3.3圆的对称性（2）导学案 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“圆的对称性（2）”，核心知识点为垂径定理及应用。课堂导入通过复习轴对称图形，结合对折圆形纸片、画弦与直径垂直的操作探究，引导学生从轴对称过渡到圆的轴对称性，构建从旧知到新知的学习支架。 该导学案注重通过操作探究培养学生几何直观和空间观念，例题与习题设计层次分明，强化推理能力和模型意识，帮助学生用数学语言表达结论，提升解决实际问题的应用意识，适合自主学习与课堂教学结合。

3.3圆的对称性（2） 学习目标： 班级_______姓名_________ 1．经历探索圆的轴对称性及有关性质的过程． 2．掌握垂径定理． 3．会运用垂径定理解决有关问题． 学习重点：垂径定理及应用． 学习难点：垂径定理的应用． 学习过程： 一、复习回顾 什么是轴对称图形？ 二、新知探求 1．操作探究： （1）在圆形纸片上任意画一条直径，沿直径将圆形纸片对折．你发现了什么？通过这一操作，你能得到圆的什么性质？ （2）在圆形纸片上画一条弦 CD，再画直径 AB⊥CD，垂足为 P．将圆形纸片沿 AB 对折，你发现了什么？ 在整个操作过程中，有哪些相等的线段和相等的弧？你能说明理由吗？ （3）你能够分别用文字语言和符号语言把你在上述操作中得到的结论表达出来吗？ 练一练:1．下列图形中，哪些能使用垂径定理，为什么？ · A M D O B C 2. 如图，⊙O直径CD与弦AB（非直径）交于点M，添加一个条件：____________，就可得到点M是AB的中点． 三、例题讲解 例1、如图，以点 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点 C、D． （1）求证：AC=BD； （2）若大圆的半径为8，小圆的半径为6，且圆心O到直线AB的距离为4，求AC的长. 例2、如图，在⊙O中，点A在劣弧BC上，且OA⊥BC于D， （1）△ABC是什么三角形？为什么？ （2）若BC=8cm，AD=2cm，求⊙O的半径？ 例3、如图，在⊙O 中，弦AB的长为 8，圆心O到AB的距离为 3，点M是AB上的一动点，求OM的取值范围？ 例4、在半径为5的圆内有两条平行弦, 一条弦长8，另一条弦长6，求这两条弦间的距离. 4、 课堂小结：本节课你有什么收获？ 课后作业 1．AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过C作CD⊥AB于点D，延长CD至E，使DE＝CD，那么点E的位置（　　） A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．不能确定 2．下列命题中，正确的有（　　）个． ①平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ②经过圆心的直线平分弦； ③圆是轴对称图形，直径是圆的对称轴； ④垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； ⑤在同圆中，互相垂直的两条弦不能互相平分 A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，MN是⊙O的直径，弦AB⊥MN，垂足为C，则下列结论中错误的是（　　） A． B．AN＝BN C．AC＝CB D．OC＝CM 4．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM的长为________cm. 5．圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB＝　 　cm． 6．如图，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE＝8cm，CE＝2cm，则AB＝　 　cm． 7．在半径为2的圆中，垂直平分半径的弦的长为 ． 8．如图，P是⊙O的弦AB上的点，PA＝6，PB＝2，⊙O的半径为5，则OP＝　 　． 第3题 第6题 第8题 第9题 9. 如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心.若AB=1m，CD=2.5m，则拱门所在圆的半径为_________m. 10. 如图，CD是⊙O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB=12，BE=3，则四边形ACBD的面积为_________. 第10题 第11题 第13题 第15题 11. 如图，AB是⊙O的直径，AB=4，M是OA的中点，过点M 的直线与⊙O交于C，D两点. 若∠CMA=45°，则弦CD的长为 . 12. 已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为____________cm. 13. 如图，在⊙O中，AB=2AC，AD⊥OC于点D. 若AB=8，则AD的长为_________. 14. 已知⊙O的直径为20，弦AB的长为12，P是弦AB上一动点，则满足线段OP的长为整数的点 P有 处不同的位置. 15. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点C为圆心、AC为半径的⊙C与AB相交于点D. 若 AC=6，BC=8，则AD的长为________. 16. 如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，垂足为D，OD＝4，AD＝1，求BC和AB的长． 17. 如图，⊙O中，弦AB，CD相交于P，且四边形OEPF是正方形，连接OP．若⊙O的半径为5cm，OP=cm，求AB的长． 18. 如图，BC是⊙O的直径，弦AD⊥BC，垂足为H，已知AD＝8，OH＝3． （1）求⊙O的半径； （2）若E是弦AD上的一点，且∠EBA＝∠EAB，求线段BE的长． 19. 如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为24 m，拱顶高出水面8m（即CD=8m）， OC⊥AB. （1）求出该圆弧形拱桥所在圆的半径； （2）现有一艘宽10 m，船舱高出水面7.5 m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗? 学科网（北京）股份有限公司 $