浙江衢州市2025-2026学年高二下学期6月期末数学试题

高二数学 考生须知： 1.全卷分试卷和答题卷.考试结束后，将答题卷上交， 2.试卷共4页，有4大题，19小题.满分150分，考试时间120分钟 3.请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.集合A={1,2,3},B={2,3,4},则A∩B= A.(1) B.{1,4} C.{2,3} D.{1,2,3,4} 2.设复数z=3-4i,则z的共轭复数z的虚部为 A.-4i B.4i C.-4 D.4 3.已知向量a,6满足a=2,园l=1,a.=5,则向量a与6的夹角为 A B C. 3 D.S 6 个随机事件，为A的对立事件，且P(=,P(AB)三 A B时 c D 5.函数∫(x)的定义域为R,它的导函数'(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是 A.函数(x)在(3，+∞)上单调递减 B.函数f(x)在(-o,1)上单调递减 C.函数∫(x)在(1,3)上不单调 D.3是函数f(x)的极小值点 6.已知a,B都是锐角，sina=行 4 os(a+PD3,则sin的值为 33 B. C.S6 63 D 65 65 65 65 7.一排有6个座位，3个人随机入座，则恰有2人相邻的概率为 A c 4 05 8.若不等式x2+(b-1)x-1ln(x-a)≥0恒成立，则b+5a的最小值是 A.-1 B.0 C.1 D.2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列命题正确的是 A.样本数据2,3,4,6,7,8的中位数为6 B.若x,x2,3,,xn的平均数为2，则2x+1,2x2+1,2x3+1,…,2xn+1的平均数为5 C若随机变量X-,时，则D初=子 D.若随机变量X-N0,o)且PX≤2)=}，则P0<X≤)= d 10.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABC,D1中，M,N分别为棱AB,BC的中点，则 A.平面MB,D,截正方体所得的截面图形为等腰梯形 M B.CN∥平面MBD C异面直线MD,与BD所成角的余弦值为互 =XB D.三棱锥4-MB,D,外接球的表面积为41π D 4 11.已知函数∫(x)及其导函数g(x)的定义域均为R,若函数∫(x+1)和g(x+2)均为奇函 数，则 A.函数f(x)的图象关于直线x=1对称 B.函数g(x)的图象关于直线x=1对称 C.f(x)=f(x+4) D.2r间)=0 1=l 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(x+1)5展开式中的x3系数为▲.（用数字作答） 13.已知一个圆锥的底面半径”=1，母线长1=4，一只蚂蚁从底面圆周上的一点A出发， 沿着圆锥的侧面绕轴爬行一周后又回到点A,则这只蚂蚁爬行的最短路程是▲一· 14.在△ABC中，若AB+AC+BC+BA=1,则△ABC面积的最大值为▲一· 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,（2a-c)cosB=bcosC. (1)求角B的大小： (2)若a=2,c=3,点D在边AC上，且BD平分∠ABC,求BD的长. 16.(本小题满分15分) 某企业为研究团队月度生产效益与员工技能培训的关系，开展调查分析，根据过往统计 经验知，团队月度生产效益y(单位：万元)与员工技能培训投入x(单位：万元)满足一元 线性回归模型，现连续统计了近10个月的数据(x,),(x2,y2),(x0,y1o)，经计算得： 2=40,=10,x460,2-20 (1)求y关于x的线性回归方程： (2)该企业计划下月拨付10万元专项资金用于团队发展建设，现拟定了两套方案： 方案一：将10万元全部用于员工技能培训： 方案二：将10万元中的一部分用于员工技能培训，剩余的部分用于发放员工绩效奖金. 根据长期运营经验，绩效奖金投入t万元可产生的额外效益为8√：万元 方案一和方案二中的员工技能培训所带来的生产效益仍满足(1)中的线性回归关系，试 对比两套方案，如何分配资金可使团队月度生产效益最大，请说明理由， 考公式：线性回归方程=x+中万之功一应 ，a=-b脉. 17.(本小题满分15分) 如图，在三棱锥P-ABC中，AP⊥CP,AC⊥BC,AP=CP=1,BC=√2.设二面角 P-AC-B的大小为B. 0 (1)当0=90°时， (①)求证：PA⊥BC: ()求直线PB与平面ABC所成角的正弦值： (2)当0=60°时，求点B到平面PAC的距离. 18.(本小题满分17分) 在一个不透明的袋子中装有分别标注数字1,2，，n的n个小球，这些小球除标注的数字 外，大小、质地完全相同，现从中一次性随机抽取m个，记这m个球上的数字的最大值 为X,其中n≥m22,m,n∈N. (1)当n=5,m=3时， (①)求P(X=4)的概率： ()求X的分布列及数学期望E(X): (2)求所有满足E(X)=6的正整数组(m,n). 19.(本小题满分17分) 己知函数f(x)=-ex+o-lnx+a,x∈(0，a],其中a>1,函数f(x)的导函数为g(x): (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程： (2)判断∫(x)的零点个数，并说明理由： (3)若b∈(0,1)，且f(b)=0,求证：f(x)>g(b): 高二数学参芳答案 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的、 题号 1 2 3 45 678 答案 C D A B A A C B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少 有两个是符合题目要求的，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 题号 9 10 11 答案 BCD ABD BC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 1 12.10 13.42 15. 24 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解：(1)将(2a-c)cosB=bcosC展开，得2 acosB=ccosB+bcosC 由射影定理可知ccos B+bcosC=a, 2分 则ous8- 4分 故角B=60° ..6分 (2)设BD=x,因为SMBC=SAABD+SACBD 8分 32 1 221 2x 3x .11分 22 解得x=65故BD=65 ..13分 (其它方法酌情给分) 16解：()x= -=4’=日 -=10 2分 龙-10r- 6= 480-10×4×1080 =2, ∑x-10x 200-10×42 40 .4分 i=l 则à=y-bx=10-2×4=2… .6分 所以y关于x的线性回归方程是=2x+2 7分 (2)若选择方案一，当x=10时，代入(1)中的回归方程得少=22万元： .9分 若选择方案二，假设投入x万元用于发放绩效奖金，10-x万元用于员工专项技能培训， 其中0≤x≤10，月度总生产效益 y=210-x)+2+8Vx=-(Nx-2)2+30........12分 当x=4时，ymx=30万元.由于30>22 ..14分 故投入6万元用于员工专项技能培训，4万元用于发放绩效奖金，能实现团队月度生产 效益最大化， 15分 高二数学试卷答案第1页（共5页） 17.解：方法一 (1)①)由B=90可知，平面ACP⊥平面ABC 1分 已知BC⊥AC,平面ACP∩平面ABC=AC,故BC⊥平面ACP .3分 又APC平面ACP,因此BC⊥AP. 。。。。。。。。。 。。。。。。。。。 D 4分 ()取AC的中点H,由AP=CP可知PH⊥AC, 由B=90°可知，可知PH⊥平面ABC 连接BH,所以∠PBH是直线PB与平面ABC所成角， .6分 H 由①可知△PBC是直角三角形，解得PB=√5 .7分 因为PH= √2 ,所以sin∠PBH= PH 9分 PB 6 (2)方法1：取AB的中点N,连接HN,由已知条件可知HN//BC,故HN⊥AC, 所以∠PHN=0=60°11分 √25√6 p 所以点P到平面ABC的距离为PH·sinO= ..12分 224 享棱锥P-ABC的体：积VSxucPH:smO)EV6 4 1 又因为三棱锥P-ABC的体积V=」 14分 32 所以h=V6 .15分 2 方法2：取AB的中点N,连接HN,所以HN1/BC且HN=BC= 2 则HN⊥AC,∠PHN=0=60° .11分 所以点N到平面ACP的距离为IN.sin0=y6 13分 因为B到平面ACP的距离是点N到平面ACP的距离的2倍， 所以B到平面ACP的距腐V6 .15分 方法二 (I)①)以C为坐标原点，CA,CB所在直线为x轴，y轴，过C作垂直于平面ABC的直线 为z轴，建立空间直角坐标系。 由已知条件可知C(0,0,0),AV2,0,0),B(0,V2,0) 1分 高二数学试卷答案第2页（共5页） 由二面角定义及0=90°可知， 2分 则mc-90+0(9}0-0 .4分 所以PA⊥BC,即PA⊥BC (ii)平面ABC的法向量：n=(0,0,1).… …5分 而PB= 2 .6分 2 故cos<PB,n>= PB.n 2 6 8分 PBIInl 11 6 +2 V22 故直线PB与平面ABC所成角的正弦值为V6 .9分 (2)取AB的中点N,连接HN,由已知条件可知HN/BC,故HN⊥AC, 所以∠PHN=0=60° 11分 由PH=5,可得P 2-4’4 12分 设平面PAC的法向量为m=(x,y,2), 由m.C=0,m.CP=0,得法向量m=(0,√5,1】 ..13分 所以点B到平面PAC的距离为d= CB-m6 2 15分 18.解：(1)(i)总数为C=10.. …1分 当X=4,另2个为{L,2,3}中选2个，有C种可能 所以PX=4=S=3 C310 .4分 (ⅱ)X的可能取值为3,4,5 G-i0 RX-4--3 PX=3)==1 高二数学试卷答案第3页（共5页） 所以X的分布列为 X 3 4 5 1 P 3 6 10 10 10 3 69 数学期E(X)=3× +4× +5× 10 10 102 ..8分 (2)X的可能取值为m,m+1,n:P(X=k)=C置k=m,m+1n） W-24x=0=忌2c, 10分 因为kC= k(k-1川 k! (m1(m)m(m) mC............... .12分 所以E(X)= cCCC) CCcc (n+1)月 m(n+1) ..15分 n! (m+1)(n-m)1 m+1 由mn+l=6得n=5+6 。。。。。。。。。。。 ..16分 m+1 m 又n≥m≥2，m,n∈N,所以满足条件的数组为(2,8)，(3,7)，(6,6). .17分 19.解：（①）当a=2时，f(x)=-e2-lnr+2,定义域为x∈(0,2]， 则f(1）=-e+2, 1分 因为g(x)=f"(x)=e2-1 2分 则切线斜率k=g()=e-1,… 3分 切线方程：y-(2-e)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+3-2e..4分 2)因为g(x)=ea-1=eo-1 ,x∈(0，a], 令h(x)=xe*o-l,x∈(0，a],可知h(x),g(x)同号，h'(x)=(1-x)ea， 当1<x≤a,h'(x)<00<x<1,h'(x)>0, 所以h(x)在(0,1)单调递增，在(L,a单调递减， 6分 因为h()=e--1>0,h(a)=a-1>0,h(0)=-1<0 所以h()在(0，d上存在唯一零点，且e9=→a=-n…7分 xo 由零点存在性定理x。∈(0,1)， 则当0<x<xo,h(x)<0x<x≤a,h(x)>0, 高二数学试卷答案第4页（共5页） 即0<x<xo,g(x)<0x<x≤a,g(x)>0, 所以f(x)在(0，x)单调递减，f(x)在(x,a]单调递增， .8分 则fk）=-e4n-n属+a=--m+6-lm,=元-}2，9分 4(=士2xao.re=1+22-f-≥0. 则t(x)在(0,1)单调递增，由t()=0, 所以x∈(0,1)时，t(x)<0,即f(x)<0, .10分 因为f(a)=a-1-na>0,当x→0，f(x)→+o, 所以f(x)在(0，)和(x,a]各存在一个零点， 故f(x)在(0，a存在两个零点 11分 (3)由(2)知，b是f(x)在(0，x)的零点，则0<b<x,<1, 且x是f(x)的极小值点，f(x)mm=f(xo),则只需证f(x)>g(b), ..13分 由f(b)=0,得：-e+a-lnb+a=0,e+a=a-lnb, 又gb=e-。-a-o)6” 1 由(2冲a=-ln,代入得：g()=。-l。-lhb-6' 1 14分 面f6）=名1-2，则只需证：名2x>x--的- 1 xo 即证：+lnb>+xo, .15分 令m-士nxxe@小.则m)=子其 x0, 所以m(x)在(0,1)单调递减， 16分 由0<6x1,得m>m,即：名+lhb>+h Xo 故原不等式成立，即f(x)>g(b).17分 高二数学试卷答案第5页（共5页）