8.3　圆的方程 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“圆的方程”专题，依据课标要求梳理了圆的定义、标准方程、一般方程及点与圆的位置关系等核心考点，通过近五年高考真题分析明确求圆的方程、轨迹问题、最值问题三大高频考点，构建了“定义理解-方程转化-几何应用”的完整复习体系。 课件亮点在于“真题溯源+多法突破+素养提升”，如以2023全国乙卷x-y最大值问题为例，通过几何法、参数方程法培养学生数学思维，结合“斜率型、截距型、距离型”最值转化策略提升解题效率。教师可依托分层训练精准把握学情，助力学生掌握高考答题技巧，实现高效冲刺。

第3节　圆的方程 高考总复习 2027 课标解读　回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般方程. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教A版选择性必修第一册2.4.2节练习第1题改编)已知圆x2+y2-4x+2y-4=0,则圆心坐标、圆的半径分别是(　　) A.(2,-1),3 B.(-2,1),3 C.(-2,-1),3 D.(2,-1),9 A 解析 x2+y2-4x+2y-4=0变形为(x-2)2+(y+1)2=9,故圆心为(2,-1),半径为3. 2.(人教B版选择性必修第一册练习A第3题改编)点P(a,10)与圆 (x-1)2+(y-1)2=2的位置关系是(　　) A.点在圆外 B.点在圆上 C.点在圆内 D.与a的值有关 A 解析 圆(x-1)2+(y-1)2=2的圆心C(1,1),半径r=,因为|PC|=,所以点P(a,10)在圆外. 3.(人教A版选择性必修第一册习题2.4第2(1)题改编)圆心为点C(8,-3),且过点A(5,1)的圆的标准方程是　　　　　　　　　　.  (x-8)2+(y+3)2=25 解析 圆的半径r=|CA|==5, 所以圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25. 知识梳理 1.圆的定义与方程 定长 　(a,b) (-,-) 微点拨 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,当D2+E2-4F>0时,表示圆心为(-);当D2+E2-4F<0时,不表示任何图形. 2.点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圆心C的坐标为(a,b),半径为r,设M的坐标为(x0,y0). (x0-a)2+(y0-b)2>r2 (x0-a)2+(y0-b)2<r2 研考点•精准突破 考点一　求圆的方程 例1　已知圆C的圆心在直线x+y=0上,圆C与直线x-y=0相切,且被直线 x-y-3=0截得的弦长为,则圆C的方程为　　　　　　　.  (x-1)2+(y+1)2=2 解析 (方法1　几何法)∵所求圆的圆心在直线x+y=0上, ∴设所求圆的圆心为(a,-a). 又所求圆与直线x-y=0相切,∴半径r=|a|. 又所求圆被直线x-y-3=0截得的弦长为,圆心(a,-a)到直线x-y-3=0的距离d=,∴d2+()2=r2,即=2a2,解得a=1. ∴圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (方法2　待定系数法)设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),则圆心(a,b)到直线x-y-3=0的距离d=, ∴r2=,即2r2=(a-b-3)2+3.① 由于所求圆与直线x-y=0相切, ∴(a-b)2=2r2.② 又圆心在直线x+y=0上,∴a+b=0.③ 联立①②③,解得故圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (方法3　待定系数法)设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(>0),则圆心为(-,-),半径r=. ∵圆心在直线x+y=0上, ∴-=0,即D+E=0.① 又圆C与直线x-y=0相切, ∴, 即(D-E)2=2(D2+E2-4F), ∴D2+E2+2DE-8F=0.② 考点一 考点二 考点三 思维进阶 又知圆心(-,-)到直线x-y-3=0的距离d=,由已知得d2+()2=r2, ∴(D-E+6)2+12=2(D2+E2-4F).③ 联立①②③,解得故圆C的方程为x2+y2-2x+2y=0, 即(x-1)2+(y+1)2=2. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 规律方法　求圆的方程的两种方法 考点一 考点二 考点三 思维进阶 [对点训练1](2022·全国甲,文14)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为　 .  (x-1)2+(y+1)2=5 解析 (方法1)设A(3,0),B(0,1),则线段AB的垂直平分线方程为y-=3(x-),即y=3x-4. 由解得即圆心M的坐标为(1,-1). 设☉M的半径为r,则r2=(3-1)2+12=5.故所求☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. (方法2)设圆心M(a,1-2a),☉M的半径为r,则r2=(a-3)2+(1-2a)2=(a-0)2+ (1-2a-1)2,整理可得-10a+10=0,即a=1.则圆心M(1,-1),故所求☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 考点二　与圆有关的轨迹问题 例2　已知Rt△ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求: (1)直角顶点C的轨迹方程; (2)直角边BC的中点M的轨迹方程. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解 (1)(方法1)设C(x,y).因为A,B,C三点不共线,所以y≠0. 因为AC⊥BC,且BC,AC斜率均存在,所以kAC·kBC=-1, 即=-1, 化简得x2+y2-2x-3=0. 因此,直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0). (方法2)设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0).由直角三角形的性质,知|CD|=|AB|=2. 由圆的定义,知动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点), 所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0). 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)设M(x,y),C(x0,y0). 因为M是线段BC的中点,由中点坐标公式得x=,y=, 所以x0=2x-3,y0=2y. 则(x0-1)2+=4(y0≠0),将x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4, 即(x-2)2+y2=1. 因此中点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y≠0). 考点一 考点二 考点三 思维进阶 规律方法　求与圆有关的轨迹问题的常用方法 考点一 考点二 考点三 思维进阶 [对点训练2](1)若△PAB是圆C:(x-2)2+(y-2)2=4的内接三角形,且|PA|=|PB|, ∠APB=120°,则AB的中点D的轨迹方程为(　　) A.x2+y2=1 B.(x-2)2+(y-2)2=2 C.(x-2)2+(y-2)2=3 D.(x-2)2+(y-2)2=1 D 解析 由题意,|PA|=|PB|,∠APB=120°,∴∠ACB=120°. ∵|CB|=2,∴|CD|=1, ∴线段AB的中点的轨迹是以C为圆心,1为半径的圆, ∴线段AB的中点的轨迹方程是(x-2)2+(y-2)2=1.故选D. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)已知圆C:x2+y2+6x-4y+9=0,A是圆C上一动点,点B(3,0),M为线段AB的中点,则动点M的轨迹方程为(　　) A.x2+(y-1)2=4 B.x2+(y-2)2=1 C.x2+(y-1)2=1 D.(x-1)2+y2=1 C 解析 设M(x,y),∵M为线段AB的中点,B(3,0),∴A(2x-3,2y),而A是圆C上一动点,故(2x-3)2+4y2+6(2x-3)-8y+9=0,整理得x2+y2-2y=0,即x2+(y-1)2=1,故动点M的轨迹方程为x2+(y-1)2=1.故选C. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (3)已知A(-3,0),B(3,0),动点C(x,y)满足|CA|=2|CB|,则点C的轨迹方程为　　　　　　　　　　.  (x-5)2+y2=16 解析 |CA|=,|CB|=,由题意得=2,所以(x+3)2+y2=4[(x-3)2+y2],整理可得x2+y2-10x+9=0,即(x-5)2+y2=16. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 考点三　与圆有关的最值问题 例3　已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求: (1)的最大值和最小值; (2)y-x的最大值和最小值; (3)x2+y2的最大值和最小值. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解 原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,为半径的圆. (1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,易知斜率存在,所以设=k,即y=kx. 如图,当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值. 此时,解得k=±. 所以的最大值为,最小值为-. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距.如图所示, 当直线y=x+b与圆相切时,直线在y轴上的截距b取得最大值或最小值,此时,解得b=-2±,所以y-x的最大值为-2+,最小值为-2-. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (3)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方. 由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值. 又圆心到原点的距离为2,所以x2+y2的最大值是(2+)2=7+4,x2+y2的最小值是(2-)2=7-4. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 规律方法　与圆有关的最值问题的三种几何转化法 考点一 考点二 考点三 思维进阶 [对点训练3](1)(2023·全国乙,文11)已知x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是(　　) A.1+ B.4 C.1+3 D.7 C 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解析 (方法1)由x2+y2-4x-2y-4=0,得(x-2)2+(y-1)2=9,该方程表示圆心为(2,1),半径为3的圆.设x-y=u,则x-y-u=0,且由题意知直线x-y-u=0与圆(x-2)2+(y-1)2 =9有公共点,则≤3,解得1-3≤u≤1+3,所以x-y的最大值为1+3. (方法2)由x2+y2-4x-2y-4=0,整理得(x-2)2+(y-1)2=9,令x=3cos θ+2, y=3sin θ+1,其中θ∈[0,2π],则x-y=3cos θ-3sin θ+1=3cos(θ+)+1. 因为θ∈[0,2π],所以θ+∈[],则当θ+=2π,即θ=时,x-y取得最大值3+1. (方法3)令x-y=k,则x=k+y,代入原式化简得2y2+(2k-6)y+k2-4k-4=0,因为存在实数y,所以Δ≥0,即(2k-6)2-4×2(k2-4k-4)≥0,化简得k2-2k-17≤0,解得 1-3≤k≤1+3,故x-y的最大值是3+1. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)在平面直角坐标系中,已知(x1-2)2+=5,x2-2y2+4=0,则(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为(　　) A. B. C. D. B 解析 由已知得点(x1,y1)在圆(x-2)2+y2=5上,点(x2,y2)在直线x-2y+4=0上,故(x1-x2)2+(y1-y2)2表示圆(x-2)2+y2=5上的点到直线x-2y+4=0上点的距离的平方,而距离的最小值为,故(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 思维进阶(十)　圆的参数方程 圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,令x-a=rcos θ, y-b=rsin θ,可得圆的参数方程为(θ为参数). 考点一 考点二 考点三 思维进阶 典例(1)圆的参数方程为(θ为参数,0≤θ<2π),若Q(-2,2)是圆上一点,则对应的参数θ的值是(　　) A. B. C. D. B 解析 因为Q(-2,2)是圆上一点,所以 因为0≤θ<2π,所以θ=.故选B. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)设P(x,y)为圆x2+(y-1)2=4上的动点,则2x+y的最大值为　　　　.  2+1 解析 设(α为参数),则2x+y=4cos α+2sin α+1 =2sin(α+φ)+1,tan φ=2,所以当sin(α+φ)=1时,函数取最大值2+1. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 [对点训练](1)已知圆的参数方程为(θ为参数),则此圆的半径是　　　　.  2 解析 由得(x-6)2+y2=22,所以此圆的圆心为(6,0),半径为2. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)在平面直角坐标系中,曲线C的参数方程为(φ为参数, 0≤φ≤π). ①求曲线C的标准方程; ②直线y=kx+1与曲线C只有一个公共点,求实数k的取值范围. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解 ①由题意,(x-1)2+y2=cos2φ+sin2φ=1,即(x-1)2+y2=1. 又0≤φ≤π,所以y∈[0,1]. 所以曲线C的标准方程为(x-1)2+y2=1(y∈[0,1]). ②直线y=kx+1必过点(0,1). 当直线y=kx+1与曲线C相切时,=1,所以k=0; 当直线y=kx+1与曲线C相交时,如图所示. 由图象可知,k<=-. 综上,实数k的取值范围为(-∞,-)∪{0}. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 $