2.2.2 不等式的解集教学设计——2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

   2.2.2 不等式的解集

【课程基本信息】

年级	高一	课题	不等式的解集
课时	1课时	授课教师

【教学目标】

1.掌握解不等式组解集的方法.
2.理解绝对值的定义，借助数轴解决简单绝对值不等式.

3.掌握并理解数轴上两点之间的距离公式和数轴上的中点坐标公式.

【教学重点】

掌握解不等式组解集的方法.

【教学难点】

借助数轴解决简单绝对值不等式

【教学过程】

一、不等式的解集与不等式组的解集

从初中数学中我们已经知道，能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解，解不等式的过程中要不断地使用不等式的性质.

不等式与不等式组的解集的概念：一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集，对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集.

二、绝对不等式

我们知道，数轴上表示数a的点与原点的距离称为数a的绝对值，记作|a|，而且：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.

绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式.

例如：|x|>3，|x-1|≤2都是绝对值不等式.

设计意图：通过举例子，更好地理解绝对值不等式的概念.

尝试与发现：(1)你能给出|x|>3的解集吗？

法一：定义法：根据绝对值的定义可知，|x|>3等价于或即x>3或x<-3，因此|x|>3的解集为(-∞，-3)∪(3，+∞)．

法二：绝对值的几何意义：因为|x|是数轴上表示数x的点与原点的距离，所以数轴上与原点的距离大于3的点对应的所有数组成的集合就是|x|>3的解集，从而由下图可知所求解集为(-∞，-3)∪(3，+∞)．

(2)试总结出m>0时，关于x的不等式|x|>m和|x|≤m的解集．

用类似方法可知，当m>0时，关于x的不等式|x|>m的解为x>m或x<-m，因此解集为(-∞，-m)∪(m，+∞)；关于x的不等式|x|≤m的解为-m≤x≤m，因此解集为[-m，m].

设计意图：通过类别解出简单绝对值的解法，得到较难绝对值不等式的解法.

尝试与发现：你能给出|a-1|≤2的解集吗？

如果将a-1当成一个整体，比如令x=a-1，则|a-1|≤2⇔|x|≤2，因此|a-1|≤2的解集可以通过求解|x|≤2得到，所以原不等式的解集为[-1，3]．

下面我们来探讨|a-1|的几何意义，并由此得出不等式|a-1|≤2的解集.

尝试与发现：任意给出几个a的值，求出对应的|a-1|的值，并借助数轴考虑|a-1|的几何意义.

当a=-2时，|a-1|=|-2-1|=3，而且在数轴上，表示-2的点与表示1的点的距离是3；当a=3时，|a-1|=|3-1|=2，而且在数轴上，表示3的点与表示1的点的距离是2．因此，如果数轴上表示a的点为A，表示1的点为B，则A，B之间的距离为|a-1|，如下图所示．

这样一来，数轴上与表示1的点的距离小于或等于2的点对应的所有数组成的集合就是|a-1|≤2的解集，又因为数轴上与表示1的点的距离等于2 的点对应的数分别为-1和3，因此由上图可知|a-1|≤2的解集为[-1，3]．

设计意图：从代数的角度，强调换元的思想，渗透化归与转化的的思想。从几何的角度，要帮助学生理解的几何意义，在此基础上得到的几何意义，即数轴上两点间的距离公式AB=.