精品解析：浙江宁波市东海实验学校2025-2026学年八年级下学期6月期末调研数学试卷

宁波东海实验学校二○二五学年第二学期期终调研 八年级数学问卷（Ⅱ） 总分120分 考试时间：90分钟 一、选择题（每题4分，共32分） 1. 我国古代数学成就中蕴含了许多具有对称美的图案．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形； 中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形 ． 【详解】A． 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意 ， B． 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意 ， C． 不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意， D． 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意 ． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的判定条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一化简选项即可得到结果． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、的被开方数，不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足条件，是最简二次根式，符合题意． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 B. 有一组邻边相等的四边形是菱形 C. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．有一个角是直角的平行四边形才是矩形，一组对边相等且有一个角是直角的任意四边形不一定是矩形，故该选项错误， B．有一组邻边相等的平行四边形才是菱形，缺少平行四边形的前提条件，故该选项错误， C．对角线相等且互相垂直平分的四边形才是正方形，缺少对角线互相平分的条件，故该选项错误 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，符合菱形的判定定理，故该选项正确，符合题意． 4. 若用反证法证明命题“在 中，若，则”，则应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：用反证法证明命题时，首先假设命题的结论不成立，原命题结论为，它的否定为，因此应假设． 5. 探讨关于x的一元二次方程总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；乙：；丙：．其中符合条件的是（ ） A. 甲，乙，丙都正确 B. 只有甲不正确 C. 甲，乙，丙都不正确 D. 只有乙正确 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式求解，然后根据各种说法的条件逐项验证即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程根的判别式为：， 甲：当a，b同号时，若两数均为负数，就不能确保的符号为正，不符合题意； 乙：当时，得到，从而，总有实数根，符合题意； 丙：当时，得到，从而，总有实数根，符合题意； 综上所述，甲的建议不能满足题意、乙和丙的建议满足题意， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程有实数根的条件，根据题中所给条件，结合一元二次方程根的判别式讨论是解决问题的关键． 6. 某班进行趣味投篮比赛，每人投10次，6位参赛同学的命中次数整理如下表（单位：次）： 最小值 平均数 中位数 众数 最大值 3 a 6 6 b 根据以上信息，下列分析正确的是（ ） A. 若，则b的最小值为7 B. 若，则b的最大值为8 C. 若 ，则a的最大值为 D. 若 ，则a的最小值为6 【答案】C 【解析】 【分析】先将6个数据从小到大排列，根据中位数、众数的定义确定数据关系，再结合平均数公式，对每个选项逐一计算判断即可． 【详解】解：设6位同学命中次数从小到大排列为 ， 由题意得 ，中位数为6， 所以 ，即， 因为众数是6， 若 ，则 ， 此时数据中最多只有1个6，不满足众数为6， 因此 ，6个数为 ，满足 ，所有数为不超过10的整数，6是唯一众数，总和满足 ． 若，则 ， 对A选项，若 ，则 ， ， ，不成立，A错误． 对B选项，取 ，数据 满足所有条件， 此时 ，B错误． 若 ，则 ， 对C选项，要使 最大，需 最大， ， 取 ，此时 ，数据 满足所有条件， 故 最大值为 ，C正确． 对D选项，要使 最小，需 最小，取 ， 此时 ，数据 满足所有条件， 故 最小值不是，D错误． 7. 已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点，若对于，，都有，则a的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用反比例函数的增减性，根据系数的正负分情况讨论，结合对任意都有的条件，列不等式求解 的取值范围即可． 【详解】解：设，反比例函数为，分两种情况讨论： 情况1：，即，得，此时反比例函数的图象在每个象限内随增大而减小． ∵对任意，都有， ∴小于的最小值，的最小值为， 又∵，可得， ∵， ∴． 当时，左边，不等式恒成立，符合条件， 当 时，两边同乘 ，得， 又∵， ∴； 情况2：，即，得，此时反比例函数的图象在每个象限内随增大而增大， ∵对任意，都有， ∴小于的最小值，代入，得， ∵， ∴， ∵，两边同乘，得，与矛盾， ∴此情况无解． 综上， 的取值范围是或． 8. 如图1，在菱形中， ，点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿折线向终点D匀速运动，两点同时到达终点．设运动时间为x秒，为y．如图2，y关于x的函数图象经过最低点．下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 点在该函数图象上 【答案】B 【解析】 【分析】连接，交于点O，过点Q作于点H，结合菱形的性质得， ， ，进一步判定，有，根据题意可知点Q以每秒2个单位的速度沿折线向终点D匀速运动，图2的对称性可知，当点Q运动至点C、点P运动至点O时，，则，则和，结合图2可知点，此时点P与点B重合，点Q与点D重合，进而分：点Q在线段 运动时，解得、和，利用勾股定理求得为，即可得到点E的信息；当点Q在线段运动时，同理可得 ，，，和，则，利用勾股定理求得，代入点即可． 