第六章 平面向量初步（复习课件）数学人教B版2019必修第二册

单元复习课件 第六章平面向量初步 人教B版2019必修第二册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.掌握向量作为“既有大小又有方向”量的核心属性，理解其线性运算（加、减、数乘）的几何与代数双重意义. 3. 从“数量”到“向量”的思维转换，以及灵活运用平面向量基本定理（基底分解思想）将几何问题转化为向量问题进行求解. 2.向量的线性运算（特别是几何意义）、平面向量基本定理（基底思想）以及向量的坐标表示与运算. 单元学习目标 向量 向量的坐标运算 基本概念 向量的定义 零向量、单位向量 运算法则 向量的加法 向量的数乘 直线上向量的坐标运算 平面上向量的坐标运算 基本定理 向量的基本定理 向量的实际应用 向量的减法 单元知识图谱 考点一、向量的概念 知识点一　向量的概念 既有________，又有________的量称为向量． 大小 方向 理解向量概念应注意问题 (1)向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． (2)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个因素． (3)向量与向量之间不能比较大小． 考点串讲 知识点二　向量的几何表示 1．向量的表示方法 方向 起点 终点 向量 考点一、向量的概念 考点串讲 2．向量的长度(模) (或)表示向量(或)的______，即长度(也称模). 3．与向量有关的概念 大小 长度为0 1个 长度相等 方向相同 任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定． 考点一、向量的概念 考点串讲 相同或相反 非零 a∥b 任一向量 共线向量与平行向量 (1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别． (2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同． (3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同． 考点一、向量的概念 考点串讲 知识点一　向量加法的定义 求__________的运算，叫作向量的加法． 两个向量和 知识点二　向量加法的运算法则 1．三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，则向量________叫作a与b的和(或和向量)，记作________，即a＋b＝＝________． 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 规定：零向量与任一向量a的和都有a＋0＝________＋________＝a. a＋b 0 a 考点二、向量的加法 考点串讲 2．平行四边形法则 如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的__________就是a与b的和，我们把这种作两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则． 对角线 考点二、向量的加法 理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则 (1)两个法则的使用条件不同： 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和． (2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的． (3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同． 考点串讲 向量与非零向量的模及方向的联系 (1)当向量与不共线时，向量的方向与都不相同，且，几何意义是三角形两边之和大于第三边． (2)当向量与同向时，向量与(或)方向相同，且. (3)当向量与反向时，且时，与方向相同(与方向相反)，且. 考点二、向量的加法 考点串讲 知识点一　相反向量 与长度相等，方向相反的向量，叫作的相反向量，记作________. (1)零向量的相反向量仍是零向量，即－＝. (2)任一向量与其相反向量的和是零向量，即＋(－)＝________. (3)如果，是互为相反的向量，则＝－，＝－，＋＝. 知识点二　向量的减法 (1)定义：－＝＋(－)，即减去一个向量相当于加上这个向量的________． (2)几何意义：已知，，在平面内任取一点O，作＝，＝，则＝－，即－可以表示为 指向____________的向量． － 相反向量 从向量的终点 向量的终点 考点三、向量的减法 考点串讲 准确理解向量减法的几何意义 (1)向量减法是向量加法的逆运算． 设，则， (2)对于两个共起点的向量，它们的差就是连接这两个向量的终点，方向指向被减的向量． (3)以向量，为邻边作平行四边形，则两条对角线的向量为， ＝，. 考点三、向量的减法 考点串讲 知识点一　向量数乘运算 实数λ与向量的积是一个 ，这种运算叫作向量的________，记作________，它的长度与方向规定如下： (1)|λ|＝|λ|||. (2)当λ>0时，λ的方向与的方向______； 当λ<0时，λ的方向与的方向______． (3)当λ＝0时，λ＝0. 向量 数乘 λ 相同 相反 考点四、数乘向量 理解数乘向量应注意的问题 (1)向量数乘的结果依然是向量，要从长度与方向加以理解． (2)实数与向量可以相乘，但是不能相加、减，如，均没有意义． 考点串讲 知识点二　共线向量定理 向量(≠0)与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使____________．   向量共线定理的理解注意点及主要应用 (1)定理中不能漏掉. 若，则实数λ可以是任意实数；若，，则不存在 实数λ，使得. (2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为的一对实数，使，则与共线；若两个非零向量与不共线，且，则必有. 考点四、数乘向量 考点串讲 知识点一　数乘向量的运算律 (1)λ(μ)＝(λμ) (2)(λ＋μ)＝λ＋μ (3)λ(＋)＝λ＋λ 特别地，有(－λ)＝－(λ)＝λ(－) λ(－)＝λ－λ 知识点二　向量的线性运算 向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算． 向量的线性运算，总规定要先计算数乘向量，再按从左往右的顺序进行计算，若有括号，要先算括号内各项．可以简单地写成. 考点五、向量的线性运算 考点串讲 知识点一　共线向量的基本定理 一般地，有如下共线向量基本定理：如果≠且∥，则存在唯一的实数λ，使得＝λ. 考点六、向量的基本定理 在共线向量基本定理中： (1)λ时，通常称为能用表示． (2)其中的“唯一”指的是，如果还有μ，则有.这是因为：由可知，如果，则，与已知矛盾，所以，即. 考点串讲 知识点二　平面向量的基本定理 一般地，有如下平面向量基本定理： 如果平面内两个向量与不共线，则对该平面内任意一个向量，存在唯一的实数对(x，y)，使得＝x＋y. 平面向量基本定理的理解 (1)是同一平面内的两个不共线的向量，的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基底． (2)平面内的任一向量都可以沿基底进行分解． (3)基底确定后，实数是唯一确定的． 考点六、向量的基本定理 考点串讲 知识点一　直线上向量的坐标 1．对于直线l上的任意一个向量，一定存在唯一的实数x，使得＝x，此时，x称为向量的坐标．   值得注意的是，如果直线上向量的坐标为x，则x既能刻画的模，也能刻画向量的方向． 事实上，此时； 而且：当时，的方向与的方向相同；当时，是零向量；当时，的方向与的方向相反．也就是说，在直线上给定了单位向量之后，直线上的向量完全被其坐标确定． 考点七、平面向量的坐标运算 考点串讲 2．事实上，设A(x1)，B(x2)是数轴上两点，O为坐标原点，则＝x1，＝x2，因此＝－＝x2－x1＝(x2－x1)，所以不难看出AB＝||＝|x2－x1|.这就是数轴上两点之间的距离公式． 3．另外，假设M(x)是线段AB的中点，则＝ (＋)＝＝，又因为＝x，因此x＝.这就是数轴上的中点坐标公式． 考点七、平面向量的坐标运算 考点串讲 知识点二　正交分解 1．向量垂直 平面上的两个非零向量与，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量与垂直，记作⊥.为了方便起见，规定零向量与任意向量都垂直． 2．正交分解 如果平面向量的基底{1，2}中，1⊥2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解． 知识点三　平面向量的坐标表示 一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量1，2，对于平面内的向量，如果＝x1＋y2，则称(x，y)为向量的坐标，记作＝(x，y). 考点七、平面向量的坐标运算 考点串讲 平面向量坐标的几点认识 (1)设xy (O为坐标原点)，则向量的坐标就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量的坐标.因此，在直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一个有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的． (2)两向量相等的等价条件是它们对应的坐标相等． (3)要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点和终点的坐标却可以不同． 考点七、平面向量的坐标运算 考点串讲 知识点四　平面向量的坐标运算 (1)已知向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)和实数λ，那么 ＋＝____________________， －＝____________________， λ＝(λx1，λy1). (2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝______________________． 即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的________的坐标减去________的坐标． (x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (x2－x1，y2－y1) 终点 始点 考点七、平面向量的坐标运算 考点串讲 知识点一　平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式 设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面直角坐标系中的两点，AB＝||＝.这就是平面直角坐标系内两点之间的距离公式． x＝，y＝.这就是平面直角坐标系内的中点坐标公式． 知识点二　向量平行的坐标表示 设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则∥⇔x2y1＝x1y2. 考点八、两点间的距离、中点坐标公式 考点串讲 已知，， (1)当时，λ. 这是几何运算，体现了向量与的长度及方向之间的关系． (2) 这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数， 而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征． (3)当时，，即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误． 考点八、两点间的距离、中点坐标公式 考点串讲 知识点一　物理学中的量与向量的关系 (1)物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是________. (2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的________法． 向量 加减 考点九、向量的应用 考点串讲 知识点二　用向量方法解决平面几何问题的三个步骤 向量 向量问题 运算 考点九、向量的应用 考点串讲 向量方法解决平面几何问题的六个应用 (1)证明线段相等：通过向量运算，证明 2＝2，即可证明AB＝CD. (2)证明线段平行：利用＝λ，点A，B，C，D不共线，可以证明AB∥CD，特别地，当λ＝1时，AB=CD. (3)证明三点共线：利用＝λ ()可以证明A，B，C三点共线，也可变形为＝x＋y ()，其中O为空间任意一点． (4)证明四点共面：利用＝λ＋μ ()可以证明点P，A，B，C四点共面． 考点九、向量的应用 考点串讲 题型一、向量的概念、零向量、单位向量 例1　(1)下列各量中是向量的是(　　) A．时间 B．加速度 C．面积 D．长度 【解析】　(1)加速度是既有大小又有方向的量，是向量．而时间、面积、长度是只有大小的量，是数量． 【答案】　B 题型剖析 (2)给出下列说法： ①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等，其中正确的是________(填上序号)． 【解析】(2)由零向量的方向是任意的，知①错误，③正确；由零向量的定义知②正确；由单位向量的模是1，知④正确． 【答案】　②③④ 题型一、向量的概念、零向量、单位向量 题型剖析 判断一个量是否为向量关键看它是否具备向量的两要素： (1)有大小． (2)有方向．两个条件缺一不可． 题型一、向量的概念、零向量、单位向量 题型剖析 变式1　(1)下列说法中正确的是(　　) A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小 解析：(1)不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小．故D正确． 答案：D 题型一、向量的概念、零向量、单位向量 针对训练 (2)下列说法正确的是(　　) A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线 B．长度相等的向量叫做相等向量 C．与非零向量平行的单位向量只有2个 D．共线向量是在一条直线上的向量 答案：C 解析：与非零向量平行的单位向量只有与方向相同和方向相反且模长为1的两个向量． 题型一、向量的概念、零向量、单位向量 针对训练 例2　在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量： (1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°方向上； (2)，使||＝4，点B在点A正东方向上； (3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向上． 题型二、向量的表示 题型剖析 【解析】　(1)由于点A在点O北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出向量，如图所示． 题型二、向量的表示 题型剖析 (2)由于点B在点A正东方向上，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量，如图所示． (3)由于点C在点B北偏东30°方向上，且||＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C的位置可以确定，画出向量，如图所示． 题型二、向量的表示 题型剖析 题型二、向量的表示 用有向线段表示向量的步骤 题型剖析 变式2　在如图的方格纸中，画出下列向量． (1)||＝3，点A在点O的正西方向； (2)||＝3，点B在点O北偏西45°方向； (3)求出||的值． 题型二、向量的表示 解析：取每个方格的单位长为1， 依题意，结合向量的表示可知， (1)(2)的向量如图所示． (3)由图知，△AOB是等腰直角三角形， 所以||＝ ＝3. 针对训练 例3　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，以图中字母为始点或终点，分别写出与向量相等的向量． 【解析】因为两个向量相等，只要方向相同大小相等即可，因此 ＝＝＝， ＝＝＝， ＝＝＝. 