3.1.2函数的单调性（第1课时）教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

附件： 教学设计 课程基本信息 课题 函数的单调性 课型 新授课 学科 数学 年级 高一 学段 高中 版本章节 人教B版必修第一册 第三章第二节第1课时 教学目标 知识目标： 1、理解增函数和减函数的定义 2、掌握函数单调性的判断方法 技能目标： 1、学会利用概念判断函数的单调性 2、体会数形结合的思想 核心素养目标： 1、通过函数单调性证明，培养逻辑推理能力 2、在判断证明的过程中，运用数学运算能力 教学重难点 重点：函数单调性的定义及应用定义证明函数的单调性。 难点: 用定义法证明函数的单调性(尤其是符号语言的理解和不等式关系的推导)。 学情分析 1. 知识基础：学生已掌握函数的定义、定义域与值域求解，熟悉一次函数、二次函数、反比例函数的图像与表达式，具备“由图像看变化”的初步数形结合意识，但对“变化趋势”的数学化表达缺乏系统认知。 2. 学习特点：好奇心强，对情境化、动态化的学习内容（如动画演示、生活案例）兴趣浓厚，但注意力集中时间有限，对纯代数推导的枯燥内容易产生抵触，自主探究和合作交流的主动性需引导。 教学准备 多媒体课件 教学过程 教学任务 教学内容 设计意图 创新设计（含AI应用） （一）创设情境，引入新知 情境1 情境2 播放视频 情境3 以艾宾浩斯遗忘曲线为导入让学生初步感受到随时间的变化知识被遗忘的变化趋势 播放视频 并观察跳水运动曲线以及山北之歌 三张图片让学生感受到函数值随自变通过量的增大而增大或减小，明确图像的升降变化的实质就是函数值随着自变量的变化趋势，为“形”到“数”的过渡作铺垫，引出课题】 学生对知识记忆的感同深受，时间越久遗忘越多，引起共鸣 以动画全红禅跳水吸引学生的兴趣，激发学生对新知识的渴望。 （二）提炼概念，形成新知 师：请同学们观察下面的函数图象，你能说说它们分别反映相应函数的那些性质？ 生：第一个图像关于原点对称，第三个图像关于y轴对称，第二个图像既不关于原点对称也不关于y轴对称。 师：这是体现了函数的对称性。我们看第一个图像，y随x的增大而增大。第二个图像y随x的增大是有增有减。第三个图像也是y随x的增大有增有减。我们说函数值随着自变量的增大而增大或减小的性质就是函数的单调性。 二、新课讲解 为进一步观察二次函数的图像，尝试用三种不同的语言，刻画二次函数的单调性。 图像特征 文字语言 符号语言 结论 【师生活动】：根据图像，学生讨论函数的图像特征，文字语言，符号语言怎么叙述？ 学生回答，教师板书，并追问是任意取值，还是特殊取值？ 通过补充最终得到完整得符号语言 即“当时，有”。类似的可以得到时的符号表达。 师：如图象所示函数，回答我的几个问题： 师：通过小组讨论和对二次函数的单调性的研究，最终我们发现函数的单调性，下面我们总结一下： 师：敲黑板注意： （1）函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的，在某个点不具有单调性，离开了定义域和相应区间更谈不上单调性了，而且函数在某个区间具有的单调性，在这个区间的子集内有相同的单调性。 （2），的取值是任意的，不能是特殊的取值。 （3）允许函数在某些区间上单调递增，在另一些区间上单调递减，只有在整个定义域上单调递增才能叫增函数。 （4）当函数有多个单调区间时，不能随意用并集。 让学生直观感受单调性的图形特征，明确图像的升降变化的实质就是函数值随着自变量的变化趋势，完成对单调性的第一次认识. 通过板书“时，有”，不断追问这样描述是否准确，一点点补充，最终得到关于函数从左至右函数变化趋势的准确符号语言的表达。由此同学们可以抽象出函数单调性的定义。 在此过程中，强调区间和全称量词任意的重要性。 将函数单调性的概念通过表格更清晰，也为之后证明函数单调性的两种方法——图像法和定义法做铺垫。 （三）深化新知，实际应用 概念辨析（分组合作，组内讨论，派代表发言，教师评价） 练习1 请判断以下说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”. （1）已知定义在R上的函数，因为f(-1)<f(2)，所以函数f(x)在R上单调递增.（× ） （2）若定义在R上的函数f(x)满足f(2)<f(3)，则函数f(x)在[2,3]上单调递增.（ ×） （3）若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增，则在(1,3)上均为增函数.（ × ） （4）因为函数 在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数，所以 在(-∞,0)(0,+∞) 上是减函数（ × ） 三、例题分析 例1、已知函数f(x)=kx+b(k≠0) （1）你能直接说出它的单调性吗？ （2）根据定义，研究函数f(x)=kx+b(k≠0)的单调性. 师生活动：教师分析，学生思考，教师按定义严格板书示范，指出本例证明的关键是对作差结果进行合理变形和符号判断． 师追问，小组总结证明函数单调性的步骤．让学生提炼用定义法证明函数单调性的基本步骤：①取值 ②作差 ③变形 ④定号 ⑤作结 例2、 物理学中的波意尔定律p=k/V告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V增大时，压强P将减小，P与V成反比，试写出这个物理情景对应的函数关系式，并对此函数的单调性证明.（学生板演、教师点评） 师：例2是一个物理学中的公式，从它身上使我们体会函数模型可以用来刻画现实世界中的现象.数学的研究是将一类运动变化的现象抽象成一类函数,通过研究这一类函数的性质而获得事物的变化规律，我们一定要注意数学表达的严谨性和规范性。 四、巩固提升 通过对概念的辨析，一方面挖掘函数单调性概念的内涵，另一方面拓展其外延，加深对单调性的理解． 　　　　　　　 让学生掌握用定义证明函数单调性的规范步骤，规范书写，为高中数学学习打好坚实基础． 巩固用定义法证明单调性的一般步骤，检验学的学习掌握情况，同时让学生感受到数学与物理的联系。 通过练习，让学生进一步巩固函数单调性定义 （四）课堂小结 通过本节课的学习，我们来回顾一下都有哪些收获？师生活动：学生谈本节课的感受，教师梳理、总结本节课主要的学习内容，总结出： 1、函数单调性的概念; 2、判断函数单调性的方法和一般步骤. 关注学生的学习情况，反思收获和体验，总结数学方法与技能 作业设计 1、书面作业：课本86页习题3.2第2、3、8题. 2、拓展作业： （1）课本86页习题3.2第9题； （2）做出函数 的图象，并根据图象写出它的单调区间. 3、探究作业： （1）完成课本78页例2的证明； （2）找一找函数的单调性在其他学科中的应用. 板书设计/课堂小结 　　　　　　　　　　　　　函数的单调性 １增函数：　　　　　　　　　　　　　　　　　　３证明单调性　例题　　　 ２减函数：　　　　　　　　　　　　　　　　　　４小结 注（１）任意性 　（２）多个单调区间正确表示 教学反思 本节课围绕概念教学的核心内容展开，落实立德树人，充分体现了数学的德育功能。教学过程由浅入深、层层递进。利用环环相扣的问题引发学生思考，突破各个学习关键。在概念背景中培养直观想象能力，在生成概念和方法的过程中培养抽象概括能力，在探索论证和交流讨论中培养逻辑推理能力。通过开展小组合作学习，增加师生互动、生生互动，调动学生的主观能动性和学习积极性。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $