第六章 平面向量初步 阶段质量评价-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了平面向量的概念、线性运算、坐标表示、共线定理及几何应用等核心知识，通过单项选择、多项选择、填空、解答等题型，将向量加减、数乘、基底表示等知识点串联，帮助学生构建完整的平面向量知识网络。 其亮点在于采用“基础盘查-能力提升”分层设计，如A卷聚焦向量运算基础题，B卷融入几何图形中的向量分解与最值问题，培养学生的几何直观和逻辑推理能力。通过错题解析和变式训练，学生能深化对向量本质的理解，教师可精准把握学情，提升复习针对性与效率。

阶段质量评价 第六章　平面向量初步 A卷——基本知能盘查 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.在△OMN中，-+=(　　) A.0 B.2 C.2 D.2 √ 解析：由题意，-+=++=0. 2.已知平面向量a，b满足a+b=(2，k)，a-b=(1，1).若a∥b，则k= (　　) A.-2 B.- C. D.2 √ 解析：由a∥b知，(a+b)∥(a-b)，则k=2. 3.点C在线段AB上，且=，则下列选项正确的是(　　) A.= B.= C.= D.=- √ 解析：因为点C在线段AB上，且=，所以== ===-，故A正确，B、C、D错误. 4.已知点O(0，0)，向量=(2，3)，=(6，-3)，点P是线段AB靠近A的三等分点，则点P的坐标为(　　) A. B. C. D.或 √ 解析：由已知=(2，3)，=(6，-3)，则=-=(4，-6)， 点P是线段AB靠近A的三等分点，则==， 且=-，则=+=，即P. 5.如图，△ABC中，点N为AC边的中点，点M在BC边上，且MC=2BM，以{}为一组基底，则=(　　) A.-+ B.- C.-+ D.- √ 解析：由题图可知，=+=-=(-)-= -+. 6.在△ABC中，E在边BC上，且EC=3BE，D是边AB上任意一点，AE与CD交于点P，若=x+y，则3x+4y=(　　) A. B.- C.3 D.-3 √ 解析：∵A，P，E三点共线，设=t(0<t<1)， 则=+=+t=+t=t+， 又∵=x+y，所以x=t，y=-t，即3x+4y=3. 7.如图，O为线段A0A2 025外一点，若A0，A1，A2，A3，…，A2 025中任意相邻两点间的距离相等，=a，=b，则用a，b表示+++…+，其结果为(　　) A.2 025(a+b) B.2 026(a+b) C.1 012(a+b) D.1 013(a+b) √ 解析：设A0A2 025的中点为A， 则+=2=+=+(i∈[0，2 025])， 所以+++…+=×2=1 013(a+b). 8.如图，在△ABC中，D是BC的中点，直线l分别与AB，AD，AC交于点M，E，N，且==2=λ，则λ=(　　) A. B. C. D. √ 解析：由=2， 得==(+)==+. 因为M，E，N共线，所以+=1，解得λ=.故选B. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列结论不正确的是(　　) A.若a与b都是单位向量，则a=b B.直角坐标平面上的x轴，y轴都是向量 C.若a与b是平行向量，则a=b D.海拔、温度、角度都不是向量 √ √ √ 解析：若a与b都是单位向量，则它们的模都是1，但方向不一定相同，即a与b不一定相等，故A符合题意；直角坐标平面上的x轴，y轴都有方向，但是没有长度，即直角坐标平面上的x轴，y轴不是向量，故B符合题意；若a与b是平行向量，则它们的方向可能相反，长度也不一定相等，即a与b不一定相等，故C符合题意； 海拔、温度、角度只有大小没有方向，故它们都不是向量，故D不符合题意. 10.已知e1，e2是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是 (　　) A.e1+e2和-e2 B.3e1-e2和-6e1+4e2 C.e1+e2和e2+e1 D.e2和e2+e1 √ √ √ 解析：假设两向量共线，故e1+e2=λ(-e2)，故无解，故e1+e2与-e2不共线，故可作为一组基底，故A正确；设3e1-e2=t(-6e1+4e2)，故故无解，3e1-e2和-6e1+4e2不共线，故可作为一组基底，故B正确；e1+e2=e2+e1，故e1+e2和e2+e1共线，故不能作为一组基底，故C错误；设e2+e1=ae2，无解，故e2和e2+e1不共线，故可作为一组基底，故D正确. 11.如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC， BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与 CD交于点E，则下列说法正确的是 (　　) A. =+ B. =- C. =+ D. =+ √ √ 解析：由DE∥AB，可得△DEN∽△BAN，又OB=OD，N是线段OD的中点， ∴DE=AB，∴=+=+， ∴D错误； ∵==+，∴C正确； ∵=+=(+)+(-)=+，∴A正确，B错误. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12.(5分)已知向量a=(-3，7)，b=(2，-5)，则3a+5b=_________.  解析：因为a=(-3，7)，b=(2，-5)，所以3a+5b=3(-3，7)+5(2，-5) =(1，-4). (1，-4) 13.(5分)已知点A(-1，5)，若向量和向量a=(2，3)同向，=3a，则点B的坐标为__________.  解析：设点B的坐标为(m，n)，则=(m+1，n-5)， 由=3a，得解得 故B(5，14). (5，14) 14.(5分)已知S△ABC=3，点M是△ABC内一点且+2=，则△MBC的面积为_______.  解析：如图，取AC的中点D， 因为+2=，所以+=-2， 故2=-2，即=， 所以点M为BD的中点， 所以S△MBC=S△BCD=S△ABC=. 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤) 15.(13分)计算： (1)(a+b)-(b-a)+(0-a)；(6分) 解：原式=a+b-b+a+0-a =+=a+b. (2)(λ+μ)(2a-b)-(3λ+5μ)(-a-3b)，λ，μ∈R.(7分) 解：原式=(λ+μ)(2a-b)+(3λ+5μ)(a+3b) =2(λ+μ)a-(λ+μ)b+(3λ+5μ)a+3(3λ+5μ)b =(2λ+2μ+3λ+5μ)a+(9λ+15μ-λ-μ)b =(5λ+7μ)a+(8λ+14μ)b. 16.(15分)已知向量a=(1，2)，b=(-1，3)，c=(4，3). (1)求|a|；(2分) 解：|a|==. (2)求满足c=ma+nb的实数m，n的值；(5分) 解：由c=m(1，2)+n(-1，3)=(4，3)， 得解得 (3)若(a+kc)∥(b-a)，求实数k的值.(8分) 解：a+kc=(1，2)+k(4，3)=(4k+1，3k+2)， b-a=(-1，3)-(1，2)=(-2，1)， 因为(a+kc)∥(b-a)， 所以(4k+1)×1-(-2)×(3k+2)=0， 解得k=-. 17.(15分)如图，矩形ABCD中，=2=. 设=a，=b. (1)用a，b表示；(5分) 解：=+=+=a+b， =+=-+2=2a-b. (2)用向量的方法证明：A，F，C三点共线.(10分) 解：证明：由(1)可知=2a-b，所以==a-b， 因为=+=b+a-b==，所以共线， 又直线AF，直线AC有公共点A，所以A，F，C三点共线. 18.(17分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，=2e1+e2，=-e1+λe2，=-2e1+e2，且A，E，C三点共线. (1)求实数λ的值；(8分) 解：由题意得=+=(2e1+e2)+(-e1+λe2)=e1+(1+λ)e2， ∵A，E，C三点共线， ∴存在实数k，使得=k，即e1+(1+λ)e2=k(-2e1+e2)， 得(1+2k)e1=(k-1-λ)e2. ∵e1，e2是平面内两个不共线的非零向量， ∴解得 (2)已知e1=(2，1)，e2=(2，-2)，点D(3，5)，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标.(9分) 解：=+=-3e1-e2 =(-6，-3)+(-1，1)=(-7，-2). ∵A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形， ∴=， 设A(x，y)，则=(3-x，5-y)， ∵=(-7，-2)，∴解得 即点A的坐标为(10，7). 19.(17分)如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC和边 AB上，且DC=2BD，BE=2AE，AD交CE于点P，设 =a，=b.若=t， (1)求实数t；(5分) 解：在△ABC中，由BE=2AE，可得=，且=3， 因为=t，则=(1-t)+t=(1-t)·+t·3，又因为P，A，D三点共线，可得(1-t)+3t=1，解得t=. (2)试用a，b表示；(3分) 解：由(1)知，=(1-t)·+t =·+=a+b. (3)点F在边AC上，且满足B，P，F三点共线，试确定点F的位置.(9分) 解：设=x=x(a-b)，所以=+=xa+(1-x)b， 因为=a+b，又因为B，P，F三点共线，所以=k， 所以解得x=，所以AF=AC，故点F是线段AC上靠近A的五等分点. B卷——高考能力达标 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知向量=(2，-1)，=(3，2)，点C(-1，2)，则点B的坐标为(　　) A.(-2，-1)　 B.(0，5)　 C.(2，-5)　 D.(2，-1) √ 解析：由题意得，=-=(2，-1)-(3，2)=(-1，-3)，设点B的坐标为(x，y)，则=(x+1，y-2)=(-1，-3)，所以点B的坐标为(-2，-1). 2.在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若3+=3+ ，则四边形ABCD一定是(　　) A.矩形 B.梯形 C.平行四边形 D.菱形 解析：由3+=3+，得3(-)=-， 所以3=，可得AD∥BC且AD≠BC.所以四边形ABCD一定是梯形. √ 3.如图，在△ABC中，点D是线段AC上靠近A的一个三等分点，点E是线段AB的中点，则=(　　) A.-- B.-+ C.-- D.- √ 解析：由题意得=-=-=--(-)=--. 4.已知向量m=(2，λ)，n=(2-λ，-4)，若m与n共线且反向，则实数λ的值为 (　　) A.4 B.2 C.-2 D.-2或4 解析：由向量m=(2，λ)，n=(2-λ，-4)共线，得λ(2-λ)=-8，解得λ=-2或λ=4，当λ=-2时，m=(2，-2)，n=(4，-4)，m与n同向，不符合题意；当λ=4时，m=(2，4)，n=(-2，-4)，m与n反向，符合题意，所以实数λ的值为4. √ 5.如图，点O是△ABC的重心，点D是边BC上一点，且=4 =m+n，则=(　　) A. B.- C.- D. √ 解析：如图所示，延长AO交BC于E， 由已知O为△ABC的重心，则点E为BC的中点， 可得=2，且=(+)， 又由=4，可得D是BC的四等分点， 则=+=+=×(+)+(-)=-+，因为=m+n，所以m=-，n=，所以=-. 6.若e1，e2是一组基底，向量m=xe1+ye2，则称(x，y)为向量m在基底e1，e2下的坐标，现已知向量a在基底p=(1，-1)，q=(2，1)下的坐标为(-2，1)，则向量a在另一组基底m=(-2，1)，n=(-4，-1)下的坐标为 (　　) A.(2，-1) B.(1，-2) C.(-1，2) D.(-2，1) √ 解析：由题意，得a=-2(1，-1)+(2，1)=(0，3)；设a=xm+yn， 即(0，3)=x(-2，1)+y(-4，-1)=(-2x-4y，x-y)， 则解得 7.已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心(三条中线的交点)，AB边的中点为D.动点P满足=，则点P一定为△ABC的(　　) A.线段CD的中点 B.线段CD靠近C的四等分点 C.重心 D.线段CD靠近C的三等分点 √ 解析：由O是△ABC的重心，得+= =-2， 则==(+2)=(-4)=-， 所以点P为△ABC的线段CD靠近C的三等分点.故选D. 8.如图，在正方形ABCD中，CE=2DE，EB和AC相交于 点G，且F为AG上一点(不包括端点)，若=λ+μ， 则+的最小值为(　　) A.5+3 B.6+2 C.8+ D.15 √ 解析：由题可设BG=xBE，x∈(0，1)， 则由题意得=x=x(+)=x+x=x+x， 因为A，G，C三点共线，故x+x=1⇒x=，所以=， 所以=λ+μ=λ+μ， 又A，G，F三点共线，所以λ+μ=1， 所以+==6++≥6+2=6+2， 当且仅当=，即μ=λ=时，等号成立， 故+的最小值为6+2. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列各组向量中，可以用来表示向量a=(-1，2)的是(　　) A.e1=(1，1)，e2=(1，2) B.e1=(-1，1)，e2=(-2，2) C.e1=(-1，2)，e2=(3，-6) D.e1=(1，2)，e2=(-3，-4) √ √ √ 解析：因为1×2≠1×1，所以e1，e2不共线，可以表示向量a，A正确；因为-1×2=1×(-2)，所以e1，e2共线，又向量a与e1不共线，B错误；因为a=e1+0×e2，可以表示向量a，C正确；因为1×(-4)≠2×(-3)，所以e1，e2不共线，可以表示向量a，D正确. 10.设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是 (　　) A.若=+，则点M是BC的中点 B.若=-+，则点M是△ABC的重心 C.若=2-，则M，B，C三点共线 D.若=，则=+ √ √ √ 解析：如图1所示，根据向量的平行四边形法则，可得+= =2，若=+，可得M为BC的中点，所以A正确；若M为△ABC的重心，则满足++=0， 即=--，所以B不正确； 由=2-，可得-=-，即=， 所以M，B，C三点共线，所以C正确； 如图2所示，由=， 可得=+=+=+，所以D正确. 11.如图，在△ABC中，=2，E为AB中点，BD，CE交于点M，则(　　) A.=+ B.= C.四边形AEMD的面积是△ABC面积的 D.△BMC和△CMD的面积相等 √ √ 解析：因为=2，即D为AC(靠近A点)的三等分点，所以=+=+=+(-)=+，所以A正确； 设=λ， 由点E为AB的中点，可得=-=-， 可得=+=+λ=+λ=+(1-λ)， 因为B，M，D三点共线，可得=μ=+， 所以+(1-λ)=+，可得=且1-λ=， 解得λ=，μ=，即=，所以B正确； 设△ABC的面积为S，因为=2， 可得S△ABD=S， 又因为E为AB中点，且=， 可得S△BME=S△ABD=S， 所以四边形AEMD的面积为SAEMD=S△ABD-S△BME=S-S=S， 所以C错误； 由=，可得S△BMC=S△BCD，所以S△CMD=S△BCD， 所以△BMC和△CMD的面积不相等，所以D错误. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12.(5分)在△ABC中，=c，=b，点M满足=λ(0<λ<1)，若=b+c，则λ的值为_____.  解析：由题意可得，=+=+λ=+λ(-)=λ+(1-λ)=λb+(1-λ)c=b+c.所以λ=. 13.(5分)一条河宽为8 000 m，一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为____ h.  解析：如图，则v实际=v船+v水=v1+v2，|v1|=20，|v2|=12， ∴|v实际|===16(km/h). ∴所需时间t==(h). ∴该船到达B处所需的时间为 h. 14.(5分)设=(-2，4)，=(-a，2)，=(b，0)，其中a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则2a+b=______，+的最小值为_______.  2　 + 解析：由=(-2，4)，=(-a，2)，=(b，0)可得=(-a+2，-2)，=(b+2，-4)， 由于A，B，C三点共线，故=(-a+2，-2)，=(b+2，-4)共线，所以(-a+2)×(-4)-(-2)(b+2)=0，即2a+b=2， 则+=(2a+b)=≥=+，当且仅当=，结合2a+b=2，即a=2-，b=2-2时取等号. 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知a=(1，0)，b=(2，1). (1)求|a+3b|；(6分) 解：因为a=(1，0)，b=(2，1)， 所以a+3b=(1，0)+3(2，1)=(7，3)， 则|a+3b|==. (2)当k为何值时，ka-b与a+3b平行?(7分) 解：a+3b=(1，0)+3(2，1)=(7，3)， ka-b=k(1，0)-(2，1)=(k-2，-1)， 当ka-b与a+3b平行时，则3(k-2)+7=0， 解得k=-. 16.(15分)已知向量u=(x，y)与向量v=(y，2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示. (1)证明：对于任意向量a，b及常数m，n，恒有f(ma+nb)=mf(a)+ nf(b)成立；(6分) 解：证明：设向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2). 则f(mx1+nx2，my1+ny2) =(my1+ny2，2my1+2ny2-mx1-nx2)， 又mf(a)=(my1，2my1-mx1)，nf(b)=(ny2，2ny2-nx2)， 所以mf(a)+nf(b)=(my1+ny2，2my1+2ny2-mx1-nx2)， 所以f(ma+nb)=mf(a)+nf(b). (2)设a=(1，1)，b=(1，0)，求向量f(a)及f(b)的坐标；(4分) 解：因为a=(1，1)， 所以f(a)=(1，2×1-1)=(1，1)， 又b=(1，0)，所以f(b)=(0，2×0-1)=(0，-1). (3)求使f(c)= (3，5)成立的向量c.(5分) 解：设向量c=(x3，y3)，则解得 所以c=(1，3). 17.(15分)如图，在直角梯形OABC中，OA∥CB， OA⊥OC，OA=2BC=2OC，M为AB上靠近B的三 等分点，OM交AC于D. (1)用和表示；(7分) 解：∵OA=2BC，∴=，又∵M为AB上靠近B的三等分点，∴=. ∴=(-)=(+)-=+-=-，∴=+=+-=+. (2)求证：=3.(8分) 解：证明：∵OM交AC于D，∴=t，由(1)知=+. ∴=t=t=+.∵A，D，C三点共线，∴+=1，解得t=， ∴=.即=3. 18.(17分)已知A(-2，1)，B(-1，3)，C(3，4)，=(1-λ)+λ，λ∈R. (1)若点D在第一、三象限的角平分线上，求λ的值；(7分) 解：由点D在第一、三象限的角平分线上，设D(x，x)， 则=(1，2)，=(5，3)，=(x+2，x-1)，又=(1-λ)+λ， 所以(x+2，x-1)=(1-λ)(1，2)+λ(5，3)=(1+4λ，2+λ)，即解得λ=. (2)若点D为线段BC的一个三等分点，求D的坐标.(10分) 解：设线段BC的三等分点为D，D'，如图， 则设D(a，b)， D'(m，n)，则=(4，1)，=(a+2，b-1)， =(m+2，n-1)， 由=+，即(a+2，b-1)=，解得a=，b=， 即D，由=+，即(m+2，n-1)=， 解得m=，n=，即D'，所以线段BC的三等分点为D和D'. 19.(17分)如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，A(0，)，C(，0)，· =·=0，||=||，AD与BC交于点M. (1)设=，试用表示；(10分) 解：由题意可得AC⊥AB，AB⊥BD，因为||=||，||=||， 所以BC⊥CD， 因为=(，-)，=()， 所以||=||==2，||==2，||==4， 所以=2. =+=+=+.设=λ+(1-λ)=μ， 其中λ，μ∈(0，1).因为=+=+， 所以=μ=μ+μ，所以解得 故=+=-. (2)E为线段BD上的一个动点，若△ABE的面积等于四边形ABDC面积的一半，求此时的坐标.(7分) 解：因为四边形ABDC的面积为×(2+4)×2=6，所以△ABE的面积为3. 设||=a，则S△ABE=×2a=3，解得a=3， 则===. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $