浙江乐清市荆山公学2025-2026学年高二下学期数学学业水平考试模拟卷

**基本信息** 本卷覆盖集合、函数、复数、向量、立体几何等核心知识，通过统计案例、函数建模、立体几何证明等情境化设计，考查数学眼光（空间观念、数据意识）、思维（推理能力、运算能力）与语言（模型观念），适配高二学考要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12题36分|集合运算、函数性质、复数求解、向量夹角、立体几何直观图|基础题占比高，如第6题通过直观图还原面积，强化几何直观| |多选题|4题16分|命题逻辑、棱柱性质、向量运算、函数奇偶性与周期性|第16题结合奇函数性质与周期性，考查推理能力| |填空题|4题12分|古典概型、函数恒成立、反函数、三角形面积最值|第20题利用向量分解求面积最值，体现数学思维严谨性| |解答题|3题36分|统计（频率分布直方图、概率）、立体几何（线面垂直、面面垂直、夹角）、函数（定点、图像变换、反函数、恒成立）|21题以体能测试为背景，培养数据意识；22题立体几何多问递进，提升空间观念；23题函数综合考查模型观念与运算能力|

2026年6月10日荆山公学高二数学学考模拟卷 考试内容：人教A版必修一+必修二+选择性必修一空间向量与立体几何 考试时间：80分钟 一、单选题（共36分） 1．（本题3分）已知集合是小于8的正整数｝，，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（本题3分）已知函数，若，则（     ） A．1或3 B．或1 C．0或 D．1或 3．（本题3分）已知复数满足，则复数（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）若向量， 满足：，，且，则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 7．（本题3分）已知样本数据8，12，13，a，17的第80百分位数为16，则（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 8．（本题3分）当蛋白质分子量达到一定量级时，其分子量与迁移率之间满足，其中为常数.若，则当分子量变为原来的2倍时，现迁移率与原迁移率的差值为（    ） A． B． C． D．2 9．（本题3分）若关于的不等式（）恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（本题3分）函数的部分图象如图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象的解析式为（    ） A．y2x B．2x C． D． 11．（本题3分）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．（本题3分）如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下面说法中错误的是（     ） A．没有水的部分始终呈棱柱形 B．图（2）中水面EFGH所在四边形的面积为定值 C．棱始终与水面所在平面平行 D．当容器倾斜如图（3）所示时，是定值 二、多选题（共16分） 13．（本题4分）下列说法正确的有（   ） A．命题“若，则”是真命题 B．命题“”是真命题 C．“”是“”的充分不必要条件 D．设，则“且”是“”的充要条件 14．（本题4分）如图，在六棱柱中，底面为正六边形，则（　　） A． B．直线与平面平行 C．点和到下底面的距离相等 D．直线 15．（本题4分）已知向量，（），则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，的值为 C．的取值范围为 D．存在，使得 16．（本题4分）已知定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足，则以下结论成立的是（   ） A．函数的周期 B． C．点是函数图象的一个对称中心 D．在上有4个零点 三、填空题（共12分） 17．（本题3分）一只口袋中装有形状、大小都相同的6只小球，其中有3只红球、2只黄球和1只蓝球.若从中1次随机摸出2只球，则2只球颜色相同的概率为____. 18．（本题3分）已知函数，且在上恒成立，则实数的最小值为___________． 19．（本题3分）若直线与的图像关于直线对称，则_______． 20．（本题3分）如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为________． 四、解答题（共36分） 21．（本题12分）某校为了解高一学生的体能情况，进行了一次体能测试，共1000人参加本次测试（测试成绩均在内），将所得数据分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并估计这次体能测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)在某项体能测试中，甲、乙两人各自体能测试成绩为满分的概率分别是和，求至少有一人的体能测试成绩为满分的概率. 22．（本题12分）如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，且． (1)证明：． (2)证明：平面平面． (3)若，求平面与平面夹角的正切值． 23．（本题12分）已知函数恒过定点． （1）求实数． （2）在（1）的条件下，将函数的图象向下平移个单位，再向左平移个单位后得到函数，设函数的反函数为，求的解析式． （3）对于定义在上的函数，若在其定义域内，不等式恒成立，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D B B D B A B D 题号 11 12 13 14 15 16 答案 D B AC AC ABC ABC 1．B 【详解】，则 2．D 【详解】当时，，解得； 当时，，解得.综上所述，或. 3．D 【详解】，，， ． 4．B 【详解】由可得，所以， 因,所以，所以与的夹角是. 5．B 【详解】因为，且， 所以. 6．D 【详解】根据直观图可得原图形中是直角三角形，，，， . 7．B 【详解】因为，所以第百分位数为将数据从小到大排序后的第4个数与第5个数的平均数， 经讨论可知，为使第80百分位数为16，排序后的数据必为， 故有，解得. 8．A 【详解】由题意得， 原迁移率，现迁移率， 可得. 9．B 【详解】解：因为，所以，又恒成立，即恒成立， 因为在上单调递减，所以，所以，即；故选：B 10．D 【详解】由图象得，，． ∵点在函数的图象上，，，，又，，． 将的图象向右平移个单位后，得到的图象对应的解析式为．故选：D． 11．D 【详解】由题意知，在R上单调递增，当时，，满足题意； 当时，需满足，解得，所以.综上，. 12．B 【详解】根据棱柱的定义可知，在图（1）（2）中棱柱的上下底面分别为， 图（3）中，棱柱的上下底面分别为，故A正确； 在四边形中长度不变，但到直线的距离一直在变化， 所以水面四边形的面积是变化的，故B错误； 因为棱始终与，平行，故棱始终与水面所在平面平行，故C正确； 因为水的体积是不变的，有水的部分始终呈棱柱形，且高始终是也不变， 所以底面积也不会变 ，即是定值，故D正确. 13．AC 【详解】对A，若，则，成立，故A正确； 对B，，显然无实数解，故B错误； 对C，，即，解得或，则“”能够推出“或”， 但“或”无法推出“”，故“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对D，不能得到且，举例，满足，但是， 则必要性不成立，故D错误. 故选：AC. 14．AC 【详解】据棱柱的定义可知，故A正确； 由于为正六边形，则直线与相交，所以直线与平面不平行，故B错误； 由于棱柱的上下两个底面互相平行，点和都在上底面， 故点和到下底面的距离相等，C正确； 由于，而直线与不垂直，所以D错误，故选：AC． 15．ABC 【详解】对于A，若，则，所以，故A正确； 对于B，若，则，所以， 因为，所以的值为，故B正确； 对于C，， 因为，所以，， 所以，所以的取值范围为，故C正确； 对于D，因为，所以， ，若，则，得. 又因为，所以，所以无解， 所以不存在，使得，故D错误. 16．ABC 【详解】由定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足， 所以函数的周期为，所以A正确； 由，即，所以，且， 又由，，所以，所以B正确； 由，可得点是图象的一个对称中心，所以C正确； 由在上有， 所以函数在上至少有5个零点，所以D错误． 17． 【详解】由题意，一只口袋中装有形状、大小都相同的6只小球，其中有3只红球、2只黄球和1只篮球，从中1次随机摸出2只球，则基本事件的总数为种情况， 又由2只颜色相同包含的基本事件个数为， 所以2只颜色相同的概率为．故答案为． 18． 【详解】当时，，当且仅当时等号成立 ．又，即实数的最小值为-3． 19．2 【详解】试题分析：函数与的图象关于直线对称，则函数与互为反函数，由，得，∴的反函数为．则 20． 【详解】，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立.的最小值为. 21．(1)，平均数为 (2) 【详解】（1）因为组距为，所以， 解得. 平均数为. （2）没人满分的概率为， 所以至少一人满分的概率为. 22．(1)方法一：在正三棱柱中，平面，平面，所以． 因为为正三角形，为的中点，所以． 又因为，，平面，所以平面． 因为平面，所以． 方法二：在正三棱柱中，平面平面． 因为是正三角形，为的中点，所以． 因为平面平面，平面， 所以平面．因为平面，所以． (2)如图，连接，交于点，连接，． 因为，分别为，的中点，所以且． 又因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，则． 由（1）知平面，所以平面． 又因为平面，所以平面平面． (3) （3）如图，取的中点，连接，则． 因为平面，平面，所以． 因为，，平面，所以平面． 又因为平面，所以． 如图，过点作的垂线，垂足为点，连接． 因为，，平面，所以平面． 又因为平面，所以， 所以为平面与平面夹角的平面角． 设．因为为的中点，，所以为的中点，所以． 又因为为的中点，所以，，． 在中，，所以． 在中，由等面积法，得，则． 所以，所以平面与平面夹角的正切值为． 23．(1)；(2)；(3) 【详解】（1）依题意，解得，故. （2）由（1）知，将函数的图象向下平移个单位得到， 再向左平移个单位得到，指数函数的反函数是对数函数，故. （3）由于的定义域为，对于来说，由，得到. 由不等式恒成立，化简得（）. 令，函数在上为增函数，故，即. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $