3.1 圆（1）导学案 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学导学案围绕“圆（1）”展开，核心知识点为圆的描述定义与集合定义，以及点与圆的位置关系。课堂导入通过生活实例（如圆形物体、车轮设计）和动手操作（棉线画圆），引导学生从直观感知过渡到抽象概念，构建知识学习支架。 资料特色在于情境创设贴近现实，培养学生用数学眼光观察世界，探究过程注重动手实践与逻辑推理，发展几何直观和推理意识。例题与习题层次分明，结合数形结合思想，提升学生应用意识和运算能力，助力概念理解与实际问题解决。

3.1 圆（1） 学习目标： 班级________姓名________ 1．经历圆的概念的形成过程，理解圆的描述定义和圆的集合定义，并能应用圆的集合定义解决相关的问题． 2．理解点与圆的位置关系以及如何确定点与圆的3种位置关系． 3．经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系，逐步学会用运动的的观点及数形结合的思想去解决问题． 学习重点：探究点与圆的三种位置关系. 学习难点：用集合的观点描述圆的定义. 学习过程： 1、 情境创设 1. 生活中见过哪些圆形的东西? 2. 车轮为什么做成圆形？设计成三角形、四边形会怎么样? 2、 新知探求 探究一： 1. 你会画圆吗？不用圆规能画圆吗？你能用一段棉线画出一个圆吗？ 2. 你能用一段棉线画出一个圆吗？请你尝试操作一下。 3. 如果将这条线段一端记作点O，另一端记作点P，通过刚才的操作，你能描述圆是如何形成的吗？ 圆的描述定义： 在平面内把线段OP绕端点O旋转一周，另一端点P运动所形成的图形叫做_______. 其中，定点O叫做______；线段OP叫做________.以点O为圆心的圆，记作“_____”，读作______. 思考：①圆是一个面还是一条封闭曲线？ ②确定一个圆需要几个条件？ 两个要素是_______和________，圆心确定_______，半径确定_______. 探究二： 1. 圆周上的任意一点P与圆心O之间是否存在某种位置关系？你还有其他定义圆的方法吗？ 2. 圆可以看成什么的集合？ 3. 平面上的一个圆把平面分成了哪几个部分?在平面内，点与圆有哪几种位置关系？ 4. 画一个圆，分别在圆内、圆上、圆外各取一个点，并比较圆内的点、圆上的点、圆外的点到圆心的距离与半径的大小．你发现了什么？ 5. 圆内、圆外的点可以看成什么的集合？ 【归纳】 （1）圆上各点到圆心(定点)的距离都等于半径(定长)； 到圆心距离等于半径的点都在圆上. 即：圆是到_______距离___________的点的集合.(圆的集合定义） （2）圆内各点到圆心的距离都小于半径； 到圆心距离小于半径的点都在圆内. 即：圆的内部是到___________________的点的集合. （3）圆外各点到圆心的距离都大于半径； 到圆心距离大于半径的点都在圆外. 即：圆的外部是到___________________的点的集合. 如果⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么 点P在圆_____ d r； 点P在圆_____ d r； 点P在圆_____ d r． 3、 例题讲解 例1、（1）已知⊙O的半径为4cm，如果点P到圆心O的距离为4.5cm，那么点P与⊙O有怎样的位置关系？如果点P到圆心O的距离为4cm、3cm呢？ （2）如图已知矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，以点A为圆心，3cm为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？ （3）已知：⊙O的半径为r，OP=3 ①若点P在⊙O上，则r= ； ②若点P在⊙O内，请你写出r的取值范围 ； ③若点P在⊙O外，请你写出r的一个可能值 ． 例2、如图，已知点A、B，AB＝4cm. （1）画出下列图形：到点A的距离等于2cm的点的集合；到点B的距离等于3cm的点的集合． （2）在所画图中，到点A的距离等于2cm，且到点B的距离等于3cm的点有几个？请在图中将它们表示出来． （3）在所画图中，到点A的距离小于或等于2cm，且到点B的距离大于或等于3cm的点的集合是怎样的图形？把它表示出来． 例3、 如图，已知BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点 B、C、D、E在以点M为圆心的同一圆上． 四、课堂小结 1．说说你的收获；2．你还有什么问题？ 【当堂训练】 1． 已知⊙O的半径为3cm，A为线段OP的中点，当OP满足下列条件时，分别指出点A与⊙O的位置关系：（1）OP = 4cm； （2）OP = 6cm； （3）OP = 8cm． 2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC＝3，E、F分别是AB、AC的中点．以B为圆心，BC为半径画圆，试判断点A、C、E、F与⊙B的位置关系． 3．（1）矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点A、B、C、D是否在以点O为圆心的同一个圆上？为什么？ （2）如果E、F、G、H分别为OA、OB、OC、OD的中点，点E、F、G、H在同一个圆上吗？为什么？ 课后作业 1．在平面直角坐标系中，⊙O的半径是5，圆心O为坐标原点，则点P（﹣3，﹣4）与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O外 C．点P在⊙O内 D．无法确定 2．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4cm，D是AB的中点，以C为圆心，4cm长为半径作圆，则A，B，C，D四点中，在圆内的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．已知AB是经过圆心O的直线，P为⊙O上的任意一点，则点P关于直线AB的对称点P'与⊙O的位置关系是（　　） A．点P'在⊙O内 B．点P'在⊙O外 C．点P'在⊙O上 D．无法确定 4．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，以点C为圆心，r为半径画⊙C． （1）若A，B两点都不在⊙C内，则半径r的取值范围是 　 　； （2）若A，B两点都在⊙C内，则半径r的取值范围是 　 　； （3）若A，B两点中只有一个点在⊙C内，则半径r的取值范围是 　 　． 5．⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线l的距离d＝OD＝3cm，在直线l上有三点P、Q、R，若PD＝4cm，则P点在⊙O　 　；若QD＝2cm，则Q点在⊙O　 　；若R点不在⊙O内，则满足的条件为：　 　． 6. 已知菱形ABCD的对角线交点为O，AC=6，BD=8，以点A为圆心，r为半径画⊙A，对于B、C、D、O四个点而言： （1）若只有一个点在⊙A上，则r满足的条件是 . （2）若既有点在⊙A内又有点在⊙A外，则r满足的条件是 . （3）若⊙A内、⊙A外、⊙A上都有点，则r满足的条件是 . 7．如图，已知△ABC、△ABD、△ABE都是以AB为斜边的直角三角形，且AB＝4cm． （1）点A、B、C、D在同一个圆上吗？若在，请说出圆心和半径． （2）点A、D、E、B在同一个圆上吗？请证明你的结论． 8．如图，矩形纸片ABCD一边BC过圆心O，且AB＝4cm，BE＝3cm，AF＝5cm，求圆的半径． 学科网（北京）股份有限公司 $