2.2.2 不等式的解集-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“不等式的解集”核心知识点，系统讲解不等式（组）解集的概念及求解方法，含绝对值不等式的几何意义与代数解法，以及数轴上两点间距离公式和中点坐标公式。基于不等式性质，通过实例引入构建从概念到应用的学习支架，为后续复杂不等式学习奠定基础。 资料以三岔路口交通环道模型引入，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。通过分类讨论解绝对值不等式、数轴直观求交集发展数学思维，规范区间与集合表示提升数学语言表达。课中辅助教师引导探究，课后例题与分层练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

2.2.2　不等式的解集 学习任务 1．了解不等式(组)解集的概念，会求简单的一元一次不等式(组)的解集．(数学运算) 2．了解含绝对值不等式的几何意义，能借助数轴解含有绝对值的不等式．(数学抽象、数学运算) 3．掌握数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式．(直观想象) 如图为某三岔路口交通环道的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A，B，C的机动车辆如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出车辆数相等)． 问题　(1)你能用x3，x1，x2分别表示出x1，x2，x3吗？ (2)你能判断出x1，x2，x3的大小吗？ 知识点1　不等式的解集与不等式组的解集 1．不等式的解集：不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集． 2．不等式组的解集：对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集． 1．解不等式的理论依据是什么？ [提示]　不等式的性质． 知识点2　绝对值不等式 1．定义：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式． 2．含绝对值不等式的解法 (1)|x|＝ (2)当m＞0时，|x|＞m的解集为(－∞，－m)∪(m，＋∞)，|x|≤m的解集为[－m，m]． 2．若m＜0，|x|≤m的解集是什么？ [提示]　∅． 知识点3　数轴上的坐标与距离 1．两点间的距离公式 一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝|a－b|，这就是数轴上两点之间的距离公式． 2．中点坐标公式 若线段AB的中点M对应的数为x，则x＝就是数轴上的中点坐标公式． 1．(1)不等式2x－＞0的解集为________． (2)不等式组的解集为________． (1)　(2)　[(1)由2x－＞0解得x＞，所以不等式2x－＞0的解集为． (2)由－x＋2＞0解得x＜2，由2x＋1＞0解得x＞－． 不等式组的解集为它们的交集，故－＜x＜2，即解集为．] 2．(1)不等式|x|＞2的解集为________． (2)不等式|x－1|≤2的解集为________． (1)(－∞，－2)∪(2，＋∞)　(2)[－1，3]　[(1)由|x|＞2，解得x＜－2或x＞2． 所以不等式的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)． (2)由|x－1|≤2得－2≤x－1≤2，解得－1≤x≤3． 所以不等式的解集为[－1，3]．] 3．若A，B两点在数轴上的坐标分别为A(2)，B(－4)，则AB＝__________，线段AB的中点M的坐标为________． 6　－1　[AB＝|2－(－4)|＝6； 线段AB的中点M的坐标为＝－1．] 类型1　不等式组的解法 【例1】　【链接教材P68例1】 设a为实数，解关于x的一元一次不等式组 [解]　根据不等式的性质，原不等式组等价于整理得 可以在数轴上表示不等式组的解集，如图所示． 因此，当a>0时，解集为；当a≤0时，解集为∅． 【教材原题P68例1】 例1　求不等式组的解集． [解]　①式两边同时加上－1，得 2x≥－10， 这个不等式两边同时乘以，得x≥－5，因此①的解集为[－5，＋∞)． 类似地，可得②的解集为(－∞，－3)． 又因为[－5，＋∞)∩(－∞，－3)＝[－5，－3)， 所以原不等式组的解集为[－5，－3)． 　解不等式(组)的注意点 (1)移项时要改变项的符号． (2)不等号的两边同乘负数时，要改变不等号的方向． (3)不等式组的解集是构成不等式组的各个不等式解集的交集． 提醒：求解一元一次不等式组，需要分清“同大取大”还是“同小取小”，是“取中间”还是“取两边”，分不清时可以利用数轴． [跟进训练] 1．已知关于x的不等式组的解集为(1，3)，则a的值为________． 4　[由2x＋1＞3，得x＞1，由a－x＞1，得x＜a－1． 又∵不等式组的解集为(1，3)， ∴a－1＝3，即a＝4．] 类型2　含绝对值的不等式的解法 　|ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c(c＞0)型的不等式的解法 【例2】　求下列绝对值不等式的解集： (1)|3x－1|≤6； (2)3≤|x－2|<4． [思路导引]　去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式． [解]　(1)因为|3x－1|≤6⇔－6≤3x－1≤6， 即－5≤3x≤7，从而得－≤x≤， 所以原不等式的解集是． (2)因为3≤|x－2|＜4，所以3≤x－2＜4或－4＜x－2≤－3，即5≤x＜6或－2＜x≤－1． 所以原不等式的解集为{x|－2＜x≤－1或5≤x＜6}． 　解绝对值不等式的等价转化法 (1)形如|x|＜a，|x|＞a(a＞0)型不等式： ①|x|＜a⇔－a＜x＜a． ②|x|＞a⇔x＞a或x＜－a． (2)形如a＜|x|＜b(b＞a＞0)型不等式： a＜|x|＜b(0＜a＜b)⇔a＜x＜b或－b＜x＜－a． [跟进训练] 2．解下列不等式： (1)|3－2x|＜9； (2)4＜|3x－2|＜8． [解]　(1)∵|3－2x|＜9，∴|2x－3|＜9． ∴－9＜2x－3＜9．即－6＜2x＜12．∴－3＜x＜6． ∴原不等式的解集为(－3，6)． (2)由4＜|3x－2|＜8， 得∴ ∴ ∴原不等式的解集为． 　含有两个绝对值的不等式的解法 【例3】　解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3． [思路导引]　可以借助数轴利用绝对值的几何意义求解，也可以利用分段讨论法去掉绝对值转化为一元一次不等式求解． [解]　(法一)如图，设数轴上与－1，1对应的点分别为A，B，那么A，B两点间的距离为2，因此区间[－1，1]上的数都不是不等式的解．设在A点左侧有一点A1到A，B两点的距离和为3，A1对应数轴上的x． 所以－1－x＋1－x＝3，得x＝－． 同理设B点右侧有一点B1到A，B两点的距离和为3，B1对应数轴上的x， 所以x－1＋x－(－1)＝3．所以x＝．从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都小于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3， 所以原不等式的解集是． (法二)当x≤－1时，原不等式可以化为－(x＋1)－(x－1)≥3，解得x≤－． 当－1＜x＜1时，原不等式可以化为x＋1－(x－1)≥3，即2≥3，不成立，无解． 当x≥1时，原不等式可以化为x＋1＋x－1≥3，解得x≥． 综上，原不等式的解集为． 　含有两个绝对值不等式的解法 (1)利用绝对值的几何意义解不等式 ①|a－b|的几何意义是数轴上表示a的点与表示b的点之间的距离． ②利用绝对值的几何意义解决含有两个绝对值的不等式|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c比较直观，但只适用于数据较简单的情况． (2)用分段讨论法解不等式 ①令每个绝对值内的代数式为零，并求出相应的根． ②将这些根按从小到大的顺序排列，把实数集分为若干个区间． ③在所分区间内去掉绝对值得若干个不等式，解这些不等式，求出解集． ④各个不等式解集的并集就是原不等式的解集． [跟进训练] 3．解不等式|x－1|＋|2－x|＞3＋x． [解]　把原不等式变为|x－1|＋|x－2|＞3＋x， (1)当x≤1时，原不等式变为－(x－1)－(x－2)＞3＋x，解得x＜0； (2)当1＜x≤2时， 原不等式变为x－1－(x－2)＞3＋x，解得x∈∅； (3)当x＞2时， 原不等式变为x－1＋x－2＞3＋x，解得x＞6． 综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪(6，＋∞)． 类型3　数轴上的距离问题 【例4】　【链接教材P70例2】 已知数轴上三点P(－8)，Q(m)，R(2)． (1)若其中一点到另外两点的距离相等，求实数m的值； (2)若PQ中点到线段PR中点的距离大于1，求实数m的取值范围． [解]　(1)若P是线段QR的中点，则－8＝， ∴m＝－18； 若Q是线段PR的中点，则m＝＝－3； 若R是线段PQ的中点，则2＝， ∴m＝12． (2)由题意，知＞1，即＞1， ∴－1＞1或－1＜－1， 解得m＞4或m＜0， ∴实数m的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)． 【教材原题P70例2】 例2　设数轴上点A与数3对应，点B与数x对应，已知线段AB的中点到原点的距离不大于5，求x的取值范围． [解]　因为AB的中点对应的数为，所以由题意可知 ≤5， 即|3＋x|≤10，因此－10≤3＋x≤10， 所以－13≤x≤7， 因此x的取值范围是[－13，7]． 　数轴上基本公式的应用 (1)已知数轴上两点的坐标，可用两点间的距离公式求距离，若已知两点间的距离，也可用距离公式求相应点的坐标． (2)中点坐标公式可以解决三点共线问题．其中已知两点坐标，可用公式求第三点的坐标． [跟进训练] 4．已知数轴上的三点A，B，P的坐标分别为A(－1)，B(3)，P(x)． (1)点P到A，B两点的距离都是2时，求P(x)，此时P与线段AB是什么关系？ (2)在线段AB上是否存在一点P(x)，使得P到A和B的距离都是3？若存在，求P(x)，若不存在，请说明理由． [解]　(1)由题意知 可以化为或 或或 解得x＝1． ∴点P的坐标为P(1)，此时P为AB的中点． (2)不存在这样的P(x)，理由如下： ∵AB＝|1＋3|＝4<6， ∴在线段AB上找一点P使|PA|＋|PB|＝3＋3＝6是不可能的． 1．(教材P70练习AT1(1)改编)不等式3x＋6≤2x的解集为(　　) A．[－6，＋∞)　　 B．(－∞，－6] C．[6，＋∞) D．(－∞，6] B　[移项得3x－2x≤－6，即x≤－6，故原不等式的解集为(－∞，－6]．] 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D B　[由不等式组得 即－1≤x＜2，数轴表示正确的为B．] 3．已知数轴上两点A(4)，B(x)，若线段AB的中点到原点的距离不小于2，则x的取值范围是________． (－∞，－8]∪[0，＋∞)　[线段AB的中点为，由条件知≥2， 解得x≤－8或x≥0．] 4．不等式|x－2|－|x－1|＞0中x的取值范围为________． 　[原不等式等价于|x－2|＞|x－1|，则|x－2|2＞|x－1|2，解得x＜， 即原不等式的解集为．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．一元一次不等式组解集的求解策略是怎样的？ [提示]　 不等式组 数轴表示 解集 一般规律(口诀) (b，＋∞) 同大取大 (－∞，a) 同小取小 (a，b) 大小小大中间找 ∅ 大大小小无处找 2．如何解含有绝对值的不等式？ [提示]　(1)含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集 不等式 a＞0 a＝0 a＜0 |x|＜a {x|－a＜x＜a} ∅ ∅ |x|＞a {x|x＜－a或x＞a} {x|x∈R且x≠0} R (2)|ax＋b|≤c和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c． (3)|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法 ①利用绝对值的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“分段讨论法”求解，体现了分类讨论的思想． 课时分层作业(十四)　不等式的解集 一、选择题 1．在一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是(　　) A．4 B．5　　　　 C．6 D．7 C　[解不等式2x＋1>0，得x>－．解不等式x－5≤0，得x≤5．所以不等式组的解集为，整数解为0，1，2，3，4，5，共6个．] 2．若不等式组有解，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－36) B．(－∞，－36] C．(－36，＋∞) D．[－36，＋∞) C　[解不等式1＋x<a，得x<a－1．解不等式＋1≥－1，得x≥－37．因为不等式组有解，所以a－1>－37，即a>－36．] 3．不等式1≤|2x－1|<2的解集为(　　) A． B． C． D． D　[由1≤|2x－1|<2，可得1≤2x－1<2或－2<2x－1≤－1，因此－<x≤0或1≤x<．] 4．不等式组的解集是(1，＋∞)，则m的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．(－∞，1] C．[0，＋∞) D．(－∞，0] D　[不等式整理，得由不等式组的解集为(1，＋∞)，得到m＋1≤1，解得m≤0．故选D．] 5．不等式|x＋3|－|x－1|≥－2的解集为(　　) A．(－2，＋∞) B．(0，＋∞) C．[－2，＋∞) D．[0，＋∞) C　[当x≥1时，原不等式可化为x＋3－x＋1≥－2，即4≥－2，显然成立，所以x≥1； 当－3≤x＜1时，原不等式可化为x＋3＋x－1≥－2，解得x≥－2，所以－2≤x＜1； 当x＜－3时，原不等式可化为－x－3＋x－1≥－2，即－4≥－2，显然不成立，所以x＜－3舍去． 综上，原不等式的解集为[－2，＋∞)．] 二、填空题 6．对于任意实数x，不等式|x＋7|≥m＋2恒成立，则实数m的取值范围是________． (－∞，－2]　[令y＝|x＋7|，要使任意x∈R，|x＋7|≥m＋2恒成立，只需m＋2≤ymin， 因为ymin＝0，所以m＋2≤0， 所以m≤－2，所以m的取值范围是(－∞，－2]．] 7．已知数轴上A(－1)，B(x)，C(6)，若线段AB的中点到C的距离小于5，则x的取值范围是________． {x|3＜x＜23}　[设AB的中点为D， 则D， 因为中点到C的距离小于5，可得＜5，1＜＜11，所以3＜x＜23．] 8．若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为，则a＝________． －3　[∵关于x的不等式|ax－2|<3的解集为， ∴－和是|ax－2|＝3的两个根， ∴∴a＝－3．] 三、解答题 9．解下列不等式： (1)|2x－1|<x； (2)|2x－3|＋|x－1|≥5． [解]　(1)当x≥时，2x－1<x，解得x<1， 当x<时，1－2x<x，解得x>， ∴不等式的解集是． (2)原不等式可化为 或或 解得x≤－或x≥3． ∴原不等式的解集为∪[3，＋∞)． 10．(多选)若不等式|x－a|＜1成立的充分不必要条件是＜x＜，则实数a的取值可以是(　　) A．－ B． C． D．0 BCD　[由|x－a|＜1可得a－1＜x＜a＋1，它的充分不必要条件是＜x＜， 即是{x|a－1＜x＜a＋1}的真子集，则且等号不同时成立，解得－≤a≤．] 11．若不等式|2x－a|≤x＋3对任意x∈[0，2]恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，3) B．[－1，3] C．(1，3) D．[1，3] B　[不等式|2x－a|≤x＋3去掉绝对值符号得－x－3≤2x－a≤x＋3，即对任意x∈[0，2]恒成立，变量分离得 只需即 所以a的取值范围是[－1，3]．故选B．] 12．已知[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.3]＝2，[－1.8]＝－2，则关于x的方程[1＋|x＋1|]＝3的解集为(　　) A．{3，1} B．{x|－4≤x≤－3或－1≤x≤1} C． D．{x|－4<x≤－3或1≤x<2} D　[因为[x]表示不超过x的最大整数，[1＋|x＋1|]＝3，所以3≤1＋|x＋1|<4，即2≤|x＋1|<3，即解得－4<x≤－3或1≤x<2．所以关于x的方程[1＋|x＋1|]＝3的解集为{x|－4<x≤－3或1≤x<2}．] 13．关于x的一元一次不等式组中，两个不等式的解集在同一数轴上的表示如图所示，则该不等式组的解集是________，m的值为________． (－∞，－1]　2　[解2－x＞1得x＜1，解≤m得x≤2m－5， 由题图知这个不等式组的解集是(－∞，－1]且2m－5＝－1，所以m＝2．] 14．已知关于x的不等式组 (1)当m＝－11时，求不等式组的解集； (2)当m取何值时，该不等式组的解集是∅？ [解]　(1)当m＝－11时， 解该不等式组的解集为． (2)解不等式m－2x＜x－1，得x＞． 因为不等式组的解集为∅， 所以≥－，所以m≥－． 15．对x，y定义一种新运算T，规定：T(x，y)＝(其中a，b均为非零常数)，这里等式右边是普通的四则运算，例如：T(0，1)＝＝b．已知T(1，－1)＝－2，T(4，2)＝1． (1)求a，b的值． (2)若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求实数p的取值范围． [解]　(1)由T(1，－1)＝－2，T(4，2)＝1，得 即解得 (2)由(1)得，T(x，y)＝， 则不等式组 可化为解得－≤m＜． 因为不等式组 恰好有3个整数解，所以2＜≤3， 解得－2≤p＜－． 故实数p的取值范围是． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $