2.2 一元二次方程的解法（1）—配方法①导学案 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程的配方法，核心知识点为用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。课堂导入通过复习直接开平方法，结合完全平方式填空引导学生发现配方规律，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助理解转化过程。 该资料特色在于注重数学思维与抽象能力的培养，通过活动让学生自主总结配方规律，体现数学眼光。例题与练习引导学生经历推理过程，培养推理意识，习题分层设计从基础到综合，提升应用意识，助力学生掌握配方法并体会转化思想。

2.2 一元二次方程的解法（1）—配方法① 学习目标： 班级__________姓名__________ 1. 会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，体会转化的思想方法. 2. 经历将一元二次方程的一般式转化为（x＋h)2= k（k≥0）形式的过程，理解配方法的意义. 3. 在配方过程中体会“转化”的数学思想，掌握转化的技巧． 学习重点：会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，体会转化的思想方法. 学习难点：把二次项系数为1的一元二次方程转化为的形式. 学习过程： 1、 复习回顾 1. 用直接开平方法解下列方程： （1） （2） 2、 新知探求 活动一： 1. 完全平方式：(a＋b)2 = ； (a－b)2 = . 2. 试一试：把下列各式配成完全平方式. （1）x2－2x＋ ＝（x－ ）2 ； （2）x2＋8x＋ ＝（x＋ ）2； （3）x2－5x＋ ＝（x－ ）2 ； （4）m2－12m＋ ＝（m－ ）2. 你发现了什么规律？ 总结： 对二次项系数为1的且只有二次项和一次项的整式配方时，应该加上_____________________ ， 即x2＋bx＋ ＝(x＋ )2. 活动二： 1. 如何解方程x2＋6x＋4＝0？ 2. 你会解方程吗？ 3. 这两个方程有什么关系？ 归纳： 由此可见，把一个一元二次方程变形为 的形式（其中h、k都是常数），当_________，就可以直接用直接开平方法求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做 ． 关键在于 . 3、 例题讲解 例1、用配方法解下列方程： （1）x2－4x＋3＝0　　　 　（2）x2＋3x－1＝0 归纳：用配方法解一元二次方程的一般步骤： ① ② ③ 例2、用配方法解下列方程： （1）(x－2)2=x+7； （2）(y－1)2－10(y－1)+9=0. 4、 巩固练习 1. ①x2－4x＋      ＝(x     )2； ②x2－3x＋     ＝(x    )2； ③x2＋4x＋     ＝(x     )2. 2. 将一元二次方程x2－8x－5＝0化成(x＋a)2＝b（a、b为常数）则a=_______，b=______. 3. 已知a、b、c是直角三角形的三边（c是斜边），若(a2＋b2)2－2(a2＋b2)－15＝0，则斜边c =_____. 4. ①当m＝ 时代数式x2－mx＋9为完全平方式； ②当m＝ 时代数式x2＋2(m－3)x＋16为完全平方式． 5. 用配方法解下列方程： （1） x2－6x－16＝0 （2）x2＋7x－12＝0 （3） 6. 用配方法证明：无论x为何实数，代数式x2－4x+8的值恒大于零． 7. 若M=3x2+8，N=2x2+4x，请比较M与N的大小关系. 5、 课堂小结：本节课你有什么收获？ 课后作业 1. 将一元二次方程配方后可化为________________. 2. 若要使方程的左边配成完全平方式，则方程两边应都加上___________. 3. 若将关于x的一元二次方程x²+16x+c=0配方后得到方程(x+8)²=3c，则c的值为_________. 4. 一元二次方程x²－px+1=0配方后为(x－q)²=15，那么一元二次方程 x²－px－1=0配方后为_______. 5. 若x=0是关于x的方程(m－3)x²+3x+m²+2m－15=0的一个根，则m的值为_________. 6. 用配方法解一元二次方程x²－2x－2025=0，将它转化为(x+h)²=k的形式，则hk的值为_________. 7. 将二次三项式x2－3x－5进行配方，其结果为 ，当x= 时，它有最 值，且为 ． 8. （1）当m=_______时，代数式x²－8x+m为完全平方式； （2）当k=_______时，代数式x²－kx+3为完全平方式. 9. 若代数式x²+(k²－1)x+9是完全平方式，则实数k的值为___________. 10. 已知三角形的两边长分别为2和7，第三边的长是一元二次方程x²－10x+24=0的根，则这个三角形的周长为__________. 11. 用配方法解一元二次方程ax² +bx－c=0(a≠0，c>0)得到(x－c)²=4c²，从而解得方程的一个根为1，则a－3b=__________. 12. 对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max(a，b)表示a，b中的较大值，如max(3，5)=5，max(－3，－5)=－3. 按照这个规定，若max(x，－x)=x²－3x－5，则 x的值是____________. 13. 将代数式x²+6x+7进行如下变形：x²+6x+7=x²+2 ·x ·3+9－9+7=(x+3)²－2. 当x的值为 时，(x+3)²取得最小值，最小值为0，即(x+3)²－2的最小值为－2，从而代数式x²+6x+7的最小值为_______. 14. 欧几里得的《几何原本》记载，形如x²+ax=b²的方程的图解法是：如图，画Rt△ABC，使∠ACB=90°，，AC=b，再在斜边AB=上截取BD，则该方程的一个正根是线段________的长. 15. 用配方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 16. 有n个方程：x²+2x－8=0，x²+2×2x－8×2²=0，…，x²+2nx－8n²=0. 小静同学解第一个方程 x²+2x－8=0的步骤为： ①x²+2x=8；②x²+2x+1=8+1；③(x+1)2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=－2. （1）小静的解法是从步骤 开始出现错误的； （2）用配方法解第n个方程x²+2nx－8n²=0.(用含n的式子表示方程的根) 17. （1）填空：把多项式x²－4x+1配方的结果为 ； （2）当x等于多少时，代数式x²+6x+6的值最小? （3）用一根长为12米的绳子围成一个长方形，请问长方形的边长分别为多少米时，围成的长方形面积最大?最大面积是多少平方米? 学科网（北京）股份有限公司 $