第8章 第3节 圆的方程课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“圆的方程”专题，依据课标要求覆盖圆的定义、标准方程与一般方程、点与圆位置关系、轨迹问题及最值综合等核心考点，对接高考评价体系分析近五年真题中“求圆的方程”“与圆有关的最值”等高频题型权重，归纳直接法、待定系数法等解题策略，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题溯源+方法建模+素养提升”，如以课标例题及高考改编题为例，解析利用几何性质求最值（如圆上点到原点距离平方的最值）、轨迹问题中的代入法（如弦中点轨迹方程推导），培养数学思维与几何直观。设“易错警示”（如方程表示圆的充要条件）和“母题变式”，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此系统复习，提升备考效率。

第10章 直线与圆、圆锥曲线 第3节 圆的方程 2027届高考一轮复习 数学 1 【课标要求】 1.掌握圆的标准方程和一般方程，会用圆的方程及其几何性质解题. 2.能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，解决与圆有关的问题. 名师导学第一轮总复习 高三数学 2 【知识要点】 1.圆的定义及方程 定义 平面内与______的距离等于______的点的集合（轨迹） 标准方 程 _____________________________ 圆心：______， 半径：___ 一般方 程 圆心：， ， 半径： 定点 定长 名师导学第一轮总复习 高三数学 3 2.点与圆的位置关系 点与圆 的位置关系： （1）若 在圆外，则_________________________. （2）若 在圆上，则_________________________. （3）若 在圆内，则_________________________. 名师导学第一轮总复习 高三数学 4 3.常用结论 （1）圆心为<m></m>，半径为<m></m>的圆的参数方程为<m></m>其中<m></m> 为参数. （2）常见圆的方程的设法 标准方程的设法 一般方程的设法 圆心在原点 过原点 圆心在 轴上 圆心在 轴上 与 轴相切 与 轴相切 名师导学第一轮总复习 高三数学 5 【基础检测】 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(　　) (2)方程(x-a)2+(y-b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆.(　　) (3)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0，B=0，且D2+E2-4F>0.(　　) (4)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.(　　) (5)若点M(x0，y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外，则++Dx0+Ey0+F>0，若点M(x0，y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0内，则++Dx0+Ey0+F<0.(　　) √ × √ √ √ 名师导学第一轮总复习 高三数学 6 2.若坐标原点在圆(x-m)2+(y+m)2=4的内部，则实数m的取值范围为　　　 　.  (-) [解析] ∵原点(0，0)在圆(x-m)2+(y+m)2=4的内部， ∴(0-m)2+(0+m)2<4， 解得-<m<. 名师导学第一轮总复习 高三数学 7 3.[选择性必修1p88T1]已知圆C:x2+y2-4x+6y-3=0，则圆C的圆心坐标和半径分别为(　　) A.(-2，3)，16 B.(2，-3)，16 C.(-2，3)，4 D.(2，-3)，4 D [解析] 因为x2+y2-4x+6y-3=0等价于(x-2)2+(y+3)2=16. 故圆心为(2，-3)，半径为4. 名师导学第一轮总复习 高三数学 8 4.方程x2+y2-4kx-2y-k=0表示圆的充要条件是(　　) A.<k<1 B.k<或k>1 C.k∈R D.k=或k=1 C [解析] ∵(-4k)2+(-2)2-4(-k)=15k2+(k+2)2>0恒成立，∴k∈R. 名师导学第一轮总复习 高三数学 9 5.[选择性必修1p88T4]已知点A(-6，2)，B(2，-2)，则以线段AB为直径的圆的标准方程为　　 　　.  (x+2)2+y2=20 [解析] 法一:因为以线段AB为直径的圆，以线段AB的中点为圆心，以|AB|为半径. 所以所求圆的圆心坐标为(-2，0)，半径r===2. 所以所求圆的标准方程为(x+2)2+y2=20. 法二:因为以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 可直接得到所求圆的方程为(x+6)(x-2)+(y-2)(y+2)=0，化简得:(x+2)2+y2=20. 名师导学第一轮总复习 高三数学 10 考点1 求圆的方程 例1　(1)圆心为点O(0，0)，与直线x+y-4=0相切的圆的方程为(　　) A.x2+y2=2 B.x2+y2=4 C.x2+y2=8 D.x2+y2=16 C [解析] 由点到直线的距离公式得点O到直线x+y-4=0的距离为=2， 即所求圆的半径r=2，所以所求圆的方程为x2+y2=8. 故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 11 (2)圆(x-2)2+(y-1)2=3关于直线3x+5y+6=0对称的圆的方程为(　　) A.(x+2)2+(y+3)2=3 B.(x-1)2+y2=3 C.(x+1)2+(y+4)2=3 D.(x+3)2+y2=3 C [解析] 设对称圆的圆心为(a，b)，则依题意得 解得所以所求的圆的方程为(x+1)2+(y+4)2=3.故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 12 (3)过点A(2，-2)，B(-2，2)，C(8，0)的圆的标准方程为　　　　　　　　　.  (x-3)2+=28 [解析] 设经过点A，B，C的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)， 所以解得 即x2+y2-6x-2y-16=0， 可得(x-3)2+=28. 名师导学第一轮总复习 高三数学 13 [小结](1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程. (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值; ②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值. 名师导学第一轮总复习 高三数学 14 1.已知圆C的圆心在x轴上，半径为2，且与直线x-y+2=0相切，则圆C的方程为　　 　　　.  [解析] 设圆心坐标(a，0)，由题意知圆C的方程为(x-a)2+y2=4， 因为圆与直线x-y+2=0相切，所以=2，解得a=2或a=-6. 所以圆C的方程为(x-2)2+y2=4或(x+6)2+y2=4. (x-2)2+y2=4或(x+6)2+y2=4 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 15 2.在平面直角坐标系中，过A(-2，4)，B(2，6)，C(-1，-3)，G(2，-4)四点的圆的方程为　 　　　.  x2+y2-4x-2y-20=0 [解析] 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将点A，C，G的坐标分别代入可得， 解得则圆的方程为x2+y2-4x-2y-20=0. 名师导学第一轮总复习 高三数学 3.过直线2x+y+4=0和圆(x+1)2+(y-2)2=4的交点，且面积最小的圆的方程为　　 　　　　　.  x2+y2+x-y+=0 [解析] 解法一:联立得或 ∴直线与圆的交点为A，B(-3，2). ∴过交点A，B且面积最小的圆，即是以AB为直径的圆， 则(x+3)+(y-2)=0， 即x2+y2+x-y+=0. 名师导学第一轮总复习 高三数学 17 解法二:设所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2-4+k(2x+y+4)=0， 即x2+y2+2(k+1)x+(k-4)y+1+4k=0， 化为圆的标准方程得[x+(k+1)]2+=(k+1)2+(k-4)2-(4k+1)， 由(k+1)2+(k-4)2-(1+4k)>0，得5k2-16k+16>0， 此时，所求圆的半径r==. 显然，当k=-，即k=时，5k2-16k+16有最小值， 此时，圆的半径最小，从而面积最小.故所求的圆的方程为x2+y2+x-y+=0. 名师导学第一轮总复习 高三数学 18 考点2 与圆有关的轨迹问题 例2　由A(4，0)引圆x2+y2=4的割线ABC，则弦BC的中点P的轨迹方程为　　　　　　　 .  (x-2)2+y2=4(x<1) [解析] 设P(x，y)，则OP⊥BC， 当x≠0时，有kOP·kAP=-1，即·=-1，整理得(x-2)2+y2=4①， 当x=0时，此时割线ABC的中点为原点，代入①式，也成立， 故弦BC的中点P的轨迹方程为(x-2)2+y2=4(在圆x2+y2=4内部分)， 联立解得x<1，故轨迹方程为(x-2)2+y2=4(x<1) 名师导学第一轮总复习 高三数学 [小结]求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法: (1)直接法,直接根据题目提供的条件列出方程; (2)定义法,根据圆、直线等定义列方程; (3)几何法,利用圆的几何性质列方程; (4)代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式. 名师导学第一轮总复习 高三数学 20 4.已知点A(2，0)，点B(1，1)是圆x2+y2=4内一点，P，Q为圆上的动点. (1)求线段AP的中点M的轨迹方程; (2)若∠PBQ=90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 21 (1)求线段AP的中点M的轨迹方程; [解析] (1)设AP的中点为M(x，y)， 由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x-2，2y)， ∵P点在圆x2+y2=4上，∴(2x-2)2+(2y)2=4. 故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1. 名师导学第一轮总复习 高三数学 (2)若∠PBQ=90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程. [解析](2)设PQ的中点为N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|， 设O为坐标原点，则ON⊥PQ， 所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2， 所以4=x2+y2+(x-1)2+(y-1)2. 故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0. 名师导学第一轮总复习 高三数学 考点3 与圆有关的综合问题 角度1.借助几何性质求最值 例3　已知点(x，y)在圆(x-2)2+(y+3)2=1上.求x2+y2的最大值和最小值. [解析] x2+y2可视为圆上的点到原点的距离的平方， ∴(x2+y2)max=(+1)2=14+2， (x2+y2)min=(-1)2=14-2. 名师导学第一轮总复习 高三数学 24 角度2.构建目标函数求最值 例4　设点P(x，y)是圆x2+(y-3)2=1上的动点，定点A(2，0)，B(-2，0)，则·的最大值为　　　　.  12 [解析] 由题意，得=(2-x，-y)，=(-2-x，-y)， 所以·=x2+y2-4， 由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2+(y-3)2=1， 故x2=-(y-3)2+1， 所以·=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12. 易知2≤y≤4，所以当y=4时，·的值最大，最大值为6×4-12=12. 名师导学第一轮总复习 高三数学 25 延伸探究　若将本例改为“设点P(x，y)是圆(x-3)2+y2=4上的动点，定点A(0，2)，B(0，-2)”，则|+|的最大值为　　　　.  10 [解析] 由题意，知=(-x，2-y)，=(-x，-2-y)， 所以+=(-2x，-2y)， 由于点P(x，y)是圆上的点， 故其坐标满足方程(x-3)2+y2=4，故y2=-(x-3)2+4， 所以|+|==2. 由圆的方程(x-3)2+y2=4，易知1≤x≤5， 所以当x=5时，|+|的值最大，最大值为2×=10. 名师导学第一轮总复习 高三数学 角度3.利用对称性求最值(范围) 例5　已知点M(2，0)，直线l:2ax-(a+1)y+4=0(a∈R)，点M关于直线l的对称点为N，O为坐标原点，则·的取值范围是　　　　.  [-4，12] [解析] 由l:2ax-(a+1)y+4=0，得l:a(2x-y)-y+4=0，可知直线l过点A(2，4)， 由M(2，0)，得=(2，0)，因为点M关于直线l的对称点为N， 所以直线l为线段MN的垂直平分线，由直线l为过点A(2，4)的 直线，所以|AM|=|AN|==4， 所以点M和点N在以点A(2，4)为圆心，4为半径的圆上， 名师导学第一轮总复习 高三数学 27 由图可知当点N在N1(-2，4)时，·取最小值， 且·=(2，0)·(-2，4)=2×(-2)+0×4=-4， 当点N在N2(6，4)时，·取最大值， 且·=(2，0)·(6，4)=2×6+0×4=12， ∴·的取值范围为[-4，12]. 名师导学第一轮总复习 高三数学 28 [小结]1.与圆的几何性质有关的最值 (1)记O为圆心,圆外一点A到圆上距离的最小为|AO|-r,最大为|AO|+r; (2)过圆内一点的弦最长的为圆的直径,最短的为以该点为中点的弦; (3)记圆心到直线的距离为d,直线与圆相离,则圆上点到直线的最大距离为d+r,最小距离为d-r; (4)过两定点的所有圆中,面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆. 2.与圆的代数结构有关的最值 (1)形如μ=形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题; (2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题; 名师导学第一轮总复习 高三数学 (3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. 3.建立函数关系式求最值:列出关于所求目标式子的函数关系式,然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值. 4.求解形如|PM|+|PN|(其中M,N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路:①“动化定”,把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离;②“曲化直”,即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决. 名师导学第一轮总复习 高三数学 30 5.点M为圆C:(x+2)2+(y+1)2=4上任意一点，直线(3λ+1)x+(2λ+1)y=5λ+2过定点P，则|MP|的最大值为(　　) A. B.+2 C.2 D.2+2 B [解析] (3λ+1)x+(2λ+1)y=5λ+2整理为:(3x+2y-5)λ+x+y-2=0， 令解得所以定点P坐标为P(1，1)， 代入圆C的方程中，(1+2)2+(1+1)2>4，所以P(1，1)在圆外， 因为点M为圆C:(x+2)2+(y+1)2=4上任意一点，又圆C的半径为r=2， 所以|MP|的最大值应该为|PC|+r， 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 31 由两点间距离公式:|PC|==， 所以|MP|的最大值为+2. 故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 32 6.已知点M是圆x2+y2=1上一点，点N是圆C:(x-3)2+y2=3上一点，则∠CMN的最大值为(　　) A. B. C. D. B [解析] 圆x2+y2=1的圆心O，半径r1=1， 圆C:(x-3)2+y2=3的圆心C(3，0)，半径r2=， 在△CMN中，|CN|=， 根据正弦定理可得，=， 即=，所以sin ∠CMN=， 名师导学第一轮总复习 高三数学 33 因为|CM|≥-r1=3-1=2，sin ∠CNM≤1， 所以sin ∠CMN≤，当且仅当CM=2，∠CNM=时取等， 因为|CN|<|CM|，所以∠CMN是锐角，所以∠CMN的最大值为. 名师导学第一轮总复习 高三数学 34 $