精品解析：广东省深圳市龙岗区平湖外国语学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

2023-2024学年第二学期高一年级期中考试题 数 学 命题人：邹莹 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（为虚数单位），则复数z的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数乘法法则化简，再求虚部即可. 【详解】，故其虚部为. 故选：A. 2. 已知平面向量，，且，则（ ） A. 4 B. ﹣6 C. ﹣10 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】由与两向量的坐标求出的坐标，即可由向量数量积的坐标表示得出答案. 【详解】，，且， ，解得：，即， 则； 故选：C. 3. 在中，角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理得到，求出答案. 【详解】，又， 解得. 故选：B 4. 在中，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求解角度. 【详解】在中， 所以, 由正弦定理，, 所以,则, 因为,所以或. 故选：B 5. 已知某圆锥的底面半径是高的一半，则其侧面展开图的圆心角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥的底面圆的半径为，根据展开图中弧长等于底面圆的周长，列出方程，即可求解. 【详解】设圆锥的底面圆的半径为，则圆锥的高为，可得母线长为， 则圆锥底面圆的周长为， 设圆锥侧面展开图的圆心角为，则，可得. 故选：B. 6. 已知平面向量与的夹角为，则（ ） A. B. C. 4 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由数量积定义结合向量模长公式即可计算求解. 【详解】由题得， 所以 故选：B. 7. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin B＝b cos A，a2＝(b－c)2＋4，则△ABC的面积是（ ） A. 1＋ B. 2＋ C. 2 D. 2＋2 【答案】A 【解析】 【详解】因为a sin B＝b cos A，所以sin A sin B＝sin B cos A(sin B＞0)，所以sin A＝cos A，所以tan A＝1．因为0＜A＜π，所以A＝，所以a2＝b2＋c2－2bc cos ．因为a2＝(b－c)2＋4，所以bc＝4＋2，所以S△ABC＝bc sin A＝1＋. 故选A. 8. 中国南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底而边长为2，下底而边长为4，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由祖暅原理，该不规则几何体的体积与正六棱台的体积相等，根据棱台的体积公式计算可得. 【详解】由祖暅原理，该不规则几何体的体积与正六棱台的体积相等， 故 . 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则在上的投影向量为 D. 若，，则在上的投影向量为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示可判断AB；由向量垂直的坐标表示结合已知求出向量，可得向量，然后根据投影向量公式可得投影向量，可判断CD. 【详解】由向量平行的坐标表示可知，若，则，A正确，B错误； 若，且，则，解得， 则，， 则在上的投影向量为，C正确，D错误． 故选：AC 10. 在正方体中，E，F，G分别为BC，，的中点，则（ ） A. 直线与直线AF异面 B. 直线与平面AEF平行 C. 平面AEF截正方体所得的截面是等腰梯形 D. 三棱锥A-CEF的体积是正方体体积的 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据异面直线定义、面面平行的判定定理以及性质定理以及三棱锥的体积求解方法可求得正确选项. 【详解】 对于选项A，易知AF与异面，选项A正确； 对于选项B，取的中点为M，连接、GM，则，，易证，从而，选项B正确； 对于选项C，连接，，易知平面AEF截正方体所得的截面为等腰梯形，选项C正确； 对于选项D．设正方体棱长为a，三棱锥A-CEF的体积，选项D错误． 故选：ABC． 11. 已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用复数的几何意义可判断A选项；利用共轭复数的定义可判断B选项；利用复数模的三角不等式可判断CD选项. 【详解】对于A选项，因为，则，A对； 对于B选项，由共轭复数的定义可得，B对； 对于C选项，，则， ， 当且仅当时，等号成立，即的最大值为，C对； 对于D选项，， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为，D错. 故选：ABC. 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 水平放置的的斜二测直观图是如图中的，已知，，则边的实际长度是 _____. 【答案】5 【解析】 【分析】结合斜二测画法的性质将图还原后计算即可得. 【详解】把直观图还原为原图形，如图所示， 则， 所以. 故答案为：5. 13. 若（为虚数单位）是关于实系数一元二次方程的一个虚根，则实数__________. 【答案】-2 【解析】 【分析】利用实系数一元二次方程的虚根成对原理和根与系数的关系即可得出. 【详解】（i为虚数单位）是关于的实系数一元二次方程的一个虚根， （i为虚数单位）也是关于的实系数一元二次方程的一个虚根， ，解得. 故答案为：-2. 14. 如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则______________. 【答案】## 【解析】 【分析】令，作为基底，将表示出来，再根据向量的数量积公式求夹角即可. 【详解】设，，则， ，又，， 所以 ． 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 复平面内表示复数的点为． （1）当实数取何值时，复数表示纯虚数？并写出的虚部； （2）当点位于第四象限时，求实数的取值范围； （3）当点位于直线上时，求实数的值． 【答案】（1），虚部为 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义求解，然后可求虚部； （2）根据复数的几何意义列式计算； （3）根据点Z位于直线上，可得，从而可求. 【小问1详解】 依题意得，当且，即时，复数是纯虚数，虚部为． 【小问2详解】 依题意，得且，解得．所以当时，点位于第四象限． 【小问3详解】 依题意得当，即或时，点位于直线上． 16. 如图，已知圆锥的底面半径，高，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱. （1）若圆柱的底面半径，求剩余部分体积； （2）试求圆柱侧面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用相似比可求出圆柱的高，则剩余部分体积等于圆锥的体积减去圆柱的体积即可， （2）方法一：作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示，设，利用相似比可表示出圆柱的底面半径，从而可表示出圆柱的侧面积，从而可求出其最大值，方法二：设圆柱底面半径为，然后利用相似表示出圆柱的高，从而可表示出圆柱的侧面积，从而可求出其最大值. 【小问1详解】 因为圆锥底面半径，高. 所以圆锥的母线长、 圆锥体积. 设圆柱的高，则，所以， 圆柱体积， 剩余部分体积为， 【小问2详解】 方法一：作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示， 其中，设， 设圆柱底面半径为，则，即 设圆柱的侧面积为 当时，有最大值为， 方法二：作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示， 其中， 设圆柱底面半径为，则，即 设圆柱的侧面积为 当时，有最大值为. 17. 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点． （1）求证：BC∥AD； （2）求证：CE∥平面PAB． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明； （2）取PA的中点F，连接EF，BF，利用中位线的性质，平行四边形的性质，以及线面平行的判断定理即可证明． 【小问1详解】 在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD， 平面ABCD∩平面PAD＝AD，∴BC∥AD． 小问2详解】 取PA的中点F，连接EF，BF，∵E是PD的中点， ∴EF∥AD，， 又由（1）可得BC∥AD，且，∴BC∥EF，BC＝EF， ∴四边形BCEF是平行四边形，∴EC∥FB， ∵EC⊄平面PAB，FB⊂平面PAB， ∴EC∥平面PAB． 18. 如图．在锐角中，点D为边上一点，=，且，． （1）求边的长； （2）若点D为边BC的中点，求的面积． （3）若AD为的平分线，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先求得，再由正弦定理即可求得 （2）首先求得sin， 再由正弦定理求得，根据 为中点，得，即可求得三角形的面积； （3）由角平分线定理，结合余弦定理，求得， 再根据（2）的结果即可得三角形面积. 【小问1详解】 由， 可得， 所以 又， 在中，由正弦定理可得 即， 故边的长为 【小问2详解】 由， 可得， 所以. 在中，由正弦定理，可得， 即， 又点为边的中点， 所以 【小问3详解】 若为的平分线，由角平分线定理，可得， 设， 在中，由余弦定理可得 整理得，解得或（舍去）， 故， 由， 故 19. 已知是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点作，，以为原点，分别以射线为轴的正半轴，建立平面坐标系，如左图．我们把这个由基底确定的坐标系称为基底坐标系．当向量不垂直时，坐标系就是平面斜坐标系，简记为．对平面内任一点，连结，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对，使得，则称实数对为点在斜坐标系中的坐标． 今有斜坐标系（长度单位为米，如右图），且，设 （1）计算的大小； （2）质点甲在上距点4米的点处，质点乙在上距点1米的点处，现在甲沿的方向，乙沿的方向同时以3米/小时的速度移动． ①若过2小时后质点甲到达点，质点乙到达点，请用，表示； ②若时刻，质点甲到达点，质点乙到达点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离． 【答案】（1） （2）①；②小时后，两质点相距最短，最短距离为米 【解析】 【分析】（1）通过展开计算即可； （2）①通过以及计算可得；②通过求得，再通过展开计算求最值. 【小问1详解】 因为，所以，， 又，所以． 所以， 即的大小为； 【小问2详解】 ①如图所示： 依题意，过2小时后质点甲到达点（在点左边），且有， 质点乙到达点，且有，故 ②时刻时，质点甲到达点，质点乙到达点， 如图所示： ，则 ， 所以两质点间的距离 ， 因为，所以当时．取得最小值为， 所以小时后，两质点相距最短，最短距离为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期高一年级期中考试题 数 学 命题人：邹莹 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（为虚数单位），则复数z的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 2. 已知平面向量，，且，则（ ） A. 4 B. ﹣6 C. ﹣10 D. 10 3. 在中，角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，则等于（　　） A. B. C. D. 5. 已知某圆锥的底面半径是高的一半，则其侧面展开图的圆心角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面向量与的夹角为，则（ ） A B. C. 4 D. 12 7. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin B＝b cos A，a2＝(b－c)2＋4，则△ABC的面积是（ ） A 1＋ B. 2＋ C. 2 D. 2＋2 8. 中国南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底而边长为2，下底而边长为4，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，下列结论正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，，则在上的投影向量为 D. 若，，则在上的投影向量为 10. 在正方体中，E，F，G分别为BC，，的中点，则（ ） A. 直线与直线AF异面 B. 直线与平面AEF平行 C. 平面AEF截正方体所得的截面是等腰梯形 D. 三棱锥A-CEF的体积是正方体体积的 11. 已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 水平放置的的斜二测直观图是如图中的，已知，，则边的实际长度是 _____. 13. 若（为虚数单位）是关于的实系数一元二次方程的一个虚根，则实数__________. 14. 如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则______________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 复平面内表示复数的点为． （1）当实数取何值时，复数表示纯虚数？并写出的虚部； （2）当点位于第四象限时，求实数的取值范围； （3）当点位于直线上时，求实数的值． 16. 如图，已知圆锥的底面半径，高，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱. （1）若圆柱的底面半径，求剩余部分体积； （2）试求圆柱侧面积的最大值. 17. 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点． （1）求证：BC∥AD； （2）求证：CE∥平面PAB． 18. 如图．在锐角中，点D为边上一点，=，且，． （1）求边长； （2）若点D为边BC的中点，求的面积． （3）若AD为平分线，求的面积． 19. 已知是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点作，，以为原点，分别以射线为轴的正半轴，建立平面坐标系，如左图．我们把这个由基底确定的坐标系称为基底坐标系．当向量不垂直时，坐标系就是平面斜坐标系，简记为．对平面内任一点，连结，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对，使得，则称实数对为点在斜坐标系中的坐标． 今有斜坐标系（长度单位为米，如右图），且，设 （1）计算的大小； （2）质点甲在上距点4米的点处，质点乙在上距点1米的点处，现在甲沿的方向，乙沿的方向同时以3米/小时的速度移动． ①若过2小时后质点甲到达点，质点乙到达点，请用，表示； ②若时刻，质点甲到达点，质点乙到达点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$