浙江省衢州市2024-2025学年高二下学期6月教学质量检测数学试卷

衢州市2025年6月高二年级教学质量检测试卷 数学参考答案 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A D A A C B 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 题号 9 10 11 答案 BCD AD ABC 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12. 有 13. 5 5  14. 60 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分13分) 已知函数 ( ) sin( ) sin( ) 6 cos 4 4 f x x x x      . (1) 求函数 ( )f x 的最小正周期及单调递增区间； (2) 求使 ( ) 2f x  成立的 x的取值集合. 解：(1)已知函数 ( ) sin( ) sin( ) 6 cos 4 4 f x x x x      . 2 2 2 2( ) sin cos sin cos 6 cos 2 2 2 2 f x x x x x x     = 2 sin 6 cosx x 2 2 sin( ) 3 x   ......................................................3分 2 2 1 T     ........................................................5分 +2 +2 ( ) 2 3 2 k x k k Z        ， 5 +2 +2 ( ) 6 6 k x k k Z      ，  ( )f x 的单调递增区为 5 +2 +2 ( ) 6 6 k k k Z       , ....................9分 (2)要使 2 2 sin( ) 2 3 x   ,则 1sin( ) 3 2 x   ，则 5+2 +2 ( ) 6 3 6 k x k k Z       , +2 +2 ( ) 6 2 k x k k Z       x的取值集合为 +2 +2 ( ) 6 2 k k k Z       ， .............................13分 16. (本小题满分 15分) 如图，在三棱台 1 1 1ABC A B C 中，底面 ABC为等边三角形， 1 1B BA B BC   ， 1 12 2AB A B  ， 1 3BB  . (1)求证： 1B B AC ； (2) 当三棱台 1 1 1ABC A B C 体积最大时； (i)求直线 1C C 与底面 ABC所成角的正弦值. (ii)求三棱锥 1B ABC 外接球的半径. 解:(1)连接 1 1B A BC， ，取 AC中点O交于，连接 1BO， BO， 因为 BC BA ， 1 1B BA B BC   ， 1 1B B BB ， 所以 1 1B BC B BA   ，故 1 1B A BC .....................2分 O为线段 AC的中点，所以 1BO AC ， 又 ABC 为等边三角形，故 AC BO ，而 1BO BO O ， 所以 AC 平面 1BOB ， 1B B 平面 1BOB ，所以 1B B AC ...................5分 (2)法1：当 1B B 底面 ABC时，三棱台 1 1 1A BC ABC 体积取最大.............7分 (i)取 BC中点M ，连接 1C M ，易知 1 1BC MB为矩形，所以 1 1/ /B B C M ， 由 1B B 底面 ABC，可知 1C M 底面 ABC，所以 1C CB 即为所求角，......9分 因为 1 1 3C M BB  ， 1CM  ，故 1 10C C  ，所以 1 3 10sin 10 C CB  ........11分 (ii)由题易知，过三棱锥 1B ABC 的外接球球心O必在过 ABC 中心 1O 的垂线上， 且 1 2 3 3 O B  ，令 1OO t  ，由 1O B O B  ，可得 2 2 2 22 3 2 3( ) ( ) (3 ) 3 3 t t    ，故 3 2 t  ， 所以 2 21 1 1 129 6 O B OO O B    ........................................15分 法2：当 1B B 底面 ABC时，三棱台 1 1 1A BC ABC 体积取最大， (i)以 AC中点为坐标原点， ,OB OC为 ,x y轴，如图建立空间直角坐标系，取 BC中点M ， 1 3 1(0, 1,0), ( 3,0,0), (0,1,0), ( 3,0,3) ( , ,0) 2 2 A B C B M ， ， 由 1 1B M C C   ，易知 1B M  与面 ABC所成角即为所求角， 设面 ABC法向量 (0,0,1)n  ， 1 3 1( , , 3) 2 2 B M     所以 1 1 1 3 10sin cos , 10 B M nB M n B M n             ...............................11分 (ii)设三棱锥 1B ABC 的外接球球心 ( , , )O x y z ，半径为 R，则 1 1 O A O B O B O C O B O A         2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 3) ( 3) ( 1) ( 3) ( 3) ( 1) x y z x y z x y z x y z x y z x y z                           ，故 3 3( ,0, ) 3 2 O ,所以 129 6 R  ....15分 17. (本小题满分15分) 已知函数 2( ) ( 2)x xf x ae a e x    . (1) 讨论 ( )f x 的单调性； (2) 当 0x  时， ( ) 0f x  ，求 a的取值范围. 解：(1) 2'( ) 2 ( 2) 1x xf x ae a e    ,.....................................2分 2'( ) 2 ( 2) 1 (2 1) ( 1)x x x xf x ae a e e ae        2 1 0xe   ，................3分 当 0a  时， 1 0xae   ， '( ) 0f x  ， ( )f x 在R上单调递减；................5分 （无因式分解得4分） 当 0a  时，令 1 0xae   ， lnx a  ，当  , lnx a   ， 1 0xae   ， '( ) 0f x  ， ( )f x 单调递减；当  lnx a   ， ， 1 0xae   ， '( ) 0f x  ， ( )f x 单调递增 综上，当 0a  时， ( )f x 在R上单调递减；当 0a  时， ( )f x 在  , ln a  单调递减， ( )f x 在  ln +a ， 单调递增...........................................8分 (2) 由题可知， (0) 0f  ，解得 1a  ，下证 1a  时， ( ) 0f x  恒成立.........11分 由(1)可知，当 1a  时， ln 0a  ， ( )f x 在  0 +， 上单调递增. ( ) (0) 2 2 0f x f a     1a  ..................................... ..15分 （其他方法酌情给分） 18. (本小题满分 17分) 某摄影公司为拓展业务提升经营业绩，借助AI助手自动检测和修改美化照片. 现有一批照 片需要检测，每张照片被AI助手评为A+的概率为 (0 1)p p  ，且检测结果相互独立. (1) 若 2 3 p  ，现选取 4张不同的照片，安排AI助手对每张照片进行一次检测，记检测结 果为A+的照片数为 X ，求 ( 2)P X  及 ( )D X ； (2) 为进一步提高选片质量，摄影公司决定每张照片由AI助手检测三次（检测相互独立， 互不干扰）. 若三次检测结果均为A+，则照片被评为优秀，照片选出；若三次检测结 果均为非A+，则照片被评为不合格，照片淘汰；其余情况，可以借助AI修图，达到 优秀. 拟定每张照片的检测费用为1元，若需要AI修图，还需再花费 3元的修图费. 若 实施该方案，且检测照片100张，摄影公司用于检测和修图费用的预算为 330元是否 合理？并说明理由.(摄影公司用于检测和修图费用的期望不超过预算即为合理). 解：(1)由题意得 (4, )2 3 X B ，   2 2 2 4 2 2 24 3 3 81 2 C 1P X               ，..........................3分   2 1 8(1 ) 4 3 3 9 D X np p      ．………………………………..........................7分 (若列出分布列未得答案得5分) (2)设每张照片检测所需费用为Y元，则Y的可能取值为1，4．............................9分    331 1P Y p p    ，    334 1 1P Y p p     ． 所以  E Y =      3 33 31 4 1 1p p p p        ，化简得 2( )= 9 9 1E Y p p   令   29 9 1f p p p    ，  0,1p ………….............................…....................13分 当 10 2 p  ，  f p 在 10, 2       单调递增，当 1 1 2 p  ，  f p 在 1 1 2       ， 单调递减， 所以当 1 2 p  时，  f p 的最大值为 1 3.25 2 f       ．...........................................15分 实施该方案，最高费用为100 3.25 325  元  330元，预算合理．....................17分 （其他方法酌情给分） 19. (本小题满分 17分) 设整数 2n  ，对于集合 {1,2,3,..., }A n ，定义对应关系 :f A A ， 规定：① x A  ， ( )f x x ；②若 x y ，则 ( ) ( )f x f y . (1) 当 4n  时，写出满足 (1) 2 (2) 1f f ， 的对应关系； (2) (i)当 n为偶数时，求 ( ) 1 ( 1) n f i i i    的最小值（结果用 n表示）； (ii)集合 { ( ) | }B f x x A  ，记 1 2 3{ , , ... }kM b b b b k Z ， 是集合 B的一个子集，令M 对应 一个数 1 ( ) ( 1) k k i i S M b     （规定：空集对应的数为1）. 对于 B的所有子集，记它们 对应的数的总和为S. 求 1 | ( ) | n i S f i i    的最小值（结果用 n表示）. 解：(1) 对应关系 f ： (1) 2 (2) 1 (3) 4, (4) 3f f f f   ， ， .........................3分 (2) (i) 要求 ( ) 1 1 n f i i i   ( ) 的最小值，尽可能取 ( )f i i 为奇数或奇数相反数， 当n为偶数时，不妨取 (1) 2, (2) 1, (3) 4, (4) 3f f f f    ， ... ( 1) , ( ) 1f n n f n n    ， 此时 ( ) 1 ( 1) n f i i i n     ，所以 ( ) 1 ( 1) n f i i i    的最小值为 n ....................9分 （没有过程，只有最小值为 n 得6分. 其他方法酌情给分， 例如： (1) 2, (2) 3, (3) 4, (4) 5,f f f f    ... ( 1) , ( ) 1f n n f n   ） (ii) 因为 ( ) ,f i i 所以 | ( ) | 1f i i  ，则 1 | ( ) | n i f i i n    ，当且仅当 ( ) 1 1f i i  或 时取 等号. 由（i）可知，当n为偶数时，则 1 | ( ) | n i f i i n   最小值为 ；同理，当n为奇数时， 按照上述构造，必有一个 | ( ) | 2f i i  ，此时 1 | ( ) | 1 n i f i i n     ， 取 (1) 2, (2) 1, (3) 4, (4) 3,... ( 2) 1, ( 1) , ( ) 2f f f f f n n f n n f n n          ， ， 此时 1 | ( ) | 1 n i f i i n     ，所以 1 | ( ) | 1 n i f i i n    最小值为 ......................13分 易知集合 {1,2,3,..., 1, }B n n  有 2n 个子集，含有“1”的子集有： 一元子集1个：{1}；二元子集 1 1nC  个：{1,2},{1,3},...,{1, }n ； 三元子集 2 1nC  个：{1,2,3},{1,2,4},...,{1, 1, }n n .....，n元子集 1 1 n nC   个： {1,2,3,..., 1, }n n 所以子集中“1”的和： 1 0 2 1 3 2 1 1 1 1 1 11 [( 1) ( 1) ( 1) .... ( 1) ] 1 ( 1) (1 1) 0 n n n n n n nC C C C                     集合 B的子集中含有“2”的子集有： 一元子集1个：{2}；二元子集 1 1nC  个：{2,1},{2,3},...,{2, }n ； 三元子集 2 1nC  个：{2,1,3},{2,1,4},...,{2, 1, }n n .....，n元子集 1 1 n nC   个：{21,,3,..., 1, }n n， 所以子集中“2”的和： 1 0 2 1 3 2 1 1 1 1 1 12 [( 1) ( 1) ( 1) .... ( 1) ] 2 ( 1) (1 1) 0 n n n n n n nC C C C                     以此类推，可得子集中“n”的和： 1 0 2 1 3 2 1 1 1 1 1 1[( 1) ( 1) ( 1) .... ( 1) ] 2 ( 1) (1 1) 0 n n n n n n nn C C C C                     又因为空集对应的数为1，所以 1S  .（若写出 1S  ，无推理得14分） 综上所述 1 1, | ( ) | 2, n i n n S f i i n n        为偶数 为奇数 .................................17分 衢州市2025年6月高二年级教学质量检测试卷 数学 命题：徐丽峰、李俊、杨惺燕 审题：陈婷 考生须知： 1.全卷分试卷和答题卷.考试结束后，将答题卷上交 2.试卷共4页，有4大题，19小题.满分150分，考试时间120分钟， 3.请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1.集合A={-3,-2,-1,B-{x-3<x<3},则A∩B= A.{-1} B.{-1,-2} C.{-1,-33 D.{-1,-2,-3} 2.,设复数z=i01-21),则4= A.√2 B.3 C.5 D.22 3.一组数据从小到大排列为13，m7,10,12,若该组数据的中位数是这组数据极差的 则实数m= A.4 B.5 C.6 D.7 4.曲线f(x)=si血x在点（元，0）处的切线方程为 A.x=π B.x-y-元=0 C.x+y+π=0 D.x+y-π=0 5.已知随机变量X~N0,c2),且P(X5-3)=P(X23a-1),则(x-马4展开式中x2的系 数为 A,-8 B.-4 C.8 D.24 6.已知函数f(x)=xhx的值域为M,则“m∈M”是“m之-e”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.有三个编号为AB、C的不透明盒子，A盒中装有两个大小相同的红球，B盒中装有 两个大小相同的黑球，C盒中装有大小相同的一个红球和一个黑球，随机选择一个盒 子，从该盒子中抽取一个小球，发现是红球，则被选中的盒子是A盒子的概率是 A月 B.青 c. 8.在直三棱柱ABC-AB,C中，AB=I,BC=CC=V3,∠ABC=90°，点P是平面ABC 内一动点，满足AP·4码=A8，则4P+与PC的最小值为 A.5 B.35 2 C.2+ 2 D.万 高二数学试卷 第1页共4页 夸克扫描王 极速扫描，就是高效 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列不等式正确的是 A.(N)3>35 B.(2)3<35 C.1og23>1og45 D.对 10.已知随机事件4，B满足P④=子，PB)=子，P心e万=P(8),则 A,事件A与事件B相互独立 BM面= c.4=号 D.Pa+-月 11.已知非常数函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=f(x)fy),且f(x)>0,则 A.f(0)=2 B.f(x)是偶函数 C.f(x)有最小值，无最大值 D.3ken,fk+-f图=1 f①-f(0) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若两个分类变量X与Y的2×2列联表为： 合计 附：x2 n(ad-be)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 20 20 % P(x2zk) 0.050 0.010 0.001 30 10 40 3.841 6.635 10.828 合计50 30 80 则▲95%把握认为“X与Y之间有关系”，（填“有”或“无”） 13.在AMBC中，B=牙，BC边上的高等于}BC,则cos∠BAC=人 14,桌面有6张扑克牌摆法如右图，现每次从三列压在上面的牌 A 中选取一张（第一次只能在1,2,4中选取），依次放入下列 格子中组成六位数，第一次抽取的放在个位，第二次抽取的 放在十位，以此类推，直至取完，共有▲个六位数 高二数学试卷 第2页共4页 夸克扫描王 极速扫描，就是高效 哥 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知函数f网=sin(x+孕+snx-孕+V6cosx. (1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间： (2)求使f(x)≥√2成立的x的取值集合： 16.(本小题满分15分) 如图，在三棱台ABC-ABC中，底面ABC为等边三角形，∠B,BA=∠B,BC, AB=24B1=2,BB=3. (1)求证：BB⊥AC: (2)当三棱台ABC-AB,C体积最大时. (①求直线CC与底面ABC所成角的正弦值： ()求三棱锥B-ABC外接球的半径， 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=ae2+(a-2)e-x. (1)讨论f(x)的单调性： (2)当x≥0时，f(x)20,求a的取值范围， 高二数学试卷 第3页共4页 Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 18.(本小题满分17分) 某摄影公司为拓展业务提升经营业绩，借助AI助手自动检测和修改美化照片.现有一批 照片需要检测，每张照片被AI助手评为A*的概率为p(0<p<1),且检测结果相互独立. 取4张不同的照片，安排A虹助手对每张照片进金 结果为A+的照片数为X,求P(X=2)及D(X): 2)为进一步提高选片质量，摄影公司决定每张照片由A1助手检测三次（检测相互独立， 互不干扰)若三次检测结果均为A*,则照片被评为优秀，照片选出：若三次检测 结果均为非A,则照片被评为不合格，照片淘汰：其余情况，可以借助AI修图， 达到优秀.拟定每张照片的检测费用为1元，若需要A1修图，还需再花费3元的修图 费.若实施该方案，且检测照片100张，摄影公司用于检测和修图费用的预算为330元 是否合理？并说明理由.（摄影公司用于检测和修图费用的期望不超过预算即为合理） 19.(本小题满分17分) 设整数n≥2，对于集合A=L,2,3,,川，定义对应关系f:A→A, 规定：①x∈A,f(x)≠x:②若x≠y,则f(x)≠fy) (1)当n=4时，写出满足f0)-2,f(2)=1的对应关系： ②)0当n为偶数时，求∑-)0-的最小值：（结果用m表示） ()集合B=f(x)川x∈A,记M=,b2,bb(k∈Z)是集合B的一个子集，令M对 应一个数S(M=(-,∑4，（规定：空集对应的数为1）对于B的所有子集，记 它们对应的数的总和为3求S+∑f回-的最小值.（结果用m表示） 高二数学试卷 第4页共4页 ▣▣ 夸克扫描王 极速扫描，就是高效