精品解析：北京市通州区2026年九年级6月中考前模拟数学试题

通州区2026年初三年级查漏补缺练习 数学试卷 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟． 2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项：是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D选项：既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 2. 若一个多边形每一个内角都为，则这个多边形的边数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和，设这个多边形的边数是，根据多边形的内角和公式列方程求解即可．解题的关键是掌握多边形的内角和公式：边形的内角和等于． 【详解】解：设这个多边形的边数是， 依题意，得：， 解得：， ∴这个多边形的边数是． 故选：C． 3. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数、有理数的加减和乘除运算、绝对值的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识．首先结合数轴确定，的取值范围，然后根据有理数的乘法运算法则、除法运算法则、加法运算法则和绝对值的性质，逐项分析判断即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴ ，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B正确，不符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D错误，不符合题意． 故选：B． 4. 若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用“一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式 ”列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ∴根的判别式 ， 其中 ，， 代入得 ， 解不等式得 ． 5. 已知，直线，把一块含有角的直角三角板如图放置，，三角板的斜边所在直线交于点，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 6. 2024年末，人工智能公司 在全球范围内迅速发展．据统计，其平台某月（按30天计算）处理的用户请求量约为次，据此推断，该平台平均每日处理的用户请求量约为（ ） A. 次 B. 次 C. 次 D. 次 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 7. 如图，在中，，， ．按如图所示作图痕迹作图，在上得点D，在上得点E，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，勾股定理，角平分线的性质．利用勾股定理求得 ，由作图知，平分， ，利用角平分线的性质知，根据三角形的面积公式列式计算即可求解． 【详解】解：∵，， ， ∴， 由作图知，平分， ， ∵， ∴， ∵， 即， ∴， 故选：C． 8. 如图，四边形是矩形， 分别是边，上的动点（不与端点重合），且，过点作直线的垂线，垂足为，连接．设，，的最大值为．给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，连接，交与点，取的中点为，连接 ，根据勾股定理得到，根据点的运动得到，当点在中点时，则点在中点，此时，由此可判定①；由点的轨迹得到当点 运动时，点在以为直径，点为圆心的上运动，得到当点与点重合时，为的直径，此时的最大值为可判定②；由此得到，即，由三角形三边数量关系得到，可判定③；由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 如图所示，连接，交与点，取的中点为，连接 ， ∴， ∵ 分别是边，上的动点（不与端点重合），且， ∴，即， 当点在中点时，则点在中点， ∴，且，， ∴四边形 和四边形是矩形， ∴ ，， ∴，故①正确； ∵ ， ∴ ， 在 和中， ， ∴， ∴， ，即点是的中点， ∵， ∴， 当点 运动时，点在以为直径，点为圆心的上运动， ∴当点与点重合时，为的直径，此时的最大值为， ∴，故②错误； 在中，，即， ∵， ∴， ∴在中，， 即， ∴， 当点三点共线时，取到等号， ∴， ∴，故③正确； 综上所述，正确的有①③， 故选：C ． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，点的轨迹与圆的基础知识，三角形三边数量关系等知识的综合运用，掌握矩形的性质，全等三角形的判定方法和性质的运用，圆的基础知识，三角形三边数量关系的计算方法是解题的关键． 二、填空题（本题共8个小题，每小题2分．共16分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解不等式，即可求解． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数为非负数是解题的关键． 10. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提公因式法与公式法的综合运用．