6.3 平面向量线性运算的应用课件-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第二册

该高中数学课件聚焦平面向量线性运算的应用，涵盖用向量法解决平面几何与物理问题。课堂导入通过回顾向量在三角形、平行四边形中的已有应用，搭建从向量运算到实际应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以逻辑推理为核心，通过几何例题（如三角形中位线定理证明、重心性质探究）和物理问题（如力的平衡、速度合成），展示向量法“转化—运算—还原”的解题步骤，培养数学思维与应用意识。课堂练习结合几何与物理情境，帮助学生用数学眼光观察现实，教师可借助清晰结构提升教学效率，学生能理解向量工具性，提升解决实际问题能力。

人教B版(2019)必修第二册 6.3 平面向量线性运算的应用 第六章 平面向量初步 1 学习目标 会用向量法计算或证明平面几何中的相关问题，体现逻辑推理能力（重点） 会用向量法解决某些简单的物理学中的问题，体现逻辑推理能力（重难点） 2 新课导入 在学习向量及其运算时，我们已经看到向量在三角形、平行四边形等平面几何中的应用.实际上，利用平面向量可以很好地描述有关全等、相似、平行等关系，从而可以求解和证明平面几何问题. 3 新课学习 用向量方法解决平面几何问题的步骤 (1)巧转化：建立几何元素与向量的关系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. (2)找关系：通过向量运算，研究几何元素之间的关系. (3)要还原：把运算结果“翻译”成几何关系，即把向量问题还原为几何问题. 4 新课学习 例1：如图所示，MN是△ABC的中位线，求证：MN∥BC且MN= BC. A B C M N 因为M，N 分别是AB，AC的中点，所以 因此 从而可知MN∥BC，且MN= BC. 例1的结论是大家非常熟悉的三角形中位线定理，初中的时候我们是利用平行四边形的性质来证明的，但这里只用到了平面向量的线性运算. 5 新课学习 例2：如图所示，已知平行四边形ABCD中，E、F在对角线BD上，并且BE=FD. 求证：四边形AECF是平行四边形. E F A B C D 由已知可设 则 又因为a+b=b+a，所以 因此AE//FC且AE=FC，所以四边形AECF是平行四边形. 例2用初中的三角形全等也能证明，但是我们这里还只是只用到了平面向量的线性运算. 6 新课学习 例3：如图所示，已知△ABC中，E，F分别AB，BC的中点，AF与CE相交于点O，求AO:OF与CO:OE的值. B A C F E O 因为 又因为E、F都是中点，所以 7 新课学习 例3：如图所示，已知△ABC中，E，F分别AB，BC的中点，AF与CE相交于点O，求AO:OF与CO:OE的值. B A C F E O 由共线定理可知s=t=2，因此 AO:OF=CO:OE=2:1 . 例3中的O点是△ABC的重心. 同样，我们这里是利用平面向量的线性运算得到了三角形重心的一个性质，这个性质如果用相似三角形等知识来证明，需要添加辅助线. 8 新课学习 我们在物理中已经学习过，利用向量可以描述物理学中的位移、力、速度、加速度等，因此，在涉及这些量的运算时，我们都可以借助向量来完成． 例如：从物理学中我们知道，同一个力F可以分解成无数对大小、方向不同的分力．从数学上来说，这是因为对于同一条对角线，可以有无数个平行四边形，如图所示． F 9 新课学习 思考一下：当两个力或者三个力合力为0，这两个力或者三个力有什么关系？ 如果一个质点O处于平衡状态，而且受到多个力的作用，那就是说这些力的合力为零．特别地，如果两个力F1，F2的合力为零，则 F1+F2=0， 也就是说，这两个力互为相反向量，如图(1)所示； O F1 F2 (1) 如果三个力F1，F2，F3的合力为零，则 F1+F2+F3=0， 也就是说，其中任意两个力的合力是另一个力的相反向量，如图(2)所示. O F1 F2 F1＋F2 F3 (2) 10 新课学习 拓展：数学中的两类物理背景问题 1.力：力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，是数学中的向量，可用向量求和的平行四边形法则求两个力的合力. 2.速度：速度是具有大小和方向的量，因而可用向量求和的平行四边形法则或三角形法则求两个速度的合速度. 11 新课学习 例4：如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知物体所受的重力大小为50 N，求每条绳上的拉力大小. F1 F2 45° 45° 因为物体处于平衡状态，所以F1+F2是重力的相反向量，因此|F1+F2|=50N. 又由图与向量加法的平行四边形法则可知，F1+F2的方向是竖直向上的，且 |F1+F2|=2|F1|sin 45°=2|F2|sin 45°， 所以 |F1|=|F2|= 因此，每条绳上的拉力为25 N. 12 新课学习 例5：如图(1)所示，把一个物体放在倾角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的弹力F2 ，已知 |G|=100N，求F1，F2大小. F1 F2 30° G (1) F1 x y 30° G F2 (2) 建立如图(2)所示的平面直角坐标系，则 F1=(-|F1|，0)，F2=(0，-|F2|) . 又由已知可得 G=(100sin 30°,100cos 30°)=(50,50)， 且G+F1+F2=0，所以 (50,50)+(-|F1|,0)＋(0,-|F2|)=(0,0)， 从而可知 |F1|=50N，|F2|=50 N. 13 新课学习 用向量方法解决物理问题的步骤 建立模型 问题转化 求解参数 求解参数 把物理问题转化为数学问题 建立以向量为载体的数学模型 求向量的模、夹角等 把所得的数学结论回归到物理问题中 14 课堂练习 A 15 课堂练习 16 课堂练习 B 17 课堂练习 18 课堂练习 A 19 课堂练习 20 课堂练习 A 21 课堂练习 22 课堂练习 B 23 课堂练习 24 课堂练习 10 J 25 课堂练习 26 课堂总结 1.用向量方法解决平面几何问题的步骤 2.用向量方法解决物理问题的步骤 27 谢 谢 观 看 28 $