2.2.2 不等式的解集教学设计——2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦不等式组解集、绝对值不等式解法及数轴上两点距离与中点坐标公式。从初中不等式解集概念导入，衔接高中不等式组解集为各不等式解集的交集，通过绝对值定义与数轴几何意义构建学习支架，逐步深入含参数绝对值不等式及公式推导。 特色在于融合代数推理与几何直观，如用定义法和数轴距离法解|x|>3，换元法转化|a-1|≤2，培养数学思维的推理能力与数学眼光的几何直观。多样化例题与探索研究提升学生问题解决能力，为教师提供清晰教学脉络与核心素养培养路径。

2.2.2 不等式的解集 【课程基本信息】 年级 高一 课题 不等式的解集 课时 1课时 授课教师 【教学目标】 1.掌握解不等式组解集的方法. 2.理解绝对值的定义，借助数轴解决简单绝对值不等式. 3.掌握并理解数轴上两点之间的距离公式和数轴上的中点坐标公式. 【教学重点】 掌握解不等式组解集的方法. 【教学难点】 借助数轴解决简单绝对值不等式 【教学过程】 1、 不等式的解集与不等式组的解集 从初中数学中我们已经知道，能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解，解不等式的过程中要不断地使用不等式的性质. 不等式与不等式组的解集的概念：一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集，对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集. 2、 绝对不等式 我们知道，数轴上表示数a的点与原点的距离称为数a的绝对值，记作|a|，而且：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0. 绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式. 例如：|x|>3，|x-1|≤2都是绝对值不等式. 设计意图：通过举例子，更好地理解绝对值不等式的概念. 尝试与发现：(1)你能给出|x|>3的解集吗？ 法一：定义法：根据绝对值的定义可知，|x|>3等价于或即x>3或x<-3，因此|x|>3的解集为(-∞，-3)∪(3，+∞)． 法二：绝对值的几何意义：因为|x|是数轴上表示数x的点与原点的距离，所以数轴上与原点的距离大于3的点对应的所有数组成的集合就是|x|>3的解集，从而由下图可知所求解集为(-∞，-3)∪(3，+∞)． (2)试总结出m>0时，关于x的不等式|x|>m和|x|≤m的解集． 用类似方法可知，当m>0时，关于x的不等式|x|>m的解为x>m或x<-m，因此解集为(-∞，-m)∪(m，+∞)；关于x的不等式|x|≤m的解为-m≤x≤m，因此解集为[-m，m]. 设计意图：通过类别解出简单绝对值的解法，得到较难绝对值不等式的解法. 尝试与发现：你能给出|a-1|≤2的解集吗？ 如果将a-1当成一个整体，比如令x=a-1，则|a-1|≤2⇔|x|≤2，因此|a-1|≤2的解集可以通过求解|x|≤2得到，所以原不等式的解集为[-1，3]． 下面我们来探讨|a-1|的几何意义，并由此得出不等式|a-1|≤2的解集. 尝试与发现：任意给出几个a的值，求出对应的|a-1|的值，并借助数轴考虑|a-1|的几何意义. 当a=-2时，|a-1|=|-2-1|=3，而且在数轴上，表示-2的点与表示1的点的距离是3；当a=3时，|a-1|=|3-1|=2，而且在数轴上，表示3的点与表示1的点的距离是2．因此，如果数轴上表示a的点为A，表示1的点为B，则A，B之间的距离为|a-1|，如下图所示． 这样一来，数轴上与表示1的点的距离小于或等于2的点对应的所有数组成的集合就是|a-1|≤2的解集，又因为数轴上与表示1的点的距离等于2 的点对应的数分别为-1和3，因此由上图可知|a-1|≤2的解集为[-1，3]． 设计意图：从代数的角度，强调换元的思想，渗透化归与转化的的思想。从几何的角度，要帮助学生理解的几何意义，在此基础上得到的几何意义，即数轴上两点间的距离公式AB=. 教师提问：尝试总结两点间的距离和中点坐标公式. 两点间的距离公式：一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB=|a-b|，这就是数轴上两点之间的距离公式. 中点坐标公式：如果线段AB的中点M对应的数为x，则由AM=MB可知|a-x|=|x-b|，因此：当a<b时，有a<x<b，从而x-a=b-x，所以，当a≥b时，类似可得上式仍成立，这就是数轴上的中点坐标公式. 探索与研究：求下列不等式的解集：(1)|x-1|+|x-2|<5； x>2时，原不等式化为x-1+x-2<5，则x<4，所以2<x<4；1≤x≤2时，原不等式化为x-1-(x-2)<5，即1<5，所以1≤x≤2；x<1时，原不等式化为-(x-1)-(x-2)<5，则x>-1，所以-1<x<1．综上：原不等式的解集为(-1，4)． (2)|x-1|+|x-2|≥3； x>2时，原不等式化为x-1+x-2≥3，则x≥3，所以x≥3；1≤x≤2时，原不等式化为x-1-(x-2)≥3，即1<3，所以∅；x<1时，原不等式化为-(x-1)-(x-2)≥3，则x≤0，所以x≤0．综上：原不等式的解集为(-∞，0]∪[3，+∞)． (3)|x-1|+|x-2|>； x>2时，原不等式化为x-1+x-2>，则x>，所以x>2；1≤x≤2时，原不等式化为x-1-(x-2)>，即1>，所以1≤x≤2；x<1时，原不等式化为-(x-1)-(x-2)>，则x<，所以x<1．综上：原不等式的解集为R. (4)|x-1|+|x-2|<. x>2时，原不等式化为x-1+x-2<，则x<，所以(-∞，)∪(2，+∞)；1≤x≤2时，原不等式化为x-1-(x-2)<，即1>，所以∅；x<1时，原不等式化为-(x-1)-(x-2) <，则x>，所以(-∞，1)∪(，+∞)．综上：原不等式的解集为∅． 【课堂例题】 例1：求不等式组的解集． 解：①式两边同时加上-1，得2x≥10，这个不等式两边同时乘以，得x≥-5，因此①的解集为[-5，+∞).类似地，可得②的解集为(-∞，-3).又因为[-5，+∞)∩(-∞，-3)=[-5，-3)，所以原不等式组的解集为[-5，-3). 例2：设数轴上点A与数3对应，点B与数x对应，已知线段AB的中点到原点的距离不大于5，求x的取值范围． 解：因为AB的中点对应的数为，所以由题意可知，即|3+x|≤10，因此-10≤3+x≤10，所以-13≤x≤7，因此x的取值范围是[-13，7]. 【课堂巩固】 1.若不等式组的解集是，则m的取值范围( ) A. B. C. D.无法确定 2.绝对值不等式的解集是( ) A. B. C. D. 3.若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 【小结作业】 67页的课后习题 【板书设计】 2.2.2 不等式的解集 1.不等式与不等式组的概念 2.绝对值不等式的概念 3.两点间的距离公式 4.中点坐标公式 【教学反思】 课后 反思 优点： 不足： 改进措施： 课堂 评价 学科网（北京）股份有限公司 $