2.2.1 一元二次方程的解法 ——配方法（二次项系数为 1）暑期预习导学案（附同步作业）-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

2.2.1 一元二次方程的解法 ——配方法（二次项系数为 1） 【学习目标】 1、熟记完全平方式的结构特征，掌握二次项系数为 1 的代数式配方规律；熟练运用配方法解形如的一元二次方程；能判断配方之后方程有无实数根。 2、经历 “构造完全平方式→转化成直接开平方形式→降次解方程” 的探究过程，领会转化这一核心数学思想，规范完整的解题书写步骤。 3、培养代数变形能力、严谨的逻辑推理意识，形成程序化的解题思维。 【学习重点】 掌握配方的规律，能用配方法正确求解二次项系数为 1 的一元二次方程。 【学习难点】 理解等式两边同时加常数的依据；准确把普通一元二次方程转化为的标准形式。 【课前温故・知识链接】 1、直接开平方法适用方程形式：，当时可以开平方求解；，方程无实数根。 2、完全平方公式： 3、思考：再加上多少，可以凑成一个完整的完全平方式？ 一、情境导入（教材实景问题） 小区规划一块正方形绿化带，如果边长增加 3m，面积增加 27。设原边长为米，列出方程： ，化简得到：。 观察这个方程：无法直接开平方，也不能因式分解。 设问：能不能人为变形，把左边拼凑成完全平方的样式，再用开平方求解？ 引出本节课方法：配方法。 二、合作探究一：探究配方的规律 探究活动 1：填空补全完全平方式 （1） （2） （3） （4） 小组归纳规律： 当二次项系数为 1 时，配方添加的常数项 = 一次项系数一半的平方。 公式总结： 探究活动 2：解方程 思考操作步骤： 1. 移项：把常数项移到等式右侧： 2. 配方：等式两边同时加上（一次项系数一半的平方） 3. 变形为完全平方： 4. 开平方求解： 解得 ✅ 配方法定义： 把一元二次方程变形为（为常数）的形式，若，利用平方根的意义开方求解，这种解法叫做配方法。 配方法四步口诀（二次项系数为 1） 一移（常数右移）、二配（两边同加一半平方）、三成方（写成完全平方）、四开方求值。 易错警示（高频错题） 1. 只在方程左边加常数，右侧忘记同步相加，破坏等式性质； 2. 配方时搞错符号，一次项是负数，括号内部符号也要对应为负； 3. 开平方漏掉正负号，只求出一个根。 三、典例精讲（标准答题格式，学生可直接仿写） 例 1：用配方法解方程 解： 移项，得： 两边同时加上： 整理得： 两边开平方： 当时，； 当时，。 例 2：解方程 解：移项： 配方：，即 ∵ 任何实数的平方不可能为负数，∴ 此方程无实数根。 例 3：先整理再配方： 解：先展开化简：，即 配方得：，求出两个实数根。 四、分层课堂当堂检测 【基础过关题（全员必做）】 1. 配方填空： 2. 用配方法解方程： 3. 判断：方程有无实数根？说明理由。 【能力提升题（拔高选做）】 1. 用配方法解方程： 2. 代数式，通过配方求它的最小值。 参考答案 探究填空答案 (1) 9，3 (2) 16，4 (3) (4) 当堂检测答案 基础 1：25，5 基础 2：移项，配方， 基础 3：配方，无实数根。 提升 1： 提升 2：原式，最小值为 3。 同步作业 一．选择题（共10小题） 1．用配方法解方程x2+6x﹣2＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x+3）2＝11 B．（x+3）2＝7 C．（x+3）2＝5 D．（x+6）2＝2 2．用配方法解方程x2+10x+9＝0，变形后的结果正确的是（　　） A．（x+5）2＝16 B．（x+5）2＝25 C．（x+5）2＝﹣9 D．（x+5）2＝﹣16 3．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（　　） A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69 4．若方程x2﹣8x+m＝0可以通过配方写成（x﹣n）2＝6的形式，那么x2+8x+m＝5可以配成（　　） A．（x﹣n+5）2＝1 B．（x+n）2＝1 C．（x﹣n+5）2＝11 D．（x+n）2＝11 5．一元二次方程式x2﹣8x＝48可表示成（x﹣a）2＝48+b的形式，其中a、b为整数，求a+b之值为何（　　） A．20 B．12 C．﹣12 D．﹣20 6．若一元二次方程式4x2+12x﹣1147＝0的两根为a、b，且a＞b，则3a+b之值为何？（　　） A．22 B．28 C．34 D．40 7．将代数式x2﹣10x+5配方后，发现它的最小值为（　　） A．﹣30 B．﹣20 C．﹣5 D．0 8．《代数学》中记载，形如x2+10x＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（　　） A．6 B．33 C．32 D．3 9．用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2024＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣1 D．1 10．设a、b是两个整数，若定义一种运算“△”，a△b＝a2+b2+ab，则方程（x+2）△x＝1的实数根是（　　） A．x1＝x2＝1 B．x1＝0，x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣2 二．填空题（共5小题） 11．用配方法将方程x2+6x﹣5＝0化成（x+3）2＝n的形式，则n的值为　 　 ． 12．将一元二次方程x2﹣3x+1＝0变形为（x+h）2＝k的形式为　 　 ． 13．用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0配方后得到方程　 　 ． 14．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3．若将实数（x，﹣2x）放入其中，得到﹣1，则x＝　 　 ． 15．一元二次方程x2﹣4x+4＝0的解是　 　 ． 三．解答题（共3小题） 16．用配方法解下列方程 （1）3x2﹣4x﹣2＝0； （2）6x2﹣2x﹣1＝0； （3）2x2+1＝3x； （4）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5． 17．小明在解方程x2﹣2x﹣1＝0时出现了错误，其解答过程如下： x2﹣2x＝﹣1　　　　　　　　　　　　（第一步） x2﹣2x+1＝﹣1+1　　　　　　　　　（第二步） （x﹣1）2＝0　　　　　　　　　　　（第三步） x1＝x2＝1　　　　　　　　　　　 （第四步） （1）小明解答过程是从第 　 　 步开始出错的，其错误原因是 　 　 ； （2）请写出此题正确的解答过程． 18．观察下列方程及其解的特征： （1）x2的解为x1＝x2＝1； （2）x的解为x1＝2，x2； （3）x的解为x1＝3，x2； … 解答下列问题： （1）请猜想：方程x的解为　 　 ； （2）请猜想：关于x的方程x　 　 的解为x1＝a，x2（a≠0）； （3）下面以解方程x为例，验证（1）中猜想结论的正确性． 解：原方程可化为5x2﹣26x＝﹣5． （下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：x2+6x﹣2＝0， 整理得：x2+6x＝2， 配方得：x2+6x+9＝2+9， 即（x+3）2＝11， 故选：A． 2．【解答】解：原方程移项得：x2+10x＝﹣9， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方52＝25，得： x2+10x+25＝﹣9+25， 整理得：（x+5）2＝16． 故选：A． 3．【解答】解：∵x2﹣8x﹣5＝0， ∴x2﹣8x＝5， 则x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21， ∴a＝﹣4，b＝21， 故选：A． 4．【解答】解：∵x2﹣8x+m＝0， ∴x2﹣8x＝﹣m， ∴x2﹣8x+16＝﹣m+16， ∴（x﹣4）2＝﹣m+16， 依题意有n＝4，﹣m+16＝6， ∴n＝4，m＝10， ∴x2+8x+m＝5是x2+8x+5＝0， ∴x2+8x+16＝﹣5+16， ∴（x+4）2＝11， 即（x+n）2＝11． 故选：D． 5．【解答】解：x2﹣8x＝48， x2﹣8x+16＝48+16， （x﹣4）2＝48+16， a＝4，b＝16， a+b＝20． 故选：A． 6．【解答】解：4x2+12x﹣1147＝0， 移项得：4x2+12x＝1147， 4x2+12x+9＝1147+9， 即（2x+3）2＝1156， 2x+3＝34，2x+3＝﹣34， 解得：x，x， ∵一元二次方程式4x2+12x﹣1147＝0的两根为a、b，且a＞b， ∴a，b， ∴3a+b＝3（）＝28， 故选：B． 7．【解答】解：x2﹣10x+5＝x2﹣10x+25﹣20＝（x﹣5）2﹣20， 当x＝5时，代数式的最小值为﹣20， 故选：B． 8．【解答】解：x2+6x+m＝0， x2+6x＝﹣m， ∵阴影部分的面积为36， ∴x2+6x＝36， 设4a＝6， 则a， 同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为36+（）2×4＝36+9＝45，则该方程的正数解为3＝33． 故选：B． 9．【解答】解：原方程移项得：x2﹣2x＝2024， ∴（x﹣1）2＝2025， ∴a＝﹣1，b＝2025， ∴ab＝（﹣1）2025＝﹣1； 故选：C． 10．【解答】解：∵a△b＝a2+b2+ab， ∴（x+2）△x＝（x+2）2+x2+x（x+2）＝1， 整理得：x2+2x+1＝0，即（x+1）2＝0， 解得：x1＝x2＝﹣1． 故选：C． 二．填空题（共5小题） 11．【解答】解：x2+6x﹣5＝0， 移项得：x2+6x＝5， 配方得：x2+6x+9＝5+9， 即（x+3）2＝14， 故答案为：14． 12．【解答】解：x2﹣3x+1＝0， x2﹣3x＝﹣1， x2﹣3x+（）2＝﹣1+（）2， （x）2， 故答案为：（x）2． 13．【解答】解：把方程x2﹣4x﹣1＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x＝1 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4＝1+4 配方得（x﹣2）2＝5． 14．【解答】解：根据题意得x2﹣2•（﹣2x）+3＝﹣1， 整理得x2+4x+4＝0， （x+2）2＝0， 所以x1＝x2＝﹣2． 故答案为﹣2． 15．【解答】解：x2﹣4x+4＝0， （x﹣2）2＝0， x﹣2＝0， x＝2， 即x1＝x2＝2， 故答案为：x1＝x2＝2． 三．解答题（共3小题） 16．【解答】解：（1）原方程可化为x2x， ∴x2x，即（x）2， ∴x±， ∴x1，x2； （2）原方程可化为x2x， ∴x2x，即（x）2， ∴x±， ∴x1，x2； （3）原方程可化为x2x， ∴x2x，即（x）2， ∴x±， ∴x1＝1，x2； （4）原方程可化为x2x＝﹣1， ∴x2x，即（x）2， ∴x±， ∴x1＝2，x2． 17．【解答】解：（1）小明解答过程是从第一步开始出错的，因为把方程两边都加上1时，方程右边为1． 故答案为一；不符合等式性质1； （2）x2﹣2x＝1， x2﹣2x+1＝2， （x﹣1）2＝2， x﹣1＝±， 所以x1＝1，x2＝1． 18．【解答】解：（1）x1＝5，； （2）（或）； （3）方程二次项系数化为1， 得． 配方得， ，即， 开方得， ， 解得x1＝5，． 经检验，x1＝5，都是原方程的解 学科网（北京）股份有限公司 $