题型三、共线向量与相等向量 题型剖析 相等向量与共线向量的判断 (1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量． (2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量． (3)非零向量共线具有传递性，即向量，，为非零向量，若∥，∥，则可推出∥. 注意：对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况． 题型三、共线向量与相等向量 题型剖析 变式3　如图所示，△ABC中，三边长均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点． (1)写出与共线的向量； (2)写出与长度相等的向量； (3)写出与相等的向量． 解析：(1)∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF∥BC， ∴与共线的向量为. (2)∵E，F，D分别是AC，AB，BC的中点， ∴EF＝BC，BD＝DC＝BC，∴EF＝BD＝DC. ∵AB，BC，AC均不相等，∴与长度相等的向量为. (3)与相等的向量为.   题型三、共线向量与相等向量 针对训练 例4　如图，已知向量，，，求作和向量＋＋. 【解析】　可先作＋，再作(＋)＋，即＋＋．如图，首先在平面内任取一点O，作向量＝，接着作向量＝，则得向量＝＋c，然后作向量＝，则向量＝＋＋为所求． 　　　 　　　 题型四、已知向量作和向量 题型剖析 (1)应用三角形法则求向量和的基本步骤 ①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合． ②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和． (2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 ①平移两个不共线的向量使之共起点． ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形． ③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和． 题型四、已知向量作和向量 题型剖析 变式4　如图，已知向量，，不共线，作向量＋＋. 解析：　如图，在平面内作＝，＝，则＝＋；再作＝，则＝＋＋． 题型四、已知向量作和向量 针对训练 例5　化简下列各式： (1)； (2). 【解析】　(1)＝()＋＝＝. (2)＝＋() ＝＝()＋ ＝＝＝. 题型五、向量的加法运算 题型剖析 向量运算中化简的两种方法 (1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量． (2)几何法：通过作图，根据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简． 题型五、向量的加法运算 题型剖析 变式5　化简： (1)； (2)()＋.   解析：(1)＋＋＝＋＋＝＋＝. (2)方法一　(＋)＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝. 方法二　(＋)＋＋＝＋(＋)＋＝＋＋＝＋＝. 方法三　(＋)＋＋＝(＋＋)＋＝＋＝. 题型五、向量的加法运算 针对训练 例6　如图，已知向量，，，，求作向量－，－. 【解析】　作法，如图，在平面内任取一点O，作＝，＝，＝，＝．则＝－，＝－． 题型六、已知向量作差向量 题型剖析 题型六、已知向量作差向量 求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如－，可以先作－，然后作＋(－)即可． (2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量． 题型剖析 变式6　如图，已知向量，，，求作向量－－. 　　　　 解析：如图所示，以A为起点分别作向量和．连接CB，得向量＝－，再以C为起点作向量，使＝，连接DB，得向量＝(－)－．则向量即为所求作的向量－－. 题型六、已知向量作差向量 针对训练 例2　化简. 【解析】　方法一(统一成加法)　(－)－(－)＝－－＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝. 方法二(利用－＝)　(－)－(－)＝－－＋＝(－)－＋＝－＋＝＋＝. 方法三(利用＝－)　设O是平面内任意一点，则(－)－(－)＝－－＋＝(－)－(－)－(－)＋(－)＝－－＋－＋＋－＝.   题型七、向量的减法运算 题型剖析 1．向量减法运算的常用方法 2．向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和． (2)起点相同且为差． 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用． 题型七、向量的减法运算 题型剖析 变式7　在四边形ABCD中，－－＝________． 解析：－－＝＋＋＝(＋)＋＝＋＝. 答案： 题型七、向量的减法运算 针对训练 例8　已知平行四边形ABCD中，＝，＝，用，分别表示向量，. 【解析】　如图所示，由向量求和的平行四边形法则可知 ＝＋＝＋． 按照减法的定义可知 ＝－＝－． 题型八、利用已知向量表示未知向量 题型剖析 利用已知向量表示其他向量的思路 解决这类问题时，要根据图形的几何性质，正确运用向量加法、减法和共线(相等)向量，要注意向量的方向及运算式中向量之间的关系．当运用三角形法则时，要注意两个向量首尾顺次相接，当两个向量共起点时，可以考虑用减法． 常用结论：任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和(差)，即＝＋以及＝－ (M，N均是同一平面内的任意点). 题型八、利用已知向量表示未知向量 题型剖析 变式8　如图，解答下列各题： (1)用，，表示； (2)用，表示； (3)用，，表示； (4)用，表示. 解析：由题意知，＝，＝，＝，＝，＝，则 (1)＝＋＋＝＋＋． (2)＝－＝－－＝－－． (3)＝＋＋＝＋＋． (4)＝－＝－(＋)＝－－． 题型八、利用已知向量表示未知向量 针对训练 例9　如图，▱ABCD的两条对角线相交于点M，且＝，＝，用，表示，，和. 【解析】　在▱ABCD中， ＝＋＝＋， ＝－＝－. 由平行四边形的两条对角线互相平分，得 ＝－＝－ (＋)＝－－， ＝＝ (－)＝－， ＝＝＋， ＝－＝－＋. 题型九、利用已知向量表示其它向量 题型剖析 用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法 (2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． 题型九、利用已知向量表示其它向量 题型剖析 变式9　如图，ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝1，＝2，试用1，2表示下列向量． (1)＝________； (2)＝________． 解析：因为∥，||＝2||，所以 ＝2，＝. (1)＝＋＝2＋1. (2)＝＋＋＝－－＋＝－1－2＋1＝1－2. 2＋1 1－2 题型九、利用已知向量表示其它向量 针对训练 例10　已知＝－，＝5，判断A，B，C三点是否共线．如果共线，求出AB∶AC. 【解析】　由已知可得＝－5， 因此A，B，C三点共线，且AC＝5AB，即 AB∶AC＝1∶5. 题型十、向量共线条件的应用 题型剖析 向量共线定理的应用 (1)若＝λ(≠)，且与所在的直线无公共点，则这两条直线平行． (2)若＝λ(≠)，且与所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若＝λ，则与共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明 题型十、向量共线条件的应用 题型剖析 变式10　(1)已知1，2是平面内不共线的两个向量，＝21－32，＝λ1＋62，若，共线，则λ等于(　　) A.－9 B．－4 C．4 D．9 解析：(1)由，共线知＝m，m∈R，于是21－32＝m(λ1＋62)，即(2－mλ)1＝(6m＋3)2. 由于1，2不共线，所以 所以λ＝－4. 答案：B 题型十、向量共线条件的应用 针对训练 (2)设，为不共线的两个非零向量，已知向量＝－k，＝2＋，＝3－，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于(　　) A.10 B．－10 C．2 D．－2 答案：C 解析：因为A，B，D三点共线，所以＝λ＝λ(－)， 所以－k＝λ(3－－2－)＝λ(－2)， 所以λ＝1，k＝2. 题型十、向量共线条件的应用 针对训练 例11　(1)计算： ①4(＋)－3(－)－8；②(5－4＋)－2(3－2＋). (2)设向量＝3＋2，＝2－，求＋(2－). 【解析】　(1)①原式＝4＋4－3＋3－8＝－7＋7． ②原式＝5－4＋－6＋4－2＝－－． (2)原式＝－－＋＋2－＝（）＋（）＝－＋＝－ (3＋2)＋ (2－)＝（）＋（）＝－－5． 题型十一、向量的线性运算 题型剖析 向量线性运算的基本方法 (1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． (2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算． 题型十一、向量的线性运算 题型剖析 变式11　化简： (1)－； (2) . 解析：(1)原式＝－－＝＋－－＝. (2)原式＝＝ [(4－)＋(－3＋＋)]＝＝－． 题型十一、向量的线性运算 针对训练 例12　如图所示，已知＝，＝，求证：＝. 【解析】　由已知得 ＝－＝－＝ (－)＝. 题型十二、向量的线性运算的应用 题型剖析 (1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线． (3)若与不共线且λ＝μ，则λ＝μ＝0. (4)A，P，B三点共线⇔＝(1－t)＋t (O为平面内任一点，t∈R). (5)＝λ＋μ (λ，μ为实数)，若A，B，C三点共 题型十二、向量的线性运算的应用 题型剖析 变式12　(1)设，是两个不共线的向量，若＝＋5，＝－2＋8，＝4＋2，则(　　) A．A，B，D三点共线　　B．A，B，C三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 解析：(1)因为＝＋＝2＋10＝2，且与有公共点B，故A，B，D三点共线． 答案：A 题型十二、向量的线性运算的应用 针对训练 (2)若，是两个不共线的向量，＝2＋k，＝＋，＝2－，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于________. 解析：因为A，B，D三点共线，所以向量与向量共线，所以＝λ，由＝＋，＝2－，得＝＋＝3，所以2＋k＝λ(3)，所以k＝0. 答案：0． 题型十二、向量的线性运算的应用 针对训练 例13　设1，2是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①1与1＋2； ②1－22与2－21； ③1－22与42－21； ④1＋2与1－2. 其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)． ③ 题型十三、平面向量基本定理的理解 题型剖析 【解析】　①设1＋2＝λ1，则无解， ∴1＋2与1不共线，即1与1＋2能作为一组基底． ②设1－22＝λ(2－21)，则(1＋2λ)1－(2＋λ)2＝， 则无解，∴1－22与2－21不共线， 即1－22与2－21能作为一组基底． ③∵1－22＝－(42－21)，∴1－22与42－21共线， 即1－22与42－21不能作为一组基底． ④设1＋2＝λ(1－2)，则(1－λ)1＋(1＋λ)2＝， 则无解，∴1＋2与1－2不共线，即1＋2与能作为一组基底． 题型十三、平面向量基本定理的理解 题型剖析 对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量与是平面内两个不共线的向量，若x1＋y1＝x2＋y2，则 提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样． 题型十三、平面向量基本定理的理解 题型剖析 变式13　下面三种说法： ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底； ③零向量不可以作为基底中的向量．其中正确的说法是(　　) A.①② B．②③ C．①③ D．①②③ 解析：平面内向量的基底是不唯一的，在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可以作为基底中的向量，故B项正确． 答案：B 题型十三、平面向量基本定理的理解 针对训练 例14　已知与不共线，而且－x与3＋2共线，求x的值． 【解析】　因为与不共线，所以3＋2≠，因此由已知可得存在实数t，使得－x＝t(3＋2)， 即－x＝3t＋2t，从而解得x＝－. 题型十四、共线基本定理 题型剖析 共线向量定理的应用 (1)证明向量共线，对于向量，，若存在实数λ，使＝λ，则与共线． (2)证明三点共线，若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线． (3)求参数的值，利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 提醒：证明三点共线时，要说明共线的两向量有公共点． 题型十四、共线基本定理 题型剖析 变式14　(1)设向量，不平行，向量λ＋与＋2平行，则实数λ＝________． 解析：(1)∵λ＋与＋2平行， ∴λ＋＝t(＋2)，即λ＋＝t＋2t， ∴解得 答案： 题型十四、共线基本定理 针对训练 (2)已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若－3＋2＝，则等于________． 答案：2 解析：由已知得，＝2()， ∴＝2，∴＝2. 题型十四、共线基本定理 针对训练 例15　如图，不共线，且＝t(t∈R)，用表示. 【解析】　因为＝t， 所以＝＝＋t＝＋t()＝＋t－t ＝(1－t)＋t. 题型十五、用基底表示平面向量 题型剖析 用基底表示向量的两种方法 (1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解． 题型十五、用基底表示平面向量 题型剖析 变式15　如图所示，在▱ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若＝，＝，试用，表示向量. 解析：＝＝－＝－＝－. ＝＝－＝－. 题型十五、用基底表示平面向量 针对训练 例16　设数轴上两点A，B的坐标分别为3，－7，求： (1)向量的坐标，以及A与B的距离； (2)线段AB中点的坐标． 【解析】　(1)由题意得的坐标为3，的坐标为－7，又因为＝－，所以的坐标为－7－3＝－10，而且 AB＝||＝|－10|＝10. (2)设线段AB中点的坐标为x，则 x＝＝－2. 题型十六、直线上向量的运算和坐标表示 题型剖析 数轴上A点坐标x1，B点坐标x2 (1)则坐标x2－x1，||＝|x2－x1| (2)线段AB的中点坐标 题型十六、直线上向量的运算和坐标表示 题型剖析 变式16　数轴上向量的坐标为－2，的坐标为3，则＋2的坐标为(　　) A．－1 B．－8 C．4 D．1 解析：∵的坐标为3，∴2的坐标为6， ∴＋2的坐标为－2＋6＝4. 答案：C 题型十六、直线上向量的运算和坐标表示 针对训练 例17 如图，分别用基底{x，y}表示向量，，，，并求出它们的坐标． 【解析】　如题图可知，＝＝2x＋3y，所以＝(2，3)． 同理， ＝－2＋3＝(－2，3)， ＝－2－3＝(－2，－3)， ＝2－3＝(2，－3)． 题型十七、求向量的坐标 题型剖析 求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标． (2)求一个向量时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标． 题型十七、求向量的坐标 题型剖析 变式17　在直角坐标系xOy中，向量，的方向如图所示，且||＝2，||＝3，分别求出它们的坐标． 解析：设点A(x，y)，B(x0，y0)， ∵||＝2，且∠AOx＝45°， ∴x＝2cos 45°＝，且y＝2sin 45°＝.又|b|＝3，∠xOB＝90°＋30°＝120°， ∴x0＝3cos 120°＝－，y0＝3sin 120°＝. 故＝＝()，＝＝. 题型十七、求向量的坐标 针对训练 例18 (1)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　) A.(－7，－4) B．(7，4) C．(－1，4) D．(1，4) 【解析】　(1)方法一　设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以从而＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A. 方法二　＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)， ＝＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，故选A. 【答案】　A 题型十八、平面向量的坐标运算 题型剖析 (2)已知向量，的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，求＋，－，3，2＋3的坐标． 【解析】　＋＝(－1，2)＋(3，－5)＝(2，－3)， －＝(－1，2)－(3，－5)＝(－4，7)，3a＝3(－1，2)＝(－3，6)， 2＋3＝2(－1，2)＋3(3，－5)＝(－2，4)＋(9，－15)＝(7，－11)． 题型十八、平面向量的坐标运算 题型剖析 平面向量坐标(线性)运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行． 题型十八、平面向量的坐标运算 题型剖析 变式18　(1)已知A、B、C的坐标分别为(2，－4)、(0，6)、(－8，10)，则＋2＝____________，－＝____________； 解析：∵A(2，－4)，B(0，6)，C(－8，10)， ∴＝(－2，10)，＝(－8，4)，＝(－10，14)， ∴＋2＝(－18，18)，＝(－3，－3)． (－18，18) (－3，－3) 题型十八、平面向量的坐标运算 针对训练 (2)已知向量＝(1，2)，＝(－2，3)，＝(4，1)，若用和表示，则＝____________． 2－ 解析：设＝x＋y，则(x，2x)＋(－2y，3y)＝(x－2y，2x＋3y)＝(4，1). 故解得所以＝2－. 题型十八、平面向量的坐标运算 针对训练 例19　已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，及＝＋t. (1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？ (2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 【解析】　(1)＝＋t＝(1，2)＋t(3，3)＝(1＋3t，2＋3t)． 若点P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－. 若点P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－. 若点P在第二象限，则所以－＜t＜－. (2)＝(1，2)，＝(3－3t，3－3t)． 若四边形OABP为平行四边形，则＝，所以该方程组无解． 故四边形OABP不能为平行四边形． 题型十九、向量坐标运算的应用 题型剖析 向量中含参数问题的求解策略 (1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变． (2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的． 题型十九、向量坐标运算的应用 题型剖析 变式19　若保持本例条件不变，B为线段AP的中点，则t＝______． 解析：由＝＋t，得＝t.所以当t＝2时，＝2，B为线段AP的中点． 答案：2 题型十九、向量坐标运算的应用 针对训练 例20　(1)下列各对向量中，共线的是(　　) A．＝(2，3)，＝(3，－2) B．＝(2，3)，＝(4，－6) C．＝(，－1)，＝(1，) D．＝(1，)，＝(，2) 【解析】　(1)由向量共线的充要条件可知：非零向量与共线，当且仅当存在唯一实数λ，使得＝λ.而只有D满足：因为＝(1，)，＝(，2)，所以＝. 【答案】　D 题型二十、向量共线的判定 题型剖析 (2)已知点A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量与平行吗？直线AB与直线CD平行吗？ 【解析】　因为＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)， ＝(2－1，7－5)＝(1，2)， 因为2×2－1×4＝0，所以∥. 又＝(1－(－1)，5－(－1))＝(2，6)， ＝(2，4)，2×4－2×6≠0， 所以与不平行． 所以A，B，C不共线，AB与CD不重合． 所以直线AB与CD平行． 题型二十、向量共线的判定 题型剖析 向量共线的判定方法 题型二十、向量共线的判定 题型剖析 变式20　下列各组向量中，共线的是(　　) A．＝(－2，3)，＝(4，6) B．＝(2，3)，＝(3，2) C．＝(1，－2)，＝(7，14) D．＝(－3，2)，＝(6，－4) 解析：由两向量共线的坐标表示知，对于D，(－3)×(－4)－2×6＝0，所以共线，其他均不满足． 答案：D 题型二十、向量共线的判定 针对训练 例21　在平面直角坐标系中，已知A(－2，－3)，B(0，1)，C(2，5)，求证：A，B，C三点共线．   【解析】　由已知得＝(0，1)－(－2，－3)＝(2，4)， ＝(2，5)－(－2，－3)＝(4，8)． 因为2×8＝4×4，所以∥， 因此A，B，C三点共线． 题型二十一、三点共线问题 题型剖析 判断向量(或三点)共线的三个步骤 题型二十一、三点共线问题 题型剖析 变式21　设向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线．   解析：方法一　∵A，B，C三点共线， ∴存在实数λ，使得＝λ. ∵＝＝(4－k，－7)，＝＝(10－k，k－12)， ∴(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)， 即解得k＝－2或k＝11. 方法二　由题意知共线． ∵＝＝(4－k，－7)，＝＝(10－k，k－12)， ∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0， ∴k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11. 题型二十一、三点共线问题 针对训练 例22　如图所示，已知△AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标． 【解析】　∵＝＝ (0，5)＝()，∴C(0，). ∵＝＝ (4，3)＝(2，)，∴D(2，). 设M(x，y)，则＝(x，y－5)， ＝(2-0，)＝(2，). ∵∥， ∴－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.① 又＝(x，)，＝(4，)， ∵∥，∴x－4()＝0，即7x－16y＝－20.② 联立①②解得x＝，y＝2，故点M的坐标为(，2). 题型二十二、向量共线的应用 题型剖析 应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤 题型二十二、向量共线的应用 题型剖析 变式22　若平行四边形ABCD的三个顶点为A(1，5)，B(－1，－2)，C(3，－1)，求顶点D的坐标． 解析：设D点的坐标为(x，y)，则＝(x－1，y－5)，＝(4，1)，由题意知＝，即(x－1，y－5)＝(4，1)，得解得因此，D点的坐标为(5，6)． 题型二十二、向量共线的应用 针对训练 例23　如图所示，MN是△ABC的中位线，求证：MN∥BC且MN＝BC. 【解析】　因为M，N分别是AB，AC边上的中点，所以＝，＝，因此＝－＝－＝ (－)＝， 从而可知MN∥BC且MN＝BC. 题型二十三、向量在平面几何的应用 题型剖析 用向量方法解决平面几何问题的步骤 题型二十三、向量在平面几何的应用 题型剖析 变式23　(1)在四边形ABCD中，若＋＝，·＝0，则四边形为(　　) A.平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 解析：(1)由题可知∥，||＝||，且⊥，故四边形为菱形． 答案：D 题型二十三、向量在平面几何的应用 针对训练 (2)若O是△ABC内一点，＋＋＝，则O为△ABC的(　　) A. 内心 B．外心 C．垂心 D．重心 　解析：(2)如图，取AB的中点E，连接OE， 则＝2. 又＝， 所以＝－2.又O为公共点， 所以O，C，E三点共线，且||＝2||. 所以O为△ABC的重心． 答案：D 题型二十三、向量在平面几何的应用 针对训练 例24　如图所示，求力1，2的合力的大小(精确到0.1 N)和方向(精确到分). 【解析】　设1＝(a1，a2)，2＝(b1，b2)， 则a1＝300cos 30°＝150，a2＝300sin 30°＝150， b1＝－200cos 45°＝－100，b2＝200sin 45°＝100， 所以1＝(150，150)，2＝(－100，100)， 则＝1＋2＝(150，150)＋(－100，100)＝(150－100，150＋100)， ||＝＝100≈314.6. 设与x轴的正方向的夹角为θ，则tan θ＝≈2.461 6. 由的坐标知θ是第一象限的角，所以θ≈67°53′. 故两个力的合力约是314.6 N，与x轴正方向的夹角大约为67°53′， 与y轴的正方向的夹角大约为22°7′. 题型二十四、向量在物理中的应用 题型剖析 用向量方法解决物理问题的“三步曲” 题型二十四、向量在物理中的应用 题型剖析 变式24　一艘船从A点出发以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h，求船实际航行速度的大小与方向(用与水流速间的夹角表示). 解析：如图，设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，以AD、AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是船实际航行的速度． 在Rt△ABC中，||＝2，||＝2， ∴||＝＝＝4， ∴tan ∠CAB＝＝，∴∠CAB＝60°， 故船实际航行速度的大小为4 km/h， 方向与水流速间的夹角为60°． 题型二十四、向量在物理中的应用 针对训练 ✅ 知识构建：平面向量初步 向量的概念→向量的运算→向量基本定理→向量的应用 ✅ 思想方法： 数形结合、基底分解和转化、坐标化和代数化、模型化和应用 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $