1.1.2空间向量的数量积运算学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本文围绕空间向量的数量积运算展开，承接平面向量知识背景，为解决立体几何问题奠基。通过知识链接、探究等环节，培养学生用数学眼光观察、用数学思维思考、用数学语言表达现实世界的核心素养。 该设计亮点在于类比平面向量进行知识迁移，采用自主阅读与探究相结合的教法。从学生层面提升其知识迁移与应用能力，为教师提供清晰授课路径，有效突破用向量解决立体几何问题这一教学难点。

1.1.2空间向量的数量积运算 班级 姓名 小组___________ 【学习目标】 （1）知道什么是空间向量的夹角； （2）会用空间向量的数量积的定义、性质、运算律，解决相应的题目； （3）会求空间向量的投影向量，能默写出公式； （4）能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题. 【教学重难点】 重点：空间向量的夹角的概念、空间向量的数量积的定义、性质、运算律，了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 难点：能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题. 【导学流程】 一、知识链接 1.平面向量夹角数的定义：,作,则叫做与的夹角,记,. 2.平面向量数量积的定义：两个非零向量,则叫.做的数量积,记作,即 特别地，零向量与任意向量的数量积为0． 二、了解感知（建议用时8分钟） 1.阅读课本P6，类比平面向量，如何得出空间向量夹角的概念和如何得出空间向量数量积的定义？ 2.阅读课本P7，在平面向量中我们学习过投影向量的概念，回顾什么是投影向量，你能把它推广到空间向量中吗？ 思考向量向向量投影有什么几何意义？向量向平面β投影有什么几何意义呢？ 3.阅读课本P7，类比平面向量数量积运算的运算律，空间向量的数量积运算有哪些运算律？如何证明？ 三、探究未知 1.已知，分别求下列条件下与的数量积. (1)与的夹角为； (2)与的夹角为； (3)； (4) . 2.已知向量，，，，，则在方向上的投影向量为 ，在方向上的投影向量为 ． 3.如图1.1-12，在平行六面体中，，，，，．求： （1） ；（2）的长（精确到0.1）． 四、知识迁移 1．如图，正方体的棱长为1，设，，， 求：（1）； （2）； （3）． 2．如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点．求： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$