到平面的距离为，故D正确. 故选：ACD． 11. 记为函数的阶导数，，若存在，则称阶可导．英国数学家泰勒发现：若在附近阶可导，则可构造（称其为在处的次泰勒多项式）来逼近在附近的函数值．下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 在处的3次泰勒多项式为 D. （精确到小数点后两位数字） 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于AB，根据求导公式求导，然后观察规律即可；对于C，按照泰勒多项式直接求解可知；对于D，求出在处的次泰勒多项式，然后计算即可. 【详解】对于A，若，则， ， 所以，A正确； 对于B，若，则， ， 观察可知，B正确； 对于C，的阶导数， 得，C正确； 对于D，记，则， 因为， 所以在处的次泰勒多项式， ，D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：对于D选项，关键在于理解次泰勒多项式的定义及作用，求出在处的次泰勒多项式，据此进行估算. 三､填空题 12. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量在向量上投影向量的计算公式求解即可. 【详解】∵，， ∴， 所以向量在向量上的投影向量为： . 故答案为：. 13. 已知x，y为正实数，，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用构造一个函数，结合求导思想分析单调性，从而可得出，再由基本不等式求解. 【详解】由得：， 构造函数，则， 可知在上递增， 结合，得 ，即 由基本不等式可知：， 当且仅当时等号成立，所以. 故答案为：. 14. 若函数有2个零点，则m的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】函数有两个不同的零点，即函数的图象与x轴有两个不同的交点，利用导数探讨函数的最值，建立不等式求解. 【详解】函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增，最多1个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， ， 而当从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大；当趋近于正无穷大时，趋近于负无穷大， 函数有两个不同的零点，当且仅当函数的图象与x轴有两个不同的交点， 因此，解得， 所以m的取值范围是. 故答案为： 四､解答题 15. 已知空间三点，，．设，． （1）求，； （2）求与的夹角； （3）若向量与互相垂直，求实数k的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量模的坐标运算公式即可求出结果； （2）由（1）可知的坐标，根据空间向量夹角的坐标运算公式，即可求出结果； （3）由（1）可求出，的坐标，由向量与互相垂直， 可得，再根据空间向量数量积的坐标运算公式建立方程，即可求出结果. 【小问1详解】 解：因为，，所以, 所以； 因为，，所以， 所以； 【小问2详解】 解：由（1）可知， 又，所以， 即与的夹角为. 【小问3详解】 解：由（1）可知，， 又向量与互相垂直， 所以，所以， 即，解得. 16. 如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，，，为与的交点.设，，. （1）用表示； （2）求对角线的长； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算直接求解即可； （2）利用基底表示出，结合向量数量积的运算可求得，由此可得结果； （3）利用基底法求解出，，根据向量夹角运算可求得结果. 【小问1详解】 连接， ，，， ，， 为线段的中点，， . 【小问2详解】 以顶点为端点的三条棱长都是，，， ，，， 由（1）知：，， ， ，即对角线的长为. 【小问3详解】 由（1）（2）知：，， ，， ， . 17. 已知函数，. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，利用经过的点坐标即得切线方程； （2）将不等式恒成立问题通过参变分离法，转化成，故只须求即得. 【小问1详解】 当时，， 则，，则， 曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 在上恒成立， 等价于在上恒成立，即， 令，则， 则当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 故，所以，即a的取值范围为． 18. 如图，在长方体中，，与交于点，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）设，其中，若二面角的大小为，求. 【答案】（1） 方法一：以为坐标原点，为单位长， 为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 由题设知，，，， 由得，. 由得，. 而平面，平面，， 所以平面. 方法二：取中点，设，连结 . 在长方体中，，故， ，故， 因为平面, 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系得出和，结合线面垂直判定定理证明即可；方法二：应用勾股定理得出线线垂直，再应用线面垂直判定定理证明； （2）方法一：先根据求出平面和平面的法向量再应用面面角的公式计算得出参数；方法二：先应用线面垂直判定定理得出二面角，再应用边长计算二面角正切求解参数. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：由题设知，. 由（1），平面的一个法向量为. 设平面的法向量，则 即 令，可得平面的一个法向量. 则，又二面角的余弦值为， 解得或（舍去），故的值为. 方法二：在平面 内过 Q 作交 于 H ， 则 平面 ，在平面 内过 H 作 HG 垂直于 G ，所以 , 又 , 平面 ， 所以 平面 ， 所以为二面角的平面角， 设，由余弦定理得， 则 所以 所以， 解得. 19. 已知． （1）求证：当时，； （2）若对于，恒成立． ①求的最大值； ②当取最大值时，若函数，求证：对于，，恒有（为自然对数的底）． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）令，利用导数可求得单调性，从而得到，由此可得结论； （2）①分离变量得到，令，利用导数可求得单调性，得到，由此可求得的最大值； ②将所证不等式转化为证明在上单调递增，利用导数可求得的单调性，并确定在上恒成立，由此可得结论. 【小问1详解】 当时，， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，即. 【小问2详解】 ①由题意知：对于，恒成立， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， ，，即的最大值为； ②由①得：， 要证对于，，恒有， 只需证：当时，， 即证： 令， 则只需证：在上单调递增； ， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ， ，， ，，即， 在上恒成立，在上单调递增， 对于，，恒有. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数证明不等式、恒成立问题的求解；本题第二问证明不等式的关键是能够将问题转化为证明函数的单调性的问题，从而利用导数求得函数单调性，使得问题得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漳州艺术实验学校2024-2025学年（下） 期中考高二年级数学试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一､单选题 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为（ ） A. B. C. D. 2. 已知是函数的导函数，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 如图，空间四边形中，．点在上，且，为的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 在上是增函数 C. 在上是减函数 D. 在时，取极大值 5. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在正方体中，为的中点，为平面与平面的交线，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 若直线是曲线和的公切线，则实数k的值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 二､多选题 9. 已知空间向量，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，则以为原点，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. C. 是平面的一个法向量 D. 点到平面的距离为 11. 记为函数的阶导数，，若存在，则称阶可导．英国数学家泰勒发现：若在附近阶可导，则可构造（称其为在处的次泰勒多项式）来逼近在附近的函数值．下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 在处的3次泰勒多项式为 D. （精确到小数点后两位数字） 三､填空题 12. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标是_______. 13. 已知x，y为正实数，，则的取值范围是___________． 14. 若函数有2个零点，则m的取值范围是__________. 四､解答题 15. 已知空间三点，，．设，． （1）求，； （2）求与的夹角； （3）若向量与互相垂直，求实数k的值． 16. 如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，，，为与的交点.设，，. （1）用表示； （2）求对角线的长； （3）求的值. 17. 已知函数，. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上恒成立，求的取值范围. 18. 如图，在长方体中，，与交于点，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）设，其中，若二面角的大小为，求. 19. 已知． （1）求证：当时，； （2）若对于，恒成立． ①求的最大值； ②当取最大值时，若函数，求证：对于，，恒有（为自然对数的底）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $