第03讲 全等三角形的判定20大题型（暑假预习讲义）新八年级数学新教材苏科版

第03讲 全等三角形的判定 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 用SAS证明三角形全等 题型2 全等的性质与SAS综合 题型3 用ASA证明三角形全等 题型4 全等的性质与ASA综合 题型5 用AAS证明三角形全等 题型6 全等的性质与AAS综合 题型7 用SSS证明三角形全等 题型8 全等的性质与SSS综合 题型9 用HL证明三角形全等 题型10 全等的性质与HL综合 题型11 灵活选用判定方法证全等 题型12 全等证明常见模型—倍长中线 题型13全等证明常见模型—一线三等角 题型14 全等证明常见模型—手拉手 题型15 全等证明常见模型—旋转 题型16 全等证明常见模型—半角 题型17 全等证明常见模型—k字型 题型18 全等三角形的判定与性质综合（压轴） 题型19 全等三角形辅助线添加问题（压轴） 题型20 全等三角形的新定义问题（压轴） 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 全等三角形的判定 倍长中线模型 一线三等角模型 手拉手模型 1.掌握 SSS、SAS、ASA、AAS 判定定理，明确 AAA、SSA 无法证明三角形全等； 2.能从图形中找出公共边、公共角、对顶角等隐含相等边角条件； 3.可根据题干给出的边、角条件，合理选用判定定理完成证明； 4.规范书写几何证明步骤，理清因果逻辑，做到推理有据不跳步； 5.能结合平移、旋转、折叠图形分析，提升识图与分类解题能力。 学习重点：熟记 SSS、SAS、ASA、AAS 判定定理，识别图形隐含条件，规范书写全等证明步骤。 学习难点：根据现有边角条件匹配判定方法，复杂图形准确找出对应边、对应角进行推理。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 全等三角形的判定—SAS 全等三角形判定1——“边角边” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 即时即练 1．如图，点，在上，且，，，则，其依据是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，，要使，需添加一个条件可以依据得到，这个条件可以是______． 3．如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 知识点02 全等三角形的判定—ASA 全等三角形判定2——“角边角” 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 即时即练 4．如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 5．如图，点D在上，点E在上，，． (1)求证：； (2)可以通过_______变换得到（填“平移”或“轴对称”或“旋转”）． 6．如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 知识点03 全等三角形的判定—AAS 全等三角形判定3——“角角边” 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 即时即练 7．如图，在中，于点，于点，交于点，且． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 8．如图，点C、E、F、B在同一直线上，且，给出下列信息：①；②；③．请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是______，结论是______（只要填写序号），并说明理由． 9．如图，中，点是的中点，过点作，连接并延长交于点，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的长． 知识点04 全等三角形的判定—SSS 全等三角形判定4——“边边边” 三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 即时即练 10．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)求证：． 11．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，，，，求证： (1)； (2)． 12．如图，点、、、在同一条直线上，，， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 知识点05 全等三角形的判定—HL 斜边、直角边 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简称为“斜边、直角边”或“HL”. 如上图所示，在Rt△ABC与Rt△A’B’C’中，，已知 . 即时即练 13．如图，点E，F在线段上，，，，求证：． 14．如图，，相交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 15．如图，在四边形中，，，，为的中点．将沿翻折，点恰好落在上的点处．求的长． 知识点06 灵活选用全等的判定方法 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 即时即练 16．在，，这三个条件中，选择其中两个作为条件，一个作为结论补充在下面的问题中，并完成解答．（只填序号） 问题：已知：如图，、相交于点O．且 ， ，求证： ．    17．如图，已知∠1＝∠2，AB＝AD，请添加一个条件，使△ABC≌△ADE，并加以证明． (1)你添加的条件是______（只需添加一个条件）； (2)写出证明过程． 18．如图，点四点在同一条直线上，，若______，则．请从①；②；③；从三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 题型1 用SAS证明三角形全等 1．如图，，，，则能通过全等证明出，所用的依据是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在与中，，若利用“边角边”来判定，还需添加的一个直接条件为________． 3．如图，，，．求证：． 4．如图，E、F是四边形的对角线上的两点，，，．求证： (1)； (2)． 5．如图，，，，，相交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 题型2 全等的性质与SAS综合 6．如图，以的顶点A为圆心，以长为半径画弧，交边的延长线于点D．分别以点、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图①为我们常见的马扎，马扎上层是可以折叠但不能伸缩的帆布，图②是马扎撑开后的侧面示意图，其中腿和的长度相等，是它们的中点，经测量，，那么马扎撑开后两个腿落地点，之间的距离是（    ） A． B． C． D． 8．如图，小明想测量池塘两岸上A、B两点的距离．他在平地上取一点C，使测量者能从C直线走到A和B两点，在平地上延长至点D，使，延长BC至点E，使，连接．若测得米，则A，B两点间的距离为________米． 9．如图，已知，垂足为点，，垂足为点，若，，则__________． 10．如图，点是的中点，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型3 用ASA证明三角形全等 11．如图，为了测量点B到河正对面点A之间的距离，小明在与点B同侧的河岸上选择点C和点D，测得，（B，C，D三点共线），过点作，使得点A，C，E在同一直线上，得到，测得的长就是A，B两点之间的距离，这里判定的依据是（   ） A． B． C． D． 12．如图，点，都在线段上，，，．求证：． 13．如图，点B、E、C、F在直线l上（C、F之间有一水坑），点A、D在l异侧，测得，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 14．如图：、、、在一条直线上，，，，求证： (1)； (2)，． 15．已知：如图，，． (1)求证：． (2)求证：． 题型4 全等的性质与ASA综合 16．如图，已知，，，则图中长度与线段长度一定相等的线段是（   ） A． B． C． D． 17．如图，在中，点为边上一点，，连接，过点作于点，且平分，连接，若的面积为1，则的面积为（   ） A． B． C． D． 18．如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则的面积为（   ） A．8 B．16 C．24 D．32 19．已知：如图，于，于，于A，．若，则_______ ． 20．如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型5 用AAS证明三角形全等 21．如图，且，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 22．如图，已知，，与相交于点．求证：． 23．如图，点D在上，点E在上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 24．如图，在四边形中，． (1)求证：； (2)若，求的长． 25．如图，点，，在同一条直线上，在的同侧作．，． (1)求证：． (2)求证：． 题型6 全等的性质与AAS综合 26．如图，已知，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 27．如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则______cm． 28．如图，在中，是高和的交点，且，若，，则的长为______． 29．如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为___________． 30．在中，，直线经过点，且于．于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 题型7 用SSS证明三角形全等 31．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，由作图可证，进而得到，说明的依据是（     ） A． B． C． D． 32．如图，，要使，只需添加的一个条件是_______．（填一个即可） 33．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．这种方法是通过判定得到，其中判定的依据是_____________． 34．如图，在四边形ABCD中，，E为的中点，连接，延长交的延长线于点F． (1)和全等吗？请说明理由． (2)若，试说明： 35．如图，在中，点是边上的一点，点在边的延长线上，且． (1)①尺规作图：在上方作，使得． （要求：不写作法，保留作图痕迹）． ②尺规作图中，判定的依据是__________________． （填：）． (2)在（1）的条件下，连接与全等吗？请说明理由． 题型8 全等的性质与SSS综合 36．按如下步骤作图：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 37．如图，已知，以点O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点E、F，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点D，画射线．若，则的度数为___________． 38．如图，在中，两点在上，且有．若，，则的度数为______． 39．如图，点B，E，C，F在同一直线上，． (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 40．（1）【旧题重现】《学习与评价》P19有这样一道习题： 如图①，、分别是和的、边上的中线，，，．求证：． 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． （2）【深入研究】 如图②，、分别是和的、边上的中线，，，．判断与是否仍然全等，并说明理由． 题型9 用HL证明三角形全等 41．如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（   ） A． B． C． D． 42．如图，已知，，若用判定和全等，则需要添加的条件是（　　）    A． B． C． D． 43．如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为______． 44．如图，，，，射线，点和分别在线段和射线上运动，且．当___________时，与全等． 45．如图，在中，是的中点，，，垂足分别是、，且. 求证：． 题型10 全等的性质与HL综合 46．如图，在中，，点在上，，交于点，的周长为，的周长为，则的长为（  ） A． B． C． D． 47．如图，长方形纸片中，，，M是上的点，且．将长方形纸片沿过点M的直线折叠，使点D落在边上的点P处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 48．如图，在四边形中，、为对角线．且，，于点．若，，则的长度为____． 49．如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以3厘米/秒沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E经过 _______________秒时，与全等． 50．如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 题型11 灵活选用判定方法证全等 51．如图，点、、在同一直线上，，于，，要使，则只需添加一个适当的条件是_____．（只填一个即可） 【易错警示】 证明全等易混淆判定条件，误用 SSA、AAA 判定。审题不清，不会区分已知边、角类型，选错定理。忽略公共边、对顶角等隐含条件，缺少关键等量。不区分夹角与对角，SAS 错用非夹角，推理逻辑混乱，书写缺少必要步骤导致失分。 52．如图，点在上，．如果要根据“AAS”判定，应添加的条件是______（写出一种情况即可）． 53．如图，，，若要使，需添加一个条件，请从“条件：”，“条件：”，“条件：”中选择添加一个你认为正确的条件，并写出相应的证明过程． 54．请从①；②这两个条件中任意选择其中一个，补充在下面的横线上，并作答． 已知：如图，点在同一条直线上，且，_____________． 求证：． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 55．如图，已知点、、、在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件，请添加一个你认为正确的条件并完成证明． 解：我添加的条件是________． 理由如下： 题型12 全等证明常见模型—倍长中线 56．如图，在中，已知与的面积相等，如果，，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【易错警示】 倍长中线易忘延长至等长线段，未标注相等线段直接证全等。分不清对顶角作为相等角条件，误用 SSA 证明三角形全等。求证线段关系时不会通过全等转化边，忽略构造平行线推导角度，证明步骤因果颠倒，缺少中线平分线段的基础依据。 57．如图，在长方形中，是中点，在边上，若，则（   ） A．3 B．2 C．1.5 D． 58．如图中，点为的中点，，，，则的面积是______． 59．【问题原型】在数学活动课上，老师给出以下问题：如图1，是的中线，，求证：． 【解决问题】小聪同学想到这个问题可能与已学过的“大边对大角”有关，但小明同学随即提出疑问：题目所涉及的和并不在同一个三角形中，因此不能直接用“大边对大角”进行证明，小强同学由“是的中线”想到了一种思路：如图2，延长至E，使，连接，得到，易证，这样就将已知的不在同一个三角形中的两个角的大小关系转化为在同一个三角形中两个角的大小关系． 请根据小强同学的思路写出证明的完整过程． 60．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点E．使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是： ；（直接填结果，不用写出求解过程） (2)由第（1）问的方法得到启发，如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，试说明：； (3)如图3，．点D为的中点，判断线段与的关系，并说明理由． 题型13全等证明常见模型—一线三等角 61．“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的角的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．   　　   根据对材料的理解解决以下问题： (1)如图，，． ①求证：； ②猜想，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在中，点为上一点，，，四边形的周长为，的周长为，请求出的长． 【易错警示】 不会利用等角推导互余角相等，找错两组对应角。忽略直角、等角带来的等量代换，乱匹配三角形边角。未先说明角相等就直接证全等，易误用 SSA。复杂图形难分辨三组等角，漏掉公共角、平角条件，推理缺少依据导致证明出错。 62．通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：，． (2)如图2，，，，于点于点H，于点P，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． 63．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 如图，已知，，过点作于点，过点作的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，且于，于．若，，则______． （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、之间具有怎样的数量关系？请证明这个数量关系． 64．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 65．（1）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】 在中，，，点D为射线上一动点（点D不与点B重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点D在线段上时，过点E作于F，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点M，点D在运动过程中，若，请直接写出的长． 题型14 全等证明常见模型—手拉手 66．我们把有公共顶点且形状相同的两个三角形组成的图形称为“手拉手”图形．数学兴趣小组的几名同学对“手拉手”图形进行了探究． (1)初步探究：如图，与的顶点重合，，，，连接，他们通过测量发现在和绕点转动的过程中，，请你证明他们的结论； (2)大胆猜想：如图，在（）的条件下，连接，他们猜想的面积与的面积相等，请证明他们的猜想是正确的； (3)拓展延伸：如图，在（）的条件下，当时，延长交于点，，的面积为，求的长度． 【易错警示】 容易忽略公共顶角，不会通过加减公共角推导等角，误用边角条件。认错拉手对应边，乱匹配三角形。直接默认线段相等缺少全等推导，复杂图形分不清两组等腰三角形，证明时缺少夹角相等关键步骤。 67．【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． 【问题初探】 （1）和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，当两个三角板如图1所示的位置摆放时，D、B，C在同一直线上，连接，请证明： 【类比探究】 （2）和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，连接，，，A到直线的距离为7，请求出的面积． 68．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造手拉手旋转型全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积． 解：延长线段到，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形的面积． (1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 ． (2)请你用上面学到的方法完成下题． 如图2，已知，，求五边形的面积． 69．（1）如图1，和是等腰直角三角形，，，连接，，构建“手拉手”模型，可证明________；在此基础上，我们把如图2的画斜线部分称为“蝴蝶型”，可通过证明得到________； （2）如图3，和是等边三角形，，连接，，的延长线与相交于点．求的度数； （3）如图4，在和中，，，，，连接，．则直线与直线的夹角为________度． ∵， 70．如图，为任意三角形，以边、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、，、相交于点． (1)试说明：； (2)求的度数． 题型15 全等证明常见模型—旋转 71．如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 72．已知正方形的边长为3，点E在边上，，如图，若把线段绕点A旋转，使点E落在直线上的点F处，则的长为_______． 73．图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究． 【知识技能】 如图，在正方形中，，，E、F分别是边上的点，连接、且．将绕点B按逆时针方向旋转至，则点M在的延长线上，． (1)证明 (2)判断是否成立； 74．如图1，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，使得点C的对应点为点E，点A的对应点为点D，所在直线交所在直线于点F． (1)求证：； (2)如图2．若将绕点B顺时针方向旋转度，且，其它条件不变，如图2你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程：若不成立，请写出、与之间的关系，并说明理由． (3)当绕点B顺时针方向旋转角度满足，其它条件不变，请直接写出、与之间的关系为_____． 75．【猜想证明】 （1）在平面内，的直角顶点A放置在直线上，，，分别过B，C两点作直线的垂线，垂足分别为D，E． ①如图所示，旋转，当B，C两点在直线的同侧时．请直接写出______； ②如图，旋转，当B，C两点在直线的异侧时，点在A，E两点之间，猜想，，三条线段之间有怎样的数量关系，并证明你的结论； 【问题解决】 （2）如图，直线于点O，Q为直线上的任意一点．为直线上点右侧的一动点，连接，过点作，且，的长度为2，求的面积． 题型16 全等证明常见模型—半角（求值题型可用勾股定理） 76．如图，点分别在正方形的边上，且．把绕点顺时针旋转得到．若，则的长度为____________． 【易错警示】 不会通过截长补短或旋转构造全等，难以拆分倍角得到半角。易漏证旋转后线段相等，错找对应边角。未证明两角相加等于半角，直接使用等量关系。图形复杂时分不清待证线段，推理缺少角度代换步骤，无依据判定线段相等造成失分。 77．四边形中，，面积为且的长为，则的面积为_________．                 78．如图，正方形的边长为4，点E，F分别在上，若，且，则的长为______． 79．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠EAF=45°， （1）线段BE，EF，DF之间的关系是____________ （2）若正方形的边长为4，DF=2BE，则EF=______________ 80．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务：如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 题型17 全等证明常见模型—k字型 81．如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，连接，要求的面积，则只需知道（　　） A．的长 B．的长 C．的长 D．的面积 82．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； 【问题提出】（2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 83．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2），即“一线三等角”模型和“K字”模型． （1）已知，，请在上图2中选择其中一个模型进行证明，． 【模型应用】 （2）如图3，正方形中，，，求的面积（提示：延长，过C作延长线的垂线，垂足为F），请在答题卡对应的图中画出辅助线并完成解答． （3）如图4，四边形中，，，，，，，求的面积． 84．通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：    【模型呈现】 （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：，． 【模型应用】 （2）如图2，，，，于点于点H，于点P，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． 【深入探究】 （3）如图3，，，，连接，且于点与直线交于点G． ①求证：； ②若，，则的面积为________． 85．通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．求证：，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题：                        图1 【模型应用】（2）如图2，且，且，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为______． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点．                    图3 题型18 全等三角形的判定与性质综合（压轴） 86．如图，已知，，，点，分别是，边上的动点，满足，连接，，则取得最小值时，线段的长为（    ）． A． B． C． D． 87．如图，在中，高和交于点，且，下列结论：①；②；③；④若于点，则．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 88．如图，在和中，，，，，连接，交于点，与相交于，与相交于，连接．则下列结论中：①；②；③；④．正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 89．如图，在中，是边上的高，．连接，交的延长线于点E，连接．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 90．如图，中，，是边的中线，平分，，与相交于点．下列结论一定成立的是（   ） ①与的面积相等；②；③；④ A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 题型19 全等三角形辅助线添加问题（压轴） 91．如图，在中，是边上的中线，设，，若a，b满足，则的取值范围是________． 92．如图，在四边形中，连接、，于点．若，则的长为___________． 93．如图，在中，平分于点P．已知阴影部分的面积为，求点A到所在直线的最短距离________． 94．如图，四边形中，，，，，，，则四边形的面积为______． 95．如图，在四边形中，，，分别是，上的点，连接，，，若，则的长为______． 题型20 全等三角形的新定义问题（压轴） 96．（1）理解定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 如图1，在中，，，． ①若是上一点，，则与______偏等积三角形（填“是”或“不是”）； ②若为上一点，当的长为______时，与是偏等积三角形； （2）运用定义：如图2，为上一点，与是偏等积三角形，，，且线段的长为偶数，则的长为______； （3）拓展加深： ①如图3，，，． 求证：与是偏等积三角形； ②如图4，与是偏等积三角形，，，求证：． 97．定义：如图1，A，B为直线l同侧的两点，作点A关于直线l对称的点，连接，连接交直线l于点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”． (1)由“等角点”的定义可知：如图1，点A和点关于直线l对称， ∴． ∵， ∴∠______＝∠______， 可得若满足∠______＝∠______，则点P为点A，B关于直线l的“等角点”． (2)如图2，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AB＝AC，AD＝AE，然后将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，连接BD，CE，得到图3，试写出BD与CE的数量关系，并说明理由． (3)在（2）的条件下，延长CE交BA的延长线于点N，延长BD至点M，使DM＝EN，连接AM，得到图4，求证：点A为点C，M关于直线BN的“等角点”． 98．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试 （1）如图，在中，，，为上一点，当的长为_____时，与为偏等积三角形； 理解运用 （2）如图，与为偏等积三角形，点在上，AB=2，AC=4，且线段的长度为正整数，过点作，交的延长线于点，求的长； 综合应用 （3）如图，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，为的中点．试探究线段与的数量关系，并说明理由． 99．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫作积等三角形． (1)【初步尝试】如图，在中，，，，，点P为上一点，当_____时，与为积等三角形． (2)【理解运用】如图，与为积等三角形，若，，且线段长为正偶数，求AD的长． (3)【综合应用】如图，在中，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接EG，求证：和为积等三角形． 100．新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，，为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，在中，为边上一点，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 1．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，，，要根据“”证明则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 3．如图，点、在线段上，，，下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 4．在综合实践课上，小华先画了一个，然后利用尺规作出了，且．如图是他的作图过程，则可判定的依据是（   ） A． B． C． D． 5．如图，，垂足为C，A是上一点，且．若，，则的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．5.5 6．如图，在中，，是中线，于点，于点，则图中全等三角形的对数（   ） A． B． C． D． 7．已知中，，，则中线的长可以是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．如图，，，垂足分别为B，E，，相交于点F，且．若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．在与中，下列条件能判断与全等的个数是（　　） ①，，；②，，；③，，；④，，． A． B． C． D． 10．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离，分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（    ） A． B． C． D． 11．如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，要使，只需添加一个条件，则这个条件可以是____________． 12．如图，于点，，，射线于点，点在线段上移动，点在射线上随着点移动，且始终保持，当________时，才能使与全等． 13．如图，在中，平分，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，已知，则的度数为____________． 14．如图，，，若，，则的长是______． 15．如图，在中，已知与的面积相等，如果，那么的取值范围是________． 16．如图，在四边形中，分别是上的点，且，则图中线段之间的数量关系为 _____________． 17．如图，的面积为．垂直于的平分线于点P．则的面积是______． 18．把的中线延长到点E，使，连接．如果，的周长比的周长大2，那么___． 19．如图，在四边形中，、为对角线．且，，于点．若，，则的长度为____． 20．如图，在四边形中，平分，于点D，，，延长、交于点，则的值为__________，面积的最大值为__________． 21．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，．求证：． 22．如图，，，，是依次排列在一条直线上的四点，，，且． (1)求证； (2)若，求的长． 23．（1）已知：如图①，在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．求证：． （2）如图②，将（）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意钝角，请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 24．如图，在中，，于点，，平分交于点的延长线交于点．求证： (1)； (2)； (3)． 25．如图，是的高线，交于点F，且． (1)求证：； (2)若，求的面积． 26．如图，的两条高交于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 27．如图，点，，，在同一直线上，，，若__________，则． 请从①；②；③这个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并加以证明． 28．如图，，垂足分别为，连接． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 29．【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是_____． A．       B．        C．        D． （2）求得的取值范围是_____． A．        B．        C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”和“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于、交于，且．求证：． 30．【探究】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为__________． A．    B． C． D． 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 全等三角形的判定 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 用SAS证明三角形全等 题型2 全等的性质与SAS综合 题型3 用ASA证明三角形全等 题型4 全等的性质与ASA综合 题型5 用AAS证明三角形全等 题型6 全等的性质与AAS综合 题型7 用SSS证明三角形全等 题型8 全等的性质与SSS综合 题型9 用HL证明三角形全等 题型10 全等的性质与HL综合 题型11 灵活选用判定方法证全等 题型12 全等证明常见模型—倍长中线 题型13全等证明常见模型—一线三等角 题型14 全等证明常见模型—手拉手 题型15 全等证明常见模型—旋转 题型16 全等证明常见模型—半角 题型17 全等证明常见模型—k字型 题型18 全等三角形的判定与性质综合（压轴） 题型19 全等三角形辅助线添加问题（压轴） 题型20 全等三角形的新定义问题（压轴） 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 全等三角形的判定 倍长中线模型 一线三等角模型 手拉手模型 1.掌握 SSS、SAS、ASA、AAS 判定定理，明确 AAA、SSA 无法证明三角形全等； 2.能从图形中找出公共边、公共角、对顶角等隐含相等边角条件； 3.可根据题干给出的边、角条件，合理选用判定定理完成证明； 4.规范书写几何证明步骤，理清因果逻辑，做到推理有据不跳步； 5.能结合平移、旋转、折叠图形分析，提升识图与分类解题能力。 学习重点：熟记 SSS、SAS、ASA、AAS 判定定理，识别图形隐含条件，规范书写全等证明步骤。 学习难点：根据现有边角条件匹配判定方法，复杂图形准确找出对应边、对应角进行推理。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 全等三角形的判定—SAS 全等三角形判定1——“边角边” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 即时即练 1．如图，点，在上，且，，，则，其依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据平行线的性质得出，进而即可证明． 【详解】证明：∵ ∴ 在中， ∴． 故选：A. 2．如图，已知，，要使，需添加一个条件可以依据得到，这个条件可以是______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法解答即可，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 【详解】解：依据得到，添加，理由： ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， 故答案为：． 3．如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)6 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质； （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，即可解决问题； 【详解】（1）证明：在与中， ， ． （2）解：由（1）可知， ， ． 知识点02 全等三角形的判定—ASA 全等三角形判定2——“角边角” 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 即时即练 4．如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，根据平行线的性质证明是解题的关键． （1）由，得，然后利用证明即可； （2）首先求出，根据全等三角形的性质得，则． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中 ∴； （2）解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 5．如图，点D在上，点E在上，，． (1)求证：； (2)可以通过_______变换得到（填“平移”或“轴对称”或“旋转”）． 【答案】(1)见解析 (2)轴对称 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）利用证明即可； （2）观察图形可知，可以通过轴对称变换得到，作答即可． 【详解】（1）解：在和中， ， ∴； （2）观察图形可知，可以通过轴对称变换得到， 故答案为：轴对称． 6．如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在与中 ， ∴． (2)4 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，根据平行线的性质证明是解题的关键． （1）由，得，而，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得，则，即可求得． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 知识点03 全等三角形的判定—AAS 全等三角形判定3——“角角边” 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 即时即练 7．如图，在中，于点，于点，交于点，且． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，推导出，并且适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由于点于点，交于点，得，则，而，即可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，则，所以，求得，则． 【详解】（1）证明：∵，， ， ， 在和中， ， ∴． （2）解：由（1）得， ， ， ，，， ， ， ， ∴的长为5． 8．如图，点C、E、F、B在同一直线上，且，给出下列信息：①；②；③．请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是______，结论是______（只要填写序号），并说明理由． 【答案】①③；②或②③；① 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解决本题的关键．根据全等三角形的判定选择相应的条件与结论并证明即可． 【详解】解：选条件①③，结论②，理由如下： ∵， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 选条件②③，结论①，理由如下： ∵， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：①③；②或②③；①． 9．如图，中，点是的中点，过点作，连接并延长交于点，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：是的中点， ， ∵， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用即可证明； （2）结合（1）利用线段的和差即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：， ， ， ． 知识点04 全等三角形的判定—SSS 全等三角形判定4——“边边边” 三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 即时即练 10．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定； （1）三边相等的两个三角形全等，由得即，与就具备了全等的条件； （2）全等三角形的对应角相等，由得到，这两个角是一组同位角，同位角相等两直线平行. 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在与中 ∴. （2）（2）证明：∵， ∴， ∴． 11．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，，，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）求出，根据推出； （2）由（1）全等三角形的性质可得，即可证明． 【详解】（1）∵ ∴， ∵，， ∴； （2）由（1） ∴ ∴． 12．如图，点、、、在同一条直线上，，， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵ ∴，即 ∵， ∴ (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键. （1）先证明，再结合已知条件可得结论； （2）证明，再结合三角形的内角和定理可得结论. 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴， ∵， ∴ 知识点05 全等三角形的判定—HL 斜边、直角边 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简称为“斜边、直角边”或“HL”. 如上图所示，在Rt△ABC与Rt△A’B’C’中，，已知 . 即时即练 13．如图，点E，F在线段上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，由，得到，由即可证明问题． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 14．如图，，相交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出是解题关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质求出，由直角三角形的性质求出，即可得出所求． 【详解】（1）证明：． 和是直角三角形， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ， ， ． 15．如图，在四边形中，，，，为的中点．将沿翻折，点恰好落在上的点处．求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，根据折叠可得，，，根据中点可得，根据全等三角形的判定和性质可证，，由此即可求解． 【详解】证明：将沿翻折，点恰好落在上的点处， ∴， ∴，，， ∴， 又， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 知识点06 灵活选用全等的判定方法 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 即时即练 16．在，，这三个条件中，选择其中两个作为条件，一个作为结论补充在下面的问题中，并完成解答．（只填序号） 问题：已知：如图，、相交于点O．且 ， ，求证： ．    【答案】①；②；（答案不唯一） 【分析】观察图形，对于和来说，是公共边，即，选①和②，可以通过来证明，即可作答． 【详解】解：已知：如图，、相交于点O．且，，求证． ∵，，， ∴．（答案不唯一） 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、是解题的关键． 17．如图，已知∠1＝∠2，AB＝AD，请添加一个条件，使△ABC≌△ADE，并加以证明． (1)你添加的条件是______（只需添加一个条件）； (2)写出证明过程． 【答案】(1)∠ACB=∠AED或AE=AC或∠D=∠B（任选一个即可）．． (2)证明见解析 【分析】由∠1=∠2，可证，然后结合已知条件，根据全等三角形判定定理AAS，SAS，ASA即可得出证明△ABC≌△ADE的条件．此题开放性较强，答案不唯一． 【详解】（1）解：添加的条件可以为：∠ACB=∠AED或AE=AC或∠D=∠B（任选一个即可）． （2）证明：∵ ∠2+∠BAE=∠BAE+∠1 ，即 又∵AB=AD， ∴添加：∠ACB=∠AED， 则△ABC≌△ADE（AAS）． 【点睛】本题主要考查学生对全等三角形的判定理解和掌握．解答此题的关键是判定方法确定添加的条件． 18．如图，点四点在同一条直线上，，若______，则．请从①；②；③；从三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】 解：选①，理由如下： ， ， 即． 在和中， ， ； 选②不能得到结论， 选③：理由如下： 在和中， ， . 【分析】本题考查的是添加条件证明三角形全等；分别添加三个条件中的1个，结合全等三角形的判定方法逐一分析即可. 【详解】略 题型1 用SAS证明三角形全等 1．如图，，，，则能通过全等证明出，所用的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可得，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ． 2．如图，在与中，，若利用“边角边”来判定，还需添加的一个直接条件为________． 【答案】 【详解】解：若添加时，则有： ， ∴，故符合题意． 3．如图，，，．求证：． 【答案】证明：， ，即， 在和中， ， ． 【分析】由，得到，结合已知条件，即可得证． 【详解】略 4．如图，E、F是四边形的对角线上的两点，，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：∵， ∴． ∵， ∴，即． ∵，，， ∴． (2)证明：∵， ∴． 【分析】（1）首先利用平行线的性质得出，然后由进而得出； 接下来根据即可判定． （2）根据即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 5．如图，，，，，相交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ． 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）由，，，利用，即可判定； （2）由，可得，继而求得，则可求得的度数． 【详解】（1）略 （2）解：设与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ． 题型2 全等的性质与SAS综合 6．如图，以的顶点A为圆心，以长为半径画弧，交边的延长线于点D．分别以点、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作法得，平分，再证明得到，接着利用平角的定义得到，所以，然后计算即可． 【详解】解：由作法得，平分， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．如图①为我们常见的马扎，马扎上层是可以折叠但不能伸缩的帆布，图②是马扎撑开后的侧面示意图，其中腿和的长度相等，是它们的中点，经测量，，那么马扎撑开后两个腿落地点，之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，根据线段中点的定义可得，则可利用证明，由全等三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵和的长度相等，是它们的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 8．如图，小明想测量池塘两岸上A、B两点的距离．他在平地上取一点C，使测量者能从C直线走到A和B两点，在平地上延长至点D，使，延长BC至点E，使，连接．若测得米，则A，B两点间的距离为________米． 【答案】 20 【分析】根据题意利用“边角边”证明与全等，再根据全等三角形对应边相等即可求解； 【详解】解：在和中， ， ， ， ， ． 9．如图，已知，垂足为点，，垂足为点，若，，则__________． 【答案】/90度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先结合，，，，证明，则，即，故． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，点是的中点，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：点是的中点， ． ， ． 又， ， ； (2) 【分析】（1）由点是的中点，可知，因为，根据平行线性质可得，结合条件，利用“边角边”证明全等即可； （2）由全等三角形对应角相等，再由平行线的性质即可求解题目． 【详解】（1）证明：略； （2）解：， ． ， ． 题型3 用ASA证明三角形全等 11．如图，为了测量点B到河正对面点A之间的距离，小明在与点B同侧的河岸上选择点C和点D，测得，（B，C，D三点共线），过点作，使得点A，C，E在同一直线上，得到，测得的长就是A，B两点之间的距离，这里判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂线的定义得到，利用对顶角的性质得到，根据“”的判定方法证明． 【详解】解：， ， ， 由题可得，， ． 12．如图，点，都在线段上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即． 在和中， ∵， ∴． 【分析】根据角边角的证明方法证明即可． 【详解】略 13．如图，点B、E、C、F在直线l上（C、F之间有一水坑），点A、D在l异侧，测得，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得，再根据即可证得结论； （2）结合（1）利用线段的和差即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴． 14．如图：、、、在一条直线上，，，，求证： (1)； (2)，． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质和全等三角形的判定，是解题的关键． （1）利用平行线的性质得出，，利用等式的性质可得，再根据证明即可； （2）利用全等三角形的性质即可得证． 【详解】（1）证明： 在和中 （2）证明：由（1）知： ，（全等三角形的对应边相等）． 15．已知：如图，，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． （1）根据直接证明两三角形全等，即可得证； （2）根据全等三角形的性质得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：在和中 ； （2）证明： ． 题型4 全等的性质与ASA综合 16．如图，已知，，，则图中长度与线段长度一定相等的线段是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明，得出，即可求解． 【详解】解：在中， ∴ ∴， 故选：B． 17．如图，在中，点为边上一点，，连接，过点作于点，且平分，连接，若的面积为1，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，先证明，进而求得，即可求得答案． 【详解】∵， ∴． ∵平分， ∴，． 在和中 ∴． ∴． ∴． 故选：D 18．如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则的面积为（   ） A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形． 延长相交于点F，证明，可得，再证明，可得，从而得到，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，延长相交于点F， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：B 19．已知：如图，于，于，于A，．若，则_______ ． 【答案】10 【分析】此题考查了三角形全等的判定与性质、直角三角形的性质与同角的余角相等等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解答此题的关键． 先根据直角三角形的性质、同角的余角相等得，再证明即可得解． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 故答案为：10． 20．如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，可证明，从而得到，即可求证； （2）根据，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：， ． 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）知， ， ，即． ， ， ． 题型5 用AAS证明三角形全等 21．如图，且，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质求出的度数，再求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴， ∴． 22．如图，已知，，与相交于点．求证：． 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，直接利用“”即可求证，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：在和中， ， ∴． 23．如图，点D在上，点E在上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质， （1）用直接证明全等即可； （2）根据全等得出，再根据线段和差计算得出结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：，， ， ， ． 24．如图，在四边形中，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及平行线的性质是解题的关键； （1）由平行线的性质可得，然后根据“”可判定三角形全等； （2）由可得，然后问题可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 25．如图，点，，在同一条直线上，在的同侧作．，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判定方法． （1）利用直接证明； （2）根据全等三角形的对应边相等即可证明． 【详解】（1）证明：∵．， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴． 题型6 全等的性质与AAS综合 26．如图，已知，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）根据平行线的性质可得，结合已知条件根据，即可证明 （2）根据得出，，根据线段的和差，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中 ∴ （2）解：∵ ∴， ∴ 27．如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则______cm． 【答案】2 【分析】求出，证明，利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． 28．如图，在中，是高和的交点，且，若，，则的长为______． 【答案】7 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 先根据证明，则可得，，进而可解答． 【详解】解：∵、是的高， ， ，， ， ∵在和中， ， ， ，， ∴， ． 故答案为：7． 29．如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为___________． 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识．作交延长线于点，证明得到，根据得到，即可求出． 【详解】解：如图，作交延长线于点． ∵，，， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴（负值已舍）． 故答案为：． 30．在中，，直线经过点，且于．于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）证明，可得，即可求证； （2）证明，可得，即可求证； （3）证明，可得，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型7 用SSS证明三角形全等 31．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，由作图可证，进而得到，说明的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据尺规作图的痕迹，判断对应的判定定理即可． 【详解】解：由作图可知：，， 在和中 ， ， 32．如图，，要使，只需添加的一个条件是_______．（填一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】已知，是和的公共边，即．结合全等三角形判定定理、，补充一组对应边相等或两边的夹角相等，即可证明． 【详解】解：由题意可知： 是两个三角形公共边， ， 又已知， 添加条件： 在和中： ， ； 添加条件： 在和中： ， ， 综上，可填：（答案不唯一）． 33．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．这种方法是通过判定得到，其中判定的依据是_____________． 【答案】三边分别相等的两个三角形全等（或）． 【分析】根据题意得出，，结合公共边，利用全等三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：由题意可知．因为角尺两边相同的刻度分别与点，重合， 所以． 在和中， 所以． 判定依据是三边分别相等的两个三角形全等． 34．如图，在四边形ABCD中，，E为的中点，连接，延长交的延长线于点F． (1)和全等吗？请说明理由． (2)若，试说明： 【答案】(1)解：，理由如下： ∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， 又∵， ∴； (2)由（1）可得，， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即． 【分析】（1）根据可得，再根据E为的中点可得，即可通过判定两个三角形全等； （2）由（1）可得，，，再根据可以得到，利用可以得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的有关判定方法． 35．如图，在中，点是边上的一点，点在边的延长线上，且． (1)①尺规作图：在上方作，使得． （要求：不写作法，保留作图痕迹）． ②尺规作图中，判定的依据是__________________． （填：）． (2)在（1）的条件下，连接与全等吗？请说明理由． 【答案】(1)①见解析；② (2)全等，理由见解析 【分析】（1）①分别以E为圆心，为半径，以C为圆心，为半径画弧，两弧交于点F即可； ②根据作图可知判定的依据是； （2）根据全等三角形的性质得到，，根据平行线的性质得到，即可证明． 【详解】（1）解：①如图，即为所求； ②由作图可知，，， ∵， ∴； （2）解：全等，理由如下： 如图， ， 在和中 题型8 全等的性质与SSS综合 36．按如下步骤作图：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图作线段，全等三角形的判定与性质，根据作图步骤得到线段相等是解题的关键．由作图知，进而可证明，根据全等三角形的性质即可得解． 【详解】解：由作图可知， ，，， ， ． 故选：B． 37．如图，已知，以点O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点E、F，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点D，画射线．若，则的度数为___________． 【答案】/28度 【分析】如图，连接，证明即可得到答案. 【详解】解：如图，连接，通过尺规作图可知， ， 又， ， ∴. 38．如图，在中，两点在上，且有．若，，则的度数为______． 【答案】/110度 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据“边边边”证明，根据对应角相等可得，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故答案为：． 39．如图，点B，E，C，F在同一直线上，． (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由，整理得，再结合，，即可证明； （2）由，得，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ， 即， 又∵，， ∴； （2）解：由（1）得， ∴． 40．（1）【旧题重现】《学习与评价》P19有这样一道习题： 如图①，、分别是和的、边上的中线，，，．求证：． 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． （2）【深入研究】 如图②，、分别是和的、边上的中线，，，．判断与是否仍然全等，并说明理由． 【答案】（1）①；②；③；④；（2）全等，理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握中点的运用，倍长中线的运用，全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据中点可得，运用“边边边”可证，可得，在运用“边角边”可证； （2）延长至E，使，连接，延长至，使，连接，可得，，可证，同理可证，由此即可求证． 【详解】（1）证明：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：①；②；③；④； （2）解：和仍然全等，理由如下： 如图，延长至E，使，连接，延长至，使，连接， ∵、分别是和的、边上的中线， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴，， 同理，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴． 题型9 用HL证明三角形全等 41．如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，利用判定方法“”证明和全等，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线． 故选：D． 42．如图，已知，，若用判定和全等，则需要添加的条件是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图示可知为公共边，若想用判定证明和全等，必须添加． 【详解】解：∵，， ∴， .，符合两直角三角形全等的判定定理，故该选项符合题意； .，，不是两直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意； .，不符合两直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意； .，，不是两直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了对全等三角形判定定理的理解和掌握，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 43．如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为______． 【答案】或/12或6 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分情况讨论对应顶点的位置关系是解题的关键． 因为两个直角三角形已有一组斜边相等故分两种情况：或即可得出． 【详解】解：∵，， ∴要使和全等，分两种情况： ①当时，， ②当时，． 故答案为或． 44．如图，，，，射线，点和分别在线段和射线上运动，且．当___________时，与全等． 【答案】3或4 【分析】本题考查证明三角形全等，掌握相关知识是解决问题的关键．因为且，所以若使与全等，只需当时， 此时，或当时，此时，据此解答即可． 【详解】解：， ， ， 若使与全等， 只需①当时， 此时， ②当时，此时， 故答案为：3或4． 45．如图，在中，是的中点，，，垂足分别是、，且. 求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，中点定义，垂线定义，由垂直定义可得，又是的中点，所以，然后通过“”证明全等即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 题型10 全等的性质与HL综合 46．如图，在中，，点在上，，交于点，的周长为，的周长为，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 连接，证出得出，设，得出，，即可解得． 【详解】解：连接， 设， ，， ， ， ， ， 的周长为12， ， 的周长为6， ， ， 解得：， ∴． 故选：A． 47．如图，长方形纸片中，，，M是上的点，且．将长方形纸片沿过点M的直线折叠，使点D落在边上的点P处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查长方形的折叠问题，解题的关键是看到隐藏条件，学会利用翻折不变性解决问题．连接，证明即可得到，即可求解． 【详解】解：连接， ∵长方形纸片中，，， ∴， ∵， ∴， 由折叠性质可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 48．如图，在四边形中，、为对角线．且，，于点．若，，则的长度为____． 【答案】1 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．过点A作交的延长线于点F，根据证明，得到，，再根据证明，得到，最后根据线段的和差即可求解． 【详解】解：过点A作交的延长线于点F， ， ， ， 在和中， ， ， ∴，， 在和中， ， ， ， ，，， ， ， ∵，， ， ， 故答案为：1． 49．如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以3厘米/秒沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E经过 _______________秒时，与全等． 【答案】0，4，12，16 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，分四种情况：当E在线段上，时，；当E在上，时，；当E在线段上，时，；当E在上，时，；分别利用三角形全等的性质进行求解即可，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ①当E在线段上，时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为（秒）； ②当E在上，时，， 则， ∴， 点E的运动时间为（秒）； ③当E在线段上，时， ∵， ∴， 这时E在A点未动，因此时间为0秒； ④当E在上，时，， 则， ∴， 点E的运动时间为（秒）． 综上所述，当点E经过0秒，或4秒，12秒，16秒时，与全等． 故答案为：0，4，12，16． 50．如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用， （1）由题所给条件可得，即得； （2）证明，结合（1）可得，则． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型11 灵活选用判定方法证全等 51．如图，点、、在同一直线上，，于，，要使，则只需添加一个适当的条件是_____．（只填一个即可） 【答案】（或） 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．根据已知推出，，则添加利用即可证明；或利用即可证明；或利用即可证明；选择一种即可． 【详解】解：，，， ， ， 若添加， 则； 若添加， 则； 若添加， 则； 故答案为：（或）． 【易错警示】 证明全等易混淆判定条件，误用 SSA、AAA 判定。审题不清，不会区分已知边、角类型，选错定理。忽略公共边、对顶角等隐含条件，缺少关键等量。不区分夹角与对角，SAS 错用非夹角，推理逻辑混乱，书写缺少必要步骤导致失分。 52．如图，点在上，．如果要根据“AAS”判定，应添加的条件是______（写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题需要根据 “AAS”（角角边）判定定理，结合已知条件，找出能使的添加条件． 【详解】∵ ∴ 即 根据 “AAS” 判定定理，两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 已知，若添加，则在和中： ∴ 【点睛】本题考查了三角形全等的 “AAS” 判定定理，掌握 “AAS” 判定定理是解题的关键． 53．如图，，，若要使，需添加一个条件，请从“条件：”，“条件：”，“条件：”中选择添加一个你认为正确的条件，并写出相应的证明过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，选择条件，可利用证明；选择条件，可利用证明，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：选择条件：，证明如下： ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 选择条件：，证明如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴ ∴． 54．请从①；②这两个条件中任意选择其中一个，补充在下面的横线上，并作答． 已知：如图，点在同一条直线上，且，_____________． 求证：． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】见解析 【分析】选①，可利用证明； 选②，可利用证明． 【详解】解：选①， 证明：因为， 所以， 又，， 所以； 选②， 证明：因为， 所以， 即， 又，， 所以．（选择其中一种即可） 【点睛】本题考查了两直线平行同位角相等，用证明三角形全等（），用（）证明三角形全等（或者），添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 55．如图，已知点、、、在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件，请添加一个你认为正确的条件并完成证明． 解：我添加的条件是________． 理由如下： 【答案】或或（答案不唯一）；证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．要判定，已知，，具备了两组边对应相等，故添加，利用可证全等．（也可添加其它条件）． 【详解】解：若添加条件：， ∵，， ∴； 若添加条件：， ∵，， ∴； 若添加条件：， 则， 即， ∵，， ∴． 题型12 全等证明常见模型—倍长中线 56．如图，在中，已知与的面积相等，如果，，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，构造一个新的三角形．根据三角形的三边关系就可以求解． 【详解】解：延长到E，使， ，已知与的面积相等， 为的底边的中线， ， 在和中 ， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ； 故选：B 【易错警示】 倍长中线易忘延长至等长线段，未标注相等线段直接证全等。分不清对顶角作为相等角条件，误用 SSA 证明三角形全等。求证线段关系时不会通过全等转化边，忽略构造平行线推导角度，证明步骤因果颠倒，缺少中线平分线段的基础依据。 57．如图，在长方形中，是中点，在边上，若，则（   ） A．3 B．2 C．1.5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的面积，全等三角形的性质和判定，延长，交于点G，构造，利用三角形中线的性质得出，进而求出，再由求出答案． 【详解】解：延长，交于点G， ∵在长方形中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 58．如图中，点为的中点，，，，则的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理逆定理等知识；延长至，使，连接CE，得到，证明，得到，进而证明，即可求出△ABC面积． 【详解】解：如图，延长至，使，连接CE， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ． 故答案为： 59．【问题原型】在数学活动课上，老师给出以下问题：如图1，是的中线，，求证：． 【解决问题】小聪同学想到这个问题可能与已学过的“大边对大角”有关，但小明同学随即提出疑问：题目所涉及的和并不在同一个三角形中，因此不能直接用“大边对大角”进行证明，小强同学由“是的中线”想到了一种思路：如图2，延长至E，使，连接，得到，易证，这样就将已知的不在同一个三角形中的两个角的大小关系转化为在同一个三角形中两个角的大小关系． 请根据小强同学的思路写出证明的完整过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 延长至E，使，连接，根据是中线得到，证明得到，可知，根据“大边对大角”得到，即可证明． 【详解】证明：延长至E，使，连接， ∵是中线， ∴ ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 60．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点E．使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是： ；（直接填结果，不用写出求解过程） (2)由第（1）问的方法得到启发，如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，试说明：； (3)如图3，．点D为的中点，判断线段与的关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)EF=2AD，EF⊥AD，见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、三角形的内角和定理等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得，即可根据求解即可； （2）延长至点F，使得，连接，则，根据全等三角形的判定和性质得出，，继续利用全等三角形的判定和性质即可证明； （3）延长交于点P，延长到M，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质证明即可． 【详解】（1）解：如图：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得． 故答案为：； （2）证明：如图，延长至点F，使得，连接，则． ∵E是中点， ∴， 在和中， ∴． ∴， ∵ ∴， 在和中， ∴． ∴， ∴； （3）解：． 理由：如图3，延长交于点P，延长到M，使得，连接． 由（1）可知， ∴ ， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ， 在和中， ∴， ∴ ， ， ， ， ， ． 题型13全等证明常见模型—一线三等角 61．“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的角的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．   　　   根据对材料的理解解决以下问题： (1)如图，，． ①求证：； ②猜想，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在中，点为上一点，，，四边形的周长为，的周长为，请求出的长． 【答案】(1)①见解析；②，见解析 (2) 【分析】（1）①根据已知可求得，，得到，证明；②由（1）可知，得到，从而得出； （2）首先证明，得到，，结合已知可得到，根据的周长为得到，得到，即可得出最后结果． 【详解】（1）解：①， ，， ， 在与中， ， ； ②猜想：， 理由：由（1）得：， ，， ； （2），且， ， 在和中， ， ， ，， 四边形的周长为， ， ， 又的周长为， ， ，， ， ， 即． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是正确寻找全等三角形． 【易错警示】 不会利用等角推导互余角相等，找错两组对应角。忽略直角、等角带来的等量代换，乱匹配三角形边角。未先说明角相等就直接证全等，易误用 SSA。复杂图形难分辨三组等角，漏掉公共角、平角条件，推理缺少依据导致证明出错。 62．通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：，． (2)如图2，，，，于点于点H，于点P，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． 【答案】(1)见解析； (2)50 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和（）综合． （1）证明，即可得证； （2）同（1）法得到，，分割法求出图形面积即可； 【详解】（1）解：证明：， ， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ∴． （2）类比（1）可知，，， ，，，， 则 ． 63．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 如图，已知，，过点作于点，过点作的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，且于，于．若，，则______． （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、之间具有怎样的数量关系？请证明这个数量关系． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则，，，进而可得；，代入数据，即可求解； （2）同（1）的方法证明即可； （3）同（1）的方法证明即可． 【详解】（1）解：，证明如下； ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∵，， ∴， 故答案为：． （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）． 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴． 64．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴， （2）解：，理由如下： ，， ， 又， ∴， ，， ， 即； （3）解：由（2）得且，， ∴， ∴ ， ∴，则， ∴． 65．（1）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】 在中，，，点D为射线上一动点（点D不与点B重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点D在线段上时，过点E作于F，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点M，点D在运动过程中，若，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）①；②或18 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，证明三角形全等、分类讨论是解题的关键． （1）由，得，利用即可证明； （2）①证明，则； ②过点E作交的延长线于点F，由①得，有；由面积关系得，设；分两种情况：当点M在线段上时；当点M在线段反向延长线上时；证明，则，从而利用建立关于x的方程，即可求解． 【详解】（1）证明：选择图1： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 选择图2：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， （2）①∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ②过点E作交的延长线于点F，如图； 由①得， ∴； ∴， ∴， ∴； 设； 当点M在线段上时，如图， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 当点M在线段反向延长线上时，如图， 同理得：， ∴； ∴，， ； ∵，， ∴， 解得：， ∴， 当点D在线段上的情况不存在． 综上，或18． 题型14 全等证明常见模型—手拉手 66．我们把有公共顶点且形状相同的两个三角形组成的图形称为“手拉手”图形．数学兴趣小组的几名同学对“手拉手”图形进行了探究． (1)初步探究：如图，与的顶点重合，，，，连接，他们通过测量发现在和绕点转动的过程中，，请你证明他们的结论； (2)大胆猜想：如图，在（）的条件下，连接，他们猜想的面积与的面积相等，请证明他们的猜想是正确的； (3)拓展延伸：如图，在（）的条件下，当时，延长交于点，，的面积为，求的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)他们的猜想正确，证明见解析； (3)． 【分析】（）由，得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （）过作于，过作交延长线于点，根据余角的性质得到，证明，根据性质得，然后由，，，即可得到结论； （）过作交的延长线于，根据余角的性质得到，证明，根据性质得，，再证明，则有，又，即，求出，再根据线段和差得出，从而求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）证明：过作于，过作交延长线于点，则， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴； （3）解：过作交的延长线于， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∴． 【易错警示】 容易忽略公共顶角，不会通过加减公共角推导等角，误用边角条件。认错拉手对应边，乱匹配三角形。直接默认线段相等缺少全等推导，复杂图形分不清两组等腰三角形，证明时缺少夹角相等关键步骤。 67．【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． 【问题初探】 （1）和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，当两个三角板如图1所示的位置摆放时，D、B，C在同一直线上，连接，请证明： 【类比探究】 （2）和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，连接，，，A到直线的距离为7，请求出的面积． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析；（3）24 【分析】本题考查了旋转性质，全等三角形的判定与性质，三角板中角度计算问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，则证明，即可作答． （2）与（1）同理证明，所以，；延长与交于点，所以，整理得，即； （3）过作交延长线于，过作交于，得出，结合，故，证明，因为点A到直线的距离为7，所以，，结合，得出，，故． 【详解】解：（1）∵和是两个都含有角的大小不同的直角三角板， ∴，，， ∴， ∴； （2），，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，； 延长与交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）过作交延长线于，过作交于， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点A到直线的距离为7， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 68．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造手拉手旋转型全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积． 解：延长线段到，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形的面积． (1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 ． (2)请你用上面学到的方法完成下题． 如图2，已知，，求五边形的面积． 【答案】(1)； (2)五边形的面积是． 【分析】（1）根据三角形的面积公式求得的面积，即可求解； （2）连接、，延长到，截取，证明，，根据三角形的面积公式求得的面积，即可得出的面积，进而求得四边形的面积． 【详解】（1）解：由题意可得， ，， 则的面积是：， 即四边形的面积为， 故答案为：； （2）连接、，延长到，截取， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， 的面积是：， 的面积是， 四边形的面积是， 五边形的面积是． 69．（1）如图1，和是等腰直角三角形，，，连接，，构建“手拉手”模型，可证明________；在此基础上，我们把如图2的画斜线部分称为“蝴蝶型”，可通过证明得到________； （2）如图3，和是等边三角形，，连接，，的延长线与相交于点．求的度数； （3）如图4，在和中，，，，，连接，．则直线与直线的夹角为________度． 【答案】（1），；（2）60度；（3）40 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质等知识，能够在图中找到全等三角形并证明是解题关键； （1）先通过证得，进而通过全等三角形性质可得到； （2）先证明，再证明可得，再根据三角形内角和定理可得； （3）方法同（2），需要先证，然后再根据全等三角形性质即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴，即， ∵和是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， 如图，与交点为，与交点为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）∵和是等边三角形， ， ，即， ， ， 设与相交于点，则， ； （3）延长交于点F，设交于点G， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 即直线与直线的夹角为； 故答案为：． 70．如图，为任意三角形，以边、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、，、相交于点． (1)试说明：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由和都是等边三角形得，，，则，即可根据全等三角形的判定定理“”证明； （2）由推导出，因为，所以． 【详解】（1）解：和都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ． （2）由（1）得， ， ， ． 【点睛】此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角是解题的关键． 题型15 全等证明常见模型—旋转 71．如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】过点A作于M，再过点D作边上的高，证明，可得，再用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作于M，再过点D作边上的高， 在中，，， ∴，， 由旋转的性质可得，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去）． 72．已知正方形的边长为3，点E在边上，，如图，若把线段绕点A旋转，使点E落在直线上的点F处，则的长为_______． 【答案】1或5 【分析】分点F在线段上或点F在线段的延长线上，分别画图解决问题． 【详解】解：在正方形中，，， 由旋转的性质得， 在与中， ， （）， ∵正方形的边长为3， 如图，当点F在线段上时， 如图，当点F在线段的延长线上时， 综上所述，的长为1或5， 故答案为：1或5． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，运用分类思想是解题的关键． 73．图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究． 【知识技能】 如图，在正方形中，，，E、F分别是边上的点，连接、且．将绕点B按逆时针方向旋转至，则点M在的延长线上，． (1)证