【详解】解：连接，交于点O，过点Q作于点H，如图， ∵菱形中， ， ∴，， ，， ∴ 为等边三角形． 则， ∵ ，， ∴， ∴， ∴， ∴， 则点Q以每秒2个单位的速度沿折线向终点D匀速运动， 由图2的对称性可知，当点Q运动至点C、点P运动至点O时，，则， 那么，，，由图2可知点，此时点P与点B重合，点Q与点D重合， 当点Q在线段 运动时， ∴ ，，， ∴，解得，， 则， 那么，为 ， 当时即为图2的点E，， 当时，， 当点Q在线段运动时， 同理可得 ，，， ∴，， 则， 那么，为 ， 当时，， 故选∶B． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用和二次函数的应用，解题的关键是应用动态的思想找到菱形的边长． 二、填空题（每题4分，共24分） 9. 一个多边形的外角和等于它的内角和的三分之一，它是_____边形． 【答案】八##8 【解析】 【分析】根据任意多边形的外角和都为，内角和公式为（其中n为边数）列出方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意，得 解得． 10. 如图，四边形是菱形， ，， 于点E，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理．根据菱形的性质可得，，， ，运用勾股定理可得的长，再根据菱形面积的计算方法，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ，， ∴，，， ， ∴． 在 中，由勾股定理，得， ∴， ， ． 故答案为：． 11. 已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】将二次函数化为顶点式，得到开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大，即可求解． 【详解】解： ， 开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大， 当时，有最小值为1， ， 当时，有最大值为， y的取值范围为 ． 12. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 的顶点 在 轴负半轴上，顶点 在第二象限，边 的中点 横坐标为 ，反比例函数的图象经过点 ．若 ，则 的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作 轴， 轴，垂足分别为 ，根据反比例函数 值的几何意义，得 ，求出 的值即可． 【详解】解：如图，作 轴， 轴，垂足分别为 ， ∵边 的中点 横坐标为 ， ∴， ∴点 纵坐标为， ∵平行四边形， ∴点 纵坐标为， 则， 由， 根据反比例函数 值的几何意义，得， ∴ ， ∴ ， 解得： ． 13. 某中学数学社团开展折纸活动，如图在一张宽为 ，长度足够的矩形纸条中剪取矩形纸片（ ）．先将纸片折出折痕，再在边上取点，将沿 折叠得 ．记 与的交点为，在折纸过程中，当点平分线段 时， 恰好平分，且 ，则长度应取________ ． 【答案】 【解析】 【分析】延长交 于点 ，过点作 于点，可得四边形 为矩形，推出 ， ，根据折叠可得， ， ，结合角平分线的定义可证明 ，得出 ， ，结合题意可得 ，证明 ，得出 ， ，则 ，设 ，则 ，由勾股定理得 ，列方程求出，进而得到 ， ，再求出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，延长交 于点 ，过点作 于点， ， 四边形为矩形， ， 四边形 为矩形， ， ， 根据折叠可得， ， ， 平分， ， 又 ， ， ， ， 点平分线段 ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， 设 ，则 ， 由勾股定理得 ， ， 解得， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在中， ， 于D点，，点P是直线BC上一动点，连接AP．若点E是AP的中点，则DE的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先延长AB到F点，使 ，使得线段DE成为△APF的中线，借助含30°角的直角三角形三边关系，依次求出AC，BD，CD，DF等线段的长度，计算求得BF，FH的长度，由“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”可知，当点P在H点的位置时， FP的值最小，最后借助三角形中位线定理求DE的最小值． 【详解】延长AB到F点，使 ，连接CF，作于H，如图， 在中， ∵ ， ∴，， ∵ ， ∴， 在 中，，， 在中，， ∴， 在中，，， ∵ ，， ∴DE为的中位线， ∴，当点P在H点的位置时， FP的值最小， ∴DE的最小值为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理和含30°角的直角三角形三边关系，合理添加辅助线，借助三角形中位线定理求解是关键． 三、解答题（15、16题8分，17、18、19、20题各12分，共64分） 15. 计算 （1） （2）解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， 令或， 解得：， 16. 如图，已知四边形是菱形，延长 到点E使 ，延长到点F使 ，连接 ，，， ． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接 ，若 平分 ，菱形的边长为4，求矩形的面积． 【答案】（1） 证明：∵ ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据 ， ，得出四边形是平行四边形，根据四边形是菱形，得出，结合，，得出，即可证明四边形是矩形． （2）根据四边形是菱形，得出 ，，即可得 ，结合 平分 ，证明 ，证出 ，得出，，在 中，根据勾股定理求出，即可求出四边形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵菱形的边长为4 ， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴ ， ∵ 中， ， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 【点睛】该题考查了勾股定理，矩形的性质和判定，菱形的性质，等腰三角形的判定等知识点，掌握以上知识点是解题的关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（，）的图象相交于点，两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）请直接写出关于的不等式的解集________ （3）在平面直角坐标系中，是否存在点 （点 在直线的右上方）和点 ，使得四边形为正方形，若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）将代入中，求出，得到反比例函数的表达式，再求出点 的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）观察图象即可求解； （3）根据正方形的性质得到，，在直线的右上方作为斜边的等腰直角三角形，过点 作轴，分别过点， 作于点 ，于点，设点，通过证明得到，，进而列出关于、的方程组，解方程组即可得出答案． 【小问1详解】 解：将点代入，可得， 反比例函数的表达式为， 将代入，得， ， 将，代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 一次函数与反比例函数（，）的图象相交于点，两点， 关于的不等式的解集为， 故答案为：； 【小问3详解】 存在，理由如下： 四边形为正方形， ，， 是等腰直角三角形， 如图，在直线的右上方作为斜边的等腰直角三角形，过点 作轴，分别过点， 作于点 ，于点， 则， ， ， ， ， 设点， ， ，，，， 在和中， ， ， ，， ， 解得， ． 18. 2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． （1）某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为20万件，4月份销量已增至24.2万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． （2）义乌某商铺以每件10元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为30元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件. ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付2元快递费，且线上日销量固定为100件．当线下售价为多少元/件时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 【答案】（1） （2）每件应降价10元； 当售价为29元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3410元 【解析】 【分析】（1）设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，根据每件利润乘以日销售量等于总利润建立方程求解； ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件，列出关于 的二次函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件， 根据题意得：， 整理得： 解得：， 又∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件应降价10元． ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件 则 ， ， ∴当时，w有最大值，最大值为3410， ∴当售价为29元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3410元． 19. 定义：若一个点的纵坐标与横坐标之差是横坐标的2倍，则称这个点为“友好点”，如：，，等都是“友好点”．已知二次函数（c为常数）． （1）若该函数经过点，求该函数表达式，并求出该图象上的“友好点”坐标； （2）在（1）的条件下，当时，函数的最小值为，求t的值； （3）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“友好点”，结合图象，求出c的取值范围． 【答案】（1）函数表达式为 ，“友好点”坐标为 （2）的值为或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：抛物线与轴交于 ；抛物线与轴交点个数由决定，也考查了二次函数图象上点的坐标特征． （1）把代入即可求得抛物线解析式，然后根据“友好点”的定义求解即可； （2）由（1）可知 ，分当，当时，两种情况下的最小值，令最小值等于，分别求解即可． （3）由题意得，“友好点”所在的直线为，将在的范围内，二次函数 的图象上至少存在一个“友好点”，转化为在的范围内，二次函数 和至少有一个交点，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入，得 ， 解得： ， ∴抛物线解析式为 ； 根据“友好点”的定义可设， 把代入 ，得 ， 整理得： ， 解得， ∴“友好点”坐标为； 【小问2详解】 解：由()可知为 ，其中，抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线， 当，即时， ∴当 时，取得最小值，即 ， 解得或， ∵， ∴； 第二种情况： 当，即时， ∴当时，取得最小值，即 ， 解得或 ， ∵， ∴； 综上，的值为或 ． 【小问3详解】 解：由题意得，“友好点”所在的直线为， 在的范围内，二次函数 的图象上至少存在一个“友好点”， 即在的范围内，二次函数 和至少有一个交点， 令 ，整理得， ， 则 ， 解得 ； 由方程 可变形为 ，则问题等价于二次函数 与直线 在范围内至少有一个交点， ∴由 可知：开口向上，对称轴为直线， ∴当时，则有 ，当 时，则有 ， 即在上，的取值范围为 ，即 ， 综上所述：的取值范围为： ． 20. 如图，在矩形中，， ，点E是 边上的动点，连接，点B关于的对称点为点F，连接，作射线交直线于点G． 【动手操作】 （1）如图（1），若点G与点A重合时，在图1中补全图形，则线段与线段的数量关系为 ； 【深入探究】 （2）如图（2），若，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）若点E在射线 上运动，当E，F，D三点共线时，直接写出的面积． 【答案】（1）作图见详解， （2），理由见详解 （3）或 【解析】 【分析】（1）先根据题意作出对应的图形，利用轴对称的性质和勾股定理列出方程即可求解x的值，从而得到结论； （2）利用矩形的性质，轴对称的性质及平行线的性质得到； （3）分情况讨论：①当点E在线段 上时，②当点E在射线 上，点C右侧时；利用勾股定理，轴对称的性质，矩形的性质及三角形面积公式即可得出结果． 【小问1详解】 解：补全图形如下： ∵点B关于的对称点为点F， ∴ ，，， ∵， ， ∴，， ∵射线交直线于点G，点G与点A重合， ∴ ， ∴， 在 中，， ∴， 设 ，则， 在 中，， ∴， 解得，即， ∴． 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵点B关于的对称点为点F， ∴ ， ， ∴， ∴， 即． 【小问3详解】 解：由题意知，此时分情况讨论： ①当点E在线段 上时： ∵点B关于的对称点为点F， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∵ ， 在中，， ∴， ∴， 如图，分别过点F作 ， 交于点M，交 于点N， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点E在射线 上，点C右侧时： ∵ ，点B关于的对称点为点F， ∴，， ∴， 在中，， 如图，过点F作交于点Q， 与交于点P， ∵， ∴， ∵ ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的面积为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁波东海实验学校二○二五学年第二学期期终调研 八年级数学问卷（Ⅱ） 总分120分 考试时间：90分钟 一、选择题（每题4分，共32分） 1. 我国古代数学成就中蕴含了许多具有对称美的图案．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 B. 有一组邻边相等的四边形是菱形 C. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 4. 若用反证法证明命题“在 中，若，则”，则应假设（ ） A. B. C. D. 5. 探讨关于x的一元二次方程总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；乙：；丙：．其中符合条件的是（ ） A. 甲，乙，丙都正确 B. 只有甲不正确 C. 甲，乙，丙都不正确 D. 只有乙正确 6. 某班进行趣味投篮比赛，每人投10次，6位参赛同学的命中次数整理如下表（单位：次）： 最小值 平均数 中位数 众数 最大值 3 a 6 6 b 根据以上信息，下列分析正确的是（ ） A. 若，则b的最小值为7 B. 若，则b的最大值为8 C. 若 ，则a的最大值为 D. 若 ，则a的最小值为6 7. 已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点，若对于，，都有，则a的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 或 8. 如图1，在菱形 中， ，点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿折线向终点D匀速运动，两点同时到达终点．设运动时间为x秒，为y．如图2，y关于x的函数图象经过最低点．下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 点在该函数图象上 二、填空题（每题4分，共24分） 9. 一个多边形的外角和等于它的内角和的三分之一，它是_____边形． 10. 如图，四边形 是菱形， ，， 于点E，则的长是______． 11. 已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 的顶点 在 轴负半轴上，顶点 在第二象限，边 的中点 横坐标为 ，反比例函数的图象经过点 ．若 ，则 的值为______． 13. 某中学数学社团开展折纸活动，如图在一张宽为 ，长度足够的矩形纸条中剪取矩形纸片 （ ）．先将纸片折出折痕 ，再在边上取点，将沿折叠得 ．记 与 的交点为，在折纸过程中，当点平分线段 时， 恰好平分，且 ，则长度应取________ ． 14. 如图，在中， ， 于D点，，点P是直线BC上一动点，连接AP．若点E是AP的中点，则DE的最小值是______． 三、解答题（15、16题8分，17、18、19、20题各12分，共64分） 15. 计算 （1） （2）解方程： 16. 如图，已知四边形是菱形，延长 到点E使 ，延长到点F使 ，连接， ，， ． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接 ，若 平分 ，菱形的边长为4，求矩形的面积． 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（， ）的图象相交于点，两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）请直接写出关于 的不等式的解集________ （3）在平面直角坐标系中，是否存在点（点在直线的右上方）和点 ，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 18. 2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． （1）某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为20万件，4月份销量已增至24.2万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． （2）义乌某商铺以每件10元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为30元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件. ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付2元快递费，且线上日销量固定为100件．当线下售价为多少元/件时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 19. 定义：若一个点的纵坐标与横坐标之差是横坐标的2倍，则称这个点为“友好点”，如：，，等都是“友好点”．已知二次函数（c为常数）． （1）若该函数经过点，求该函数表达式，并求出该图象上的“友好点”坐标； （2）在（1）的条件下，当时，函数的最小值为，求t的值； （3）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“友好点”，结合图象，求出c的取值范围． 20. 如图，在矩形 中， ， ，点E是 边上的动点，连接，点B关于的对称点为点F，连接，作射线交直线于点G． 【动手操作】 （1）如图（1），若点G与点A重合时，在图1中补全图形，则线段与线段的数量关系为 ； 【深入探究】 （2）如图（2），若，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）若点E在射线 上运动，当E，F，D三点共线时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $