2.2.1 不等式及其性质教学设计——2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“不等式及其性质”核心知识，通过高速公路限速指示牌的生活实例导入，联系现实不等关系，借助数轴点的位置关系引出作差法比较大小，进而推导不等式性质，构建从具体到抽象的学习支架。 资料亮点在于以生活情境培养数学眼光，性质证明结合代数推理与几何直观发展数学思维，渗透作差法、反证法等方法提升逻辑推理能力。帮助学生理解抽象概念，为教师提供结构化教学方案，有效提升课堂效率。

2.2.1 不等式及其性质 【课程基本信息】 年级 高一 课题 不等式及其性质 课时 1课时 授课教师 【教学目标】 1.理解不等式的相关概念，掌握两个数或代数式的大小比较方法. 2.理解不等式的性质，注意其成立的条件. 3.应用不等式的性质解决问题. 【教学重点】 掌握两个数或代数式的大小比较方法. 【教学难点】 不等式的性质 【教学过程】 你见过图中的高速公路指示牌吗？下图的指示牌是指对应的车道只能供小客车行驶，而且小客车的速率v1（单位：km/h，下同）应该满足100≤v1≤120；右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行驶，而且车的速率v2应该满足60≤v2≤100. 设计意图：结合身边的事物举例，引出数学知识，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受.同时，能使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边. 不等式的概念：在现实世界里，量与量之间的不等关系是普遍的，不等式是刻画不等关系的工具.我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式. 事实上，任意给定两个实数a，b，那么a≥b⇔a>b或a=b；a≤b⇔a<b或a=b． 教师提问：怎么理解两个实数之间的大小呢？ 我们已经知道，实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.一般地，如果点P对应的数为x，则称x为点P的坐标，并记作P(x).另外，数轴上的点往数轴的正方向运动时，它所对应的实数会变大，这就是说，两个数在数轴上对应的点的相对位置决定了这两个数的大小.如下图所示的数轴中，A(a)，B(b)，不难看出b>1>0>a，此外，我们也知道，一个数加上一个正数，相当于数轴上对应的点向正方向移动了一段距离；一个数减去一个正数（即加上一个负数），相当于数轴上对应的点向负方向移动了一段距离.由此可以看出，要比较两个实数a，b的大小，只要考察a-b与0的相对大小就可以了，即a-b<0⟺ a<b；a-b=0⟺ a=b；a-b>0⟺ a>b. 不等式的性质：性质1（可加性）：如果a>b，那么a+c>b+c． 性质2（可乘性）：如果a>b，c>0，那么ac>bc． 性质3（可乘性）：如果a>b，c<0，那么ac<bc． 证明：对于不等式性质的证明： 事实上，如下图所示，a>b是指点A在点B的右侧，a+c和b+c表示点A和点B在数轴上做了相同的平移，平移后得到的点A' 和B' 的相对位置，与A和B的相对位置是一样的，因此a+c>b+c. 对于性质1的证明：因为(a+c)-(b+c)=a+c-b-c=a-b，又因为a>b，所以a-b>0，从而(a+c)-(b+c)>0，因此a+c>b+c. 对于性质2的证明：因为ac-bc=(a-b)c，又因为a>b，所以a-b>0，而c>0，因此(a-b)c>0，因此ac-bc>0，即ac>bc. 教师提问：根据性质2的证明，对性质3进行证明. 对于性质3的证明：因为ac-bc=(a-b)c，又因为a>b，所以a-b>0，而c<0，因此(a-b)c<0，因此ac-bc<0，即ac<bc. 尝试与发现：你会用充分条件、必要条件来描述不等式的性质吗？试用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空： (1)a>b是a+c>b+c的充要条件. (2)如果c>0，则a>b是ac>bc的充要条件. (3)如果c<0，则a>b是ac<bc的充要条件. 不等式的性质：性质4（不等关系的传递性）：如果a>b，b>c，那么a>c． 证明：因为a-c=(a-b)+(b-c)，又因为a>b，所以a-b>0；且b>c，所以b-c>0，因此(a-b)+(b-c)>0，从而a-c>0，即a>c． 对于性质4的直观理解：如图所示，点A在点B的右侧，点B在点C的右侧，因此点A必定在点C的右侧 不等式的性质：性质5：a>b⇔b<a． 证明：因为a-b=-(b-a)，所以a-b>0⇔b-a<0，即a>b⇔b<a． 另外，值得注意的是，上述不等式性质对任意满足条件的实数都成立，因此我们可以用任意满足条件的式子去代替其中的字母. 设计意图：通过对于不等式性质的证明，更好地理解不等式的性质. 证明不等式的方法—作差法和综合法： 作差法：证明不等式性质和解答例1的方法，其实质都是通过比较两式之差的符号来判断两式的大小，这种方法通常称为作差法. 综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法. 不等式的推论：推论1：如果a+b>c，那么a>c-b． 证明：a+b>c⇒a+b+(-b)>c+(-b)⇒a>c-b． 推论1表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边.推论1通常称为不等式的移项法则. 推论2：如果a>b，c>d，那么a+c>b+d． 证明：根据性质1有a>b⇒a+c>b+c，c>d⇒b+c>b+d，再根据性质4可知a+c>b+d． 同向不等式的概念：我们把a>b和c>d(或a<b和c<d)这类不等号方向相同的不等式，称为同向不等式. 推论2说明：两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向.很明显，推论2可以推广为更一般的结论：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向. 推论3：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd． 证明：根据性质2有a>b，c>0⇒ac>bc，c>d，b>0⇒bc>bd，再根据性质4可知ac>bd． 这个推论也可以推广为更一般的结论：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向. 推论4：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n>1)． 证明：多次使用推论3的结论就可以了. 推论5：如果a>b>0，那么. 证明：假设≤，即或，根据推论4和二次根式的性质， 得a<b或a=b.这与a>b矛盾，因此假设不成立，从而. 设计意图：通过对于不等式性质的证明，更好地理解不等式的性质的推论. 证明不等式的方法—反证法：可以看出，推论5中证明方法的实质是：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立.这种得到数学结论的方法通常称为反证法，反证法是一种间接证明的方法. 教师提问：根据例2，尝试总结一下综合法证明不等式的实质？ 可以看出，例2中所使用的方法是综合法.综合法中，最重要的推理形式为p⇒q，其中p是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论. 尝试与发现：你能证明吗?用综合法证明这个结论方便吗?你觉得可以怎样证明这个结论? 法一：反证法：设不等式不成立，则≥，两边平方得 10+2≥20，所以≥5，所以21≥25，该不等式显然不成立，所以原不等式成立． 法二：要证，只需证明()2<()2，展开得10+2<20， 即<5，这只需证明()2<52，即21<25.因为21<25成立，所以成立. 证明不等式的方法—分析法：上述这种证明方法通常称为分析法.分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为p⇐q，其中p是需要 证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件. 可以简写为：因为⇐()2<()2⇐<5⇐21<25，又因为21<25成立，所以结论成立. 【课堂例题】 例1：比较x2-x和x-2的大小. 解：因为(x2-x)-(x-2)=x2-2x+2-(x-1)2+1，又因为(x-1)2≥0，所以(x-1)2+1≥1>0，从而(x2-x)-(x-2)>0，因此x2-x>x-2. 注：上述的证明中用了配方法，这种方法经常用于式子变形，大家应熟练掌握. 例2：(1)已知a>b，c<d，求证：a-c>b-d； (2)已知a>b，ab>0，求证：； (3)已知a>b>0，0<c<d，求证：. 解：(1)因为a>b，c<d，所以a>b，-c>-d，根据推论2，得a-c>b-d. (2)因为ab>0，所以，又因为a>b，所以即，因此. (3)因为0<c<d，根据(2)的结论，得，又因为a>b>0，所以根据推论3可知，，即. 例3：已知m>0，求证：. 解：因为m>0，所以3+m>0，从而⇐3(1+m)>3+m⇐m>0，又因为已知m>0，所以结论成立． 【课堂巩固】 1.如果，那么下列不等式中，一定成立的是( ) A. B. C. D. 2.“且”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若，则下列命题正确的是( ) A.若，则 B.若，则 C.若，那么 D.若，则 【小结作业】 55页的课后习题 【板书设计】 2.2.1 不等式及其性质 1.不等式的性质 2.不等式性质的推论 【教学反思】 课后 反思 优点： 不足： 改进措施： 课堂 评价 学科网（北京）股份有限公司 $