先提取公因式，再利用平方差公式分解． 【详解】解：． 故答案为： 11. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．按照解分式方程的步骤进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 检验：当 时，， 是原方程的解． 故答案为： ． 12. 用一组a，b的值说明命题“若，则 ”是错误的，这组值可以是：______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题主要考查了命题与定理，解答此题的关键是要明确：任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【详解】解：当， 时，，， ∵，符合，但 ， ∴ 不成立，故命题错误． 故答案为：， 13. 已知点，在反比例函数的图象上．若，写出一个满足条件的的值：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．根据题意得在每个象限内，随的增大而增大，即可求解． 【详解】解：反比例函数， ∵， ∴在每个象限内y随x的增大而增大， ∵，，， ∴或， ∴满足条件的m的值可以为4， 故答案为：4（答案不唯一）． 14. 某实验基地为全面掌握“无絮杨”树苗的生长规律，定期对2000棵该品种树苗进行抽测．近期从中随机抽测了100棵树苗，获得了它们的高度x（单位：）．数据经过整理后绘制的频数分布直方图如右图所示．若高度不低于的树苗为长势良好，则估计此时该基地培育的2000棵“无絮杨”树苗中长势良好的有_________棵． 【答案】940 【解析】 【分析】本题主要考查了根据样本所占百分比估计总体频数，用2000乘以样本中高度不低于的树苗的百分比，即可求出结果． 【详解】解：该基地培育的2000棵“无絮杨”树苗中长势良好的有： （棵）， 故答案为：940． 15. 如图，下左图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（）”的结构简图，如图为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，．若，，，则点C到水平线l的距离为________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解三角形，熟练利用三角函数解三角形是解题的关键． 延长交l于点H，连接 ，证明，进而得到，再利用三角函数解 和 即可求得答案． 【详解】解：如图，延长交l于点H，连接 ， ∵，， ∴，， 在 中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在 中，， ∴． 故答案为：． 16. 某工厂需要生产三种产品A，B，C，每种产品的生产分为两个阶段：第一阶段是制作，第二阶段是包装，每种产品在每个阶段所需的时间（单位：小时）如表所示： A B C 制作 10 8 12 包装 6 10 8 若由一名工人单独完成三种产品的生产，那么总共需要_____小时；若由两位工人合作完成这三种产品的生产，每个阶段由一个人单独完成，每种产品制作完才可以包装，那么完成这三种产品的生产最少需要_____小时． 【答案】 ①. 54 ②. 28 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，两人合作的最短时间的关键在于合理分配任务，让两人的工作时间尽可能均衡且不出现等待时间． 三种产品各个阶段所需时间相加即可；一人依次完成A产品第一阶段，B产品的第一阶段，C产品的第二阶段，另一人依次完成C产品第一阶段，A产品的第二阶段，B产品的第二阶段，则至少需要28小时． 【详解】解：（小时）； 为使总时间最少，应合理分配6项任务使两名工人的总工时尽量均衡．一种最优分配为：工人甲负责制作A、制作B、包装C（总工时26h），工人乙负责制作C、包装A、包装B（总工时28h）．经调度，在满足“先制作后包装”的条件下，所有任务完成的最短时间为28h． 故答案为：54；28． 三、解答题（本题共68分，第17-19题每题5分；第20-21题每题6分；第22-23题每题5分；第24题6分；第25题5分；第26题6分；第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①，得； 解不等式②，得 ； ∴原不等式组的解集为 . 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简、代数式求值，先将化简为，根据，得出，代入化简后的式子中计算求值即可，熟练掌握分式的化简是解题的关键． 【详解】解： ， ∵ ， ∴， ∴代数式的值． 20. 如图，四边形中， ，过点C作的平行线交于点E，在上取点F，使 ，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． （1）先证出四边形是平行四边形，再根据矩形的判定即可得证； （2）先根据矩形的性质可得， ，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后利用勾股定理可得的长，从而可得的长，最后在 中，解直角三角形可得的长，由此即可得． 【小问1详解】 证明：∵， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：由（1）已证：四边形是矩形， ∴， ， ∵ ，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 在 中，， 设，则 ， 在 中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∵， ， ∴， 在 中，， ∴． 21. 北京宫灯制作技艺是国家级非物质文化遗产．某校传统工艺社团为校园文化节制作一款六角宫灯骨架，骨架由主支撑杆、横向辐条、竖向围条三类竹条组成，其尺寸关系如下：宫灯骨架的总高度由头部高度、灯身高度、底座高度三部分构成，且三者之比为．已知单根横向辐条长度是灯身高度的；一根主支撑杆比单根横向辐条长；主支撑杆长度等于灯身高度和底座高度之和．求这款宫灯骨架的总高度． 【答案】这款宫灯骨架的总高度为 【解析】 【分析】设底座高度为，根据比例关系可得头部高度为，灯身高度为，进而表示出单根横向辐条长度为，再根据主支撑杆的长度构造方程，解出的值后，求出宫灯骨架的总高度． 【详解】解：设底座高度为， ∵头部高度、灯身高度、底座高度之比为， ∴头部高度为，灯身高度为， ∵单根横向辐条长度是灯身高度的， ∴单根横向辐条长度为， ∵一根主支撑杆比单根横向辐条长； ∴主支撑杆的长度为， 根据主支撑杆长度等于灯身高度和底座高度之和，可列方程： ， 解得， 这款宫灯骨架的总高度为． 答：这款宫灯骨架的总高度为． 22. 在平面直角坐标系中，已知函数与的图象交于点． （1）求k和b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于的值，且小于的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）k的值为1，b的值为 （2）且 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与不等式，利用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b； （2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当 时，对于的每一个值，直线的图象在直线 的上方且在直线的下方，画出临界状态图象分析即可． 【小问1详解】 解：由题意，将代入得：， 解得：， 将，，代入函数中， 得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为， 当 时，对于的每一个值，函数的值大于的值，且小于的值， 即当 时，对于的每一个值，直线的图象在直线 的上方且在直线的下方，则画出图象为： 将代入，则 ， ∴直线的图象过定点， 将代入，则， 由图象得：当直线的图象过点时， 则，解得：； 将代入 ，则 ， 由图象得：当直线的图象过定点时， 则，解得：； 综上，m的取值范围为:且． 23. 在人工智能时代， 软件迅猛发展，某团队测评了A、B、C三款 软件，本次测评由软件性能评分（满分100分）和软件使用体验评分（满分100分）两个部分构成．其中A、B、C三款 软件的软件性能评分分别为85分，82分，90分．软件使用体验评分由10位专业测试员对软件分别打分，打分之和为该款软件使用体验评分，以下是A、B、C三款 软件的软件使用体验评分的部分数据信息： A、B、C三款 软件的软件使用体验打分情况统计表 软件名称 中位数 方差 软件使用体验评分 A 8.5 p a B 8.5 q 87 C m 2.01 83 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，a的值； （2）通过分析，可以发现专业测试员对________款 软件的软件使用体验评分评价更一致（填写A、B或C）； （3）按照软件性能评分占 ，软件使用体验评分占 来计算综合成绩，综合成绩较高的软件排序靠前，若综合成绩一致，则软件使用体验评分较高的软件排序靠前，则这三款 软件中排序由前到后依次是_________． 【答案】（1）， （2）B （3）C，B，A 【解析】 【分析】（1）由折线图得到A款 软件得分，求和即可求出a的值．根据扇形图求出C款 软件打分情况，根据中位数的定义即可求出m的值； （2）根据方差的计算公式求出A，B两款 软件的方差，比较方差即可解答； （3）根据加权平均数的计算公式求出这三款软件的综合成绩，根据排序规则即可解答． 【小问1详解】 解：由折线图可得，A款 软件得分为7，10，10，7，9，9，8，9，10，6， 使用体验评分为， 即 ． 由扇形图可得，C款 软件打分中，6分有（个）；8分有（个）；9分有（个）；10分有（个）； 中位数是第5个，第6个数据的平均数即（分）， 即． 【小问2详解】 解：A款 软件得分的平均数为， 方差； B款 软件得分的平均数为， 方差． ∵C款 软件得分的方差为，而 ∴可以发现专业测试员对B款 软件的软件使用体验评分评价更一致． 【小问3详解】 解：A款 软件综合成绩为：（分）， B款 软件综合成绩为：（分）， C款 软件综合成绩为：（分）， 所以C款 软件综合成绩最高，A款和B款软件综合成绩相同， 又B款 软件使用体验评分比A款软件高， 故这三款 软件中排序由前到后依次是C，B，A． 24. 如图，、均为的直径．点E在上，连接，交于点F，连，，点G在的延长线上， ． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得，结合已知可得 ，再根据等腰三角形的性质得出，求出即可得出结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质求出，进而可得，的长，然后根据三角函数的定义和勾股定理求出，再在中，根据三角函数的定义和勾股定理求出，进而可得的长． 【小问1详解】 证明：， ， ， ，即 ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， 为的直径， 与相切； 【小问2详解】 解：连接，如图， ，，， ． 在中， ，， ∴， ， ， ， 为的直径， ． ∴在 中，， ∴， 由勾股定理得． ， ， ． ， ∴在中，， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，切线的判定等知识，作出合适的辅助线，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 25. 某校为培养学生的阅读习惯，发起“阅读悦听”活动，现有两种打卡奖励方式： 方式一：每天打卡可领取听书时长； 方式二：第一天打卡可领取听书时长，之后每天打卡领取的听书时长是前一天的2倍． （1）根据上述两种打卡奖励方式补全表二： 表一每天领取听书时长 天数 1 2 3 4 ··· n 方式一 60 60 60 60 ··· 60 方式二 5 ··· 表二累计领取听书时长 天数 1 2 3 4 ··· n 方式一 60 120 180 240 ··· 方式二 ··· （2）根据表二，以天数n为横坐标，以该天累计领取的听书时长为纵坐标，绘制了相应的点，并用虚线表达了变化趋势．其中表示方式二变化趋势的虚线是________（填a或b），从第_______天完成打卡时开始，选择方式二累计领取的听书时长超过方式一； （3）现有一本时长不超过的有声读物，小云希望通过打卡领取该有声读物．若选择方式二比选择方式一所需的打卡天数多两天，则这本有声读物的时长t（单位：）的取值范围是______． 【答案】（1）， （2），7 （3） 【解析】 【分析】（1）根据表二中两种方式每天累计领取听书时长的数字规律，即得答案； （2）根据表二中的数据变化情况及图中两线的交点情况，即得答案； （3）由已知可得选择方式一只需打卡1天，选择方式二需打卡3天，由此即得答案． 【小问1详解】 表二中，对于方式一，第1天累计领取听书时长为， 第2天累计领取听书时长为， 第3天累计领取听书时长为， 依次规律，第n天累计领取听书时长为； 对于方式二，第1天累计领取听书时长为， 第2天累计领取听书时长为， 第3天累计领取听书时长为， 依次规律，第n天累计领取听书时长为； 故答案为：，． 【小问2详解】 由表二的数据可知，表示方式二变化趋势的虚线是a，第7天开始，曲线a上点的纵坐标大于射线b上对应点的纵坐标， 即选择方式二累计领取的听书时长超过方式一； 故答案为：，7． 【小问3详解】 该有声读物的听书时长不超过， 选择方式一只需打卡1天， 选择方式二需打卡3天， t的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字规律的探求，函数的表示方法,从函数图象获取信息及求函数值的取值范围等知识，正确理解题意是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线 上有两点， 它的对称轴为直线 ． （1）若该抛物线经过点，求t的值； （2）当时， ①若， 则 0； （填“>”“=”或“<” ） ②若对于 ，都有，求t的取值范围． 【答案】（1） （2）①<，②或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质， 将点代入抛物线求得，结合对称轴定义即可求得； ①根据题意得抛物线开口向上，且过原点，即可得； ②由已知求得，结合恒成立，则有点在x的同侧即可． 【小问1详解】 解：将点代入得，解得， ∴， 则； 【小问2详解】 ①根据题意得抛物线开口向上，且过原点， ∵，， ∴； ②∵ ， ， ∴， ∵有恒成立， ∴点在x的同侧， 则或． 27. 如图，在中，，，D是的中点，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段 ，线段 交于E，连接，点F与点H关于直线对称，射线交于M． （1）补全图形，并求的大小； （2）用等式表示线段 ， 和之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）补全图形如下，； （2） 解：，证明如下： 如图，连接、， ∵点F与点H关于直线对称， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵ ， ∴垂直平分， ∴，， ∵在中，，D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）连接，先用表示出，根据旋转的性质推出是等边三角形，进而推出， ，则可用表示出、，再根据即可求解； （2）连接、，先根据对称的性质得出，，进而可得，是等边三角形，再根据、 得垂直平分，求出，得，即可求解． 【小问1详解】 解：补全图形略； ∵在中，，， ∴， 连接， ∵将线段绕点B顺时针旋转，得到线段 ， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ， ∵， ∴ ， ∴，， ∴； 【小问2详解】 略 28. 在平面直角坐标系中，已知线段和直线，，线段关于直线，的“垂点距离”定义如下：过点P作于点M，过点Q作于点N，连接，称的长为线段关于直线和的“垂点距离”，记作d． （1）已知点，，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d为______； （2）如图1，线段在直线 上运动（点P的横坐标大于点Q的横坐标），若，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d的最小值为______； （3）如图2，已知点，的半径为1，直线与交于P，Q两点（点P的横坐标大于点Q的横坐标），直接写出线段关于x轴和直线 的“垂点距离”d的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点P作于点M，过点Q作 于点N，得到，，根据两点间距离公式即可求解， （2）设点，，得到，将代入 ，得到，结合，得，，由两点间距离公式得到，由，即可求解， （3）延长、交于点，作中点，由 ，，得到 ，，，进而得到等边三角形 ，根据线段垂直平分线的判定，及等腰三角形三线合一，得到，，，进而得到直线的解析式：，当点在点右侧时，，四点共圆，当点在点左侧时，四点共圆，根据直角所对弦是直径及圆周角定理，得到 为 的直径，是顶角为的等腰三角形，，设点，则，，根据直线与交于P，Q两点（点P的横坐标大于点Q的横坐标），得到，进而得到 的取值范围，即可得到 的取值范围． 【小问1详解】 解：过点P作轴于点M，过点Q作 轴于点N，连接， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：， 【小问2详解】 解：设点，， ∵点P，Q在直线 上，轴， 轴， ∴， 将代入 ，得：，解得：， ∴， ∴，整理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：， 【小问3详解】 解：设直线 与轴交于点，与直线交于点，延长、交于点，作直线与轴交于点，连接，作中点，连接，，，， ∵直线的解析式为： ， ∴，， ∵直线 的解析式为：， ∴当时，，当时，，即：， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴ 是等边三角形， ∴，， ∵ ， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，则：，解得：， ∴直线的解析式为：， 当点在点右侧时，， ∴， ∴四点共圆， 当点在点左侧时， ∴， ∴四点共圆， ∵，点为 中点，， ∴ 为 的直径，，， ∴是顶角为的等腰三角形， ∴， 设点，则， ∴， ∵直线与交于P，Q两点， ∴，即 ， ∵点P的横坐标大于点Q的横坐标， ∴点P在直线下方， 当时，，，解得：， ∴， ∴，即：， ∴，即：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了，两点间距离公式，圆周角定理，四点共圆，特殊角三角函数，解题的关键是：连接辅助线找到与 相关线段 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 通州区2026年初三年级查漏补缺练习 数学试卷 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟． 2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若一个多边形每一个内角都为，则这个多边形的边数是（ ） A. B. C. D. 3. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，直线，把一块含有角的直角三角板如图放置，，三角板的斜边所在直线交于点，则 （ ） A. B. C. D. 6. 2024年末，人工智能公司 在全球范围内迅速发展．据统计，其平台某月（按30天计算）处理的用户请求量约为次，据此推断，该平台平均每日处理的用户请求量约为（ ） A. 次 B. 次 C. 次 D. 次 7. 如图，在中，，， ．按如图所示作图痕迹作图，在上得点D，在上得点E，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 8. 如图，四边形是矩形， 分别是边，上的动点（不与端点重合），且，过点作直线的垂线，垂足为，连接．设，，的最大值为．给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 二、填空题（本题共8个小题，每小题2分．共16分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_____． 10. 分解因式：_____． 11. 方程的解为________． 12. 用一组a，b的值说明命题“若，则 ”是错误的，这组值可以是：______，______． 13. 已知点，在反比例函数的图象上．若，写出一个满足条件的的值：________． 14. 某实验基地为全面掌握“无絮杨”树苗的生长规律，定期对2000棵该品种树苗进行抽测．近期从中随机抽测了100棵树苗，获得了它们的高度x（单位：）．数据经过整理后绘制的频数分布直方图如右图所示．若高度不低于的树苗为长势良好，则估计此时该基地培育的2000棵“无絮杨”树苗中长势良好的有_________棵． 15. 如图，下左图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（）”的结构简图，如图为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，．若，，，则点C到水平线l的距离为________ ． 16. 某工厂需要生产三种产品A，B，C，每种产品的生产分为两个阶段：第一阶段是制作，第二阶段是包装，每种产品在每个阶段所需的时间（单位：小时）如表所示： A B C 制作 10 8 12 包装 6 10 8 若由一名工人单独完成三种产品的生产，那么总共需要_____小时；若由两位工人合作完成这三种产品的生产，每个阶段由一个人单独完成，每种产品制作完才可以包装，那么完成这三种产品的生产最少需要_____小时． 三、解答题（本题共68分，第17-19题每题5分；第20-21题每题6分；第22-23题每题5分；第24题6分；第25题5分；第26题6分；第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，四边形中， ，过点C作的平行线交于点E，在上取点F，使 ，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 21. 北京宫灯制作技艺是国家级非物质文化遗产．某校传统工艺社团为校园文化节制作一款六角宫灯骨架，骨架由主支撑杆、横向辐条、竖向围条三类竹条组成，其尺寸关系如下：宫灯骨架的总高度由头部高度、灯身高度、底座高度三部分构成，且三者之比为．已知单根横向辐条长度是灯身高度的；一根主支撑杆比单根横向辐条长；主支撑杆长度等于灯身高度和底座高度之和．求这款宫灯骨架的总高度． 22. 在平面直角坐标系中，已知函数与的图象交于点． （1）求k和b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于的值，且小于的值，直接写出m的取值范围． 23. 在人工智能时代， 软件迅猛发展，某团队测评了A、B、C三款 软件，本次测评由软件性能评分（满分100分）和软件使用体验评分（满分100分）两个部分构成．其中A、B、C三款 软件的软件性能评分分别为85分，82分，90分．软件使用体验评分由10位专业测试员对软件分别打分，打分之和为该款软件使用体验评分，以下是A、B、C三款 软件的软件使用体验评分的部分数据信息： A、B、C三款 软件的软件使用体验打分情况统计表 软件名称 中位数 方差 软件使用体验评分 A 8.5 p a B 8.5 q 87 C m 2.01 83 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，a的值； （2）通过分析，可以发现专业测试员对________款 软件的软件使用体验评分评价更一致（填写A、B或C）； （3）按照软件性能评分占 ，软件使用体验评分占 来计算综合成绩，综合成绩较高的软件排序靠前，若综合成绩一致，则软件使用体验评分较高的软件排序靠前，则这三款 软件中排序由前到后依次是_________． 24. 如图，、均为的直径．点E在上，连接，交于点F，连，，点G在的延长线上， ． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 25. 某校为培养学生的阅读习惯，发起“阅读悦听”活动，现有两种打卡奖励方式： 方式一：每天打卡可领取听书时长； 方式二：第一天打卡可领取听书时长，之后每天打卡领取的听书时长是前一天的2倍． （1）根据上述两种打卡奖励方式补全表二： 表一每天领取听书时长 天数 1 2 3 4 ··· n 方式一 60 60 60 60 ··· 60 方式二 5 ··· 表二累计领取听书时长 天数 1 2 3 4 ··· n 方式一 60 120 180 240 ··· 方式二 ··· （2）根据表二，以天数n为横坐标，以该天累计领取的听书时长为纵坐标，绘制了相应的点，并用虚线表达了变化趋势．其中表示方式二变化趋势的虚线是________（填a或b），从第_______天完成打卡时开始，选择方式二累计领取的听书时长超过方式一； （3）现有一本时长不超过的有声读物，小云希望通过打卡领取该有声读物．若选择方式二比选择方式一所需的打卡天数多两天，则这本有声读物的时长t（单位：）的取值范围是______． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线 上有两点， 它的对称轴为直线． （1）若该抛物线经过点，求t的值； （2）当时， ①若， 则 0； （填“>”“=”或“<” ） ②若对于 ，都有，求t的取值范围． 27. 如图，在中，，，D是的中点，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段 ，线段 交于E，连接，点F与点H关于直线对称，射线交于M． （1）补全图形，并求的大小； （2）用等式表示线段 ，和之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，已知线段和直线，，线段关于直线，的“垂点距离”定义如下：过点P作于点M，过点Q作于点N，连接，称的长为线段关于直线和的“垂点距离”，记作d． （1）已知点，，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d为______； （2）如图1，线段在直线 上运动（点P的横坐标大于点Q的横坐标），若，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d的最小值为______； （3）如图2，已知点，的半径为1，直线与交于P，Q两点（点P的横坐标大于点Q的横坐标），直接写出线段关于x轴和直线 的“垂点距离”d的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $