湖南衡阳市第八中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

**基本信息** 衡阳市八中高一下期期中数学卷，聚焦复数、统计、立体几何、三角函数核心知识，通过球面几何应用、刍甍体积计算等创新情境，考查数学眼光、思维与语言，基础与能力梯度清晰。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数运算、分层抽样、向量积|基础巩固，如分层抽样考查统计应用| |多选题|3/18|统计概率、球面几何|能力提升，球面几何结合航海场景| |填空题|3/15|解三角形、测量问题|实际应用，如山高测量体现数学语言| |解答题|5/77|解三角形、立体几何证明、刍甍体积|创新综合，刍甍体积融合文化与空间想象|

绝密★启用前 衡阳市八中高一下学期期中考试试题（2026.5） 数 学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．若复数满足（是虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 2．某学校有高中学生1000人，其中高一学生360人，高二学生340人；高三学生300人，按年级进行分层，用分层随机抽样的方法从全校高中学生中抽取一个容量为100的样本，若样本按比例分配，则在高三学生中应抽取的人数为（    ） A．30 B．34 C．36 D．60 3．已知复数（其中i为虚数单位），若，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或5 4．设是关于的方程的两根，其中，若（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D．2 5．已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的长度为，若，，则（    ） A． B． C． D．12 6．已知三棱锥P−ABC中各侧面与底面所成的二面角都是，且△ABC三边长分别为7、8、9，则三棱锥的侧面积为（ ） A．​ B．​ C．​ D． 7．在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 8．已知圆台的上、下底面的面积分别为，侧面积为，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列说法正确的是（    ） A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C．已知数据，，，的极差为6，方差为2，则数据，，，的极差和方差分别为12，8 D．数据，，，的平均数为90，方差为3；数据，，，的平均数为85，方差为5，则，，，，，，，的平均数为87，方差为10.2 10．球面几何学是几何学的一个重要分支，在航海､航空､卫星定位等方面都有广泛的应用，如图，A，B，C是球面上不在同一个大圆上的三点，经过这三个点中任意两点的大圆的劣弧分别为，，，由这三条劣弧围成的球面图形称为球面△ABC.已知R为地球半径，N为北极点，P，Q是地球表面上的两点，则下列结论正确的有（    ） A．若P，Q在赤道上，且，则三棱锥O-NPQ的体积为 B．若P，Q在赤道上，且，则球面△NPQ的面积为 C．若，则球面△NPQ的面积为 D．若，则由球面△NPQ，平面OPN，平面OQN及平面OPQ所围成的几何体的体积为 11．设一个正方体，一只蚂蚁从上底面的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个相邻顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行次，仍然在上底面的概率为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且的面积为，则______． 13．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及；从C点测得．已知山高m，则山高______m． 14．如图所示，直角梯形ABCD中，，，，，点E是线段BC上的动点，，则满足条件的点E的个数是______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角； (2)若，的平分线交于点，求. 16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点． (1)求证：QN平面PAD； (2)记平面CMN与底面ABCD的交线为l，试判断直线l与平面PBD的位置关系，并证明． 17．已知，，，为坐标原点． (1)若，求的值； (2)若，且是第二象限角，设在上的投影向量为，求的坐标． 18．已知函数． (1)利用三角恒等变换，化简的解析式，并求函数的最小正周期； (2)求函数图象的对称轴方程和对称中心坐标； (3)若，求函数的取值范围． 19．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条楼．刍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，，． （1）求二面角的大小； （2）求三棱锥的体积； （3）点在直线上，满足（），在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理 5月考试答案 数 学 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C A C A D C ACD ABC 题号 11 答案 AC 12． 13．300 14．1 15．（1）解法一：由正弦定理得， 可将化为， 由知， 所以. 又，故. 解法二：根据正弦定理，可将化为， 因为，所以，约去得. 又，故. （2）已知、、，根据余弦定理得， 解得. 因为， 所以， 因为，，所以，解得. 16．（1） 证明：∵底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点． ∴QNBC，BCAD，∴QNAD， ∵QN平面PAD，AD⊂平面PAD， ∴QN平面PAD； （2） 直线l与平面PBD平行，证明如下： ∵M，N分别为PD，PB的中点， ∴MNBD， ∵BD⊂平面ABCD，MN平面ABCD， ∴MN平面ABCD， ∵平面CMN与底面ABCD的交线为l， ∴由线面平行的性质得MNl， ∵MNBD，∴BDl， ∵，且BD⊂平面PBD，平面PBD， ∴l平面PBD． 17．（1）因为，，， 所以，  ， 又，所以，则，即． （2）因为，，所以， 因为，所以，即，． 又是第二象限角，所以，   因为，，所以， 所以． 18．（1）， 故的最小正周期为. （2）令得：， 所以的对称轴方程为. 令得：， 所以图像的对称中心坐标为. （3）当时，， 当时，即时，函数取得最小值0； 当时，即时，函数取得最大值． 故的值域为 19．（1）过点分别作，，分别交，于，，连接， 则为二面角的平面角， 因为四边形为正方形，， 所以，， 由已知得， 所以． （2）过点作，垂足为． 因为，平面，平面， 所以平面． 因为，， 所以． 因为， 所以平面． 因为平面， 所以． 因为，，平面， 所以平面， 所以为三棱锥的高，． 因为， 所以． （3）方法一： 假设存在点． ①当点在线段上时，连接交于， 则， 所以． 因为平面，平面， 平面平面， 所以， 所以． ②当点在延长线上时，连接交于， 则， 所以． 因为平面，平面， 平面平面， 所以， 所以． 综上，在直线上存在点，使平面，的值为或． 方法二： 当点在线段上时，过点作交于，连接，过点作交于点， 因为， 所以平面平面． 因为平面， 所以平面． 因为平面，平面平面， 所以． 因为，， 所以， 所以， 所以， 所以． 当点在线段延长线上时，过点作交于，连接，过点作交于点． 因为， 所以平面平面． 因为平面， 所以平面． 因为平面，平面平面， 所以． 因为，， 所以， 所以， 所以． 所以． 综上，在上存在点使得平面，此时或． 学科网（北京）股份有限公司 $