2.4 用一元二次方程解决问题（1）导学案 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“用一元二次方程解决问题”，核心知识点为图形面积和增长率问题。课堂通过“铁丝围矩形”“利润增长”等活动导入，衔接一元二次方程解法，搭建从实际问题到方程模型的学习支架。 导学案以真实情境驱动学习，活动设计引导学生用数学眼光抽象数量关系，例题与训练题培养运算能力和推理意识，通过模型构建发展数学语言表达能力，习题覆盖多领域且层次分明，助力提升应用与解决问题能力。

2.4 用一元二次方程解决问题（1） 学习目标： 班级________姓名__________ 1. 经历和体验用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步体会一元二次方程是刻画现实世界 数量关系的有效模型； 2. 会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，培养学生的数学应用能力； 能检验所得的问题的结果是否符合实际意义，提高学生逻辑思维能力、分析和解决问题的能力． 学习重点：学会列方程的方法解决有关图形面积问题和增长率问题。 学习难点：根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程． 学习过程： 1、 新知探求 活动一：问题：用一根长22cm的铁丝： （1） 能否围成面积是30cm2的矩形？ （2）能否围成面积是32cm2的矩形？ （3）能否围成面积最大的矩形？为什么？ 小结：列一元二次方程解应用题的一般步骤是： 活动二：问题：某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，平均每月利润增长的百分率是多少？ 2、 例题讲解 例1、如图，某农场建一个矩形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长15m)，另三边用40m长的木栏围成． （1）按原设计，鸡场面积须128m2，问该鸡场的长、宽各为多少米？ （2）为了在现有条件下扩大养殖规模，改变鸡场的长和宽，能使鸡场的面积达到210m2吗？若能，请求出此时鸡场的长和宽；若不能，请说明理由． 例2、某学校开始有一名同学患了流感，经过两轮传染后共有121名同学患了流感，每轮传染中平均一名同学传染了几名学生？ 例3、随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2008年底全市汽车拥有量为15万辆，而截止到2010年底，全市的汽车拥有量已达21.6万辆． （1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率； （2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，从2011年初起，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过23.196万辆；另据估计，该市从2011年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%．假定在这种情况下每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数多不能超过多少万辆． 三、课堂小结：本节课你有什么收获？ 【当堂训练】 1. 从正方形铁片上截去一个2cm宽的矩形铁片（长为正方形的边长），若剩余矩形的铁片的面积是48cm2，则原来正方形的面积是__________cm2 2. 某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是__________________________. 3. 已知一个多边形有9条对角线，则这个多边形的内角和是__________° 4. 有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，如果把它的个位上的数字与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积等于1008，求调换位置后得到的两位数. 课后作业 1. 眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x，则可列方程为_____________________. 2. 如图，公园有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域(涂色部分)栽种鲜花，原空地一边减 少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m²，求原正方形空地的边长.设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为__________________. 第2题 第3题 第4题 第8题 3. 如图，王师傅在一块正方形钢板上截取了4cm宽的矩形钢板，剩下的阴影部分的面积是96 cm²，则原来这块正方形钢板的边长是 cm. 4. 如图，某小区要在长为16m、宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路的宽度为 m. 5. 一根长64cm的铁丝被剪成两段，每段均围成正方形.若两个正方形的面积和为160 cm²，则这两个正方形的边长分别为______________. 6. 如果两个连续偶数的积为288，那么这两个数的和为________. 7. 一件产品原来每件的成本是100元，由于连续两次降低成本，现在每件的成本是81元，则平均每次成本降价的百分率是__________. 8. 如图是一张长12 cm，宽10 cm 的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm²的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为____cm. 9. 某次商品交易会上，所有参加会议的任意两个商家之间都签订了一份合同，共签订合同45份，那么共有 个商家参加了交易会. 10. 某公司某年1月的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下 降，3月的生产成本是361万元.假设该公司1～4月生产成本的月下降率都相同. （1）求生产成本的月下降率； （2）该公司4月的生产成本为 万元. 11. 如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距(纸张的边线到打印区域的距离)，上、下、左、右页边距分别为a cm、b cm、c cm、d cm. 若纸张大小为16cm×10cm，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张面积的70%，则需如何设置页边距？ 12. 某市从2022年起连续投入资金用于“建设美丽城市，改造老旧小区”，让小区“旧貌”换“新颜”. 已知每年投入资金的增长率相同，其中2022年投入资金1000万元，2024年投入资金1440万元. （1）求该市改造小区投入资金的年平均增长率； （2）2024年小区改造的平均费用为每个80万元，如果投入资金年增长率保持不变，求该市2025年最多可以改造多少个小区? 13. 如图，用77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米. （1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边AB的长； （2）请问羊圈的总面积能为440平方米吗?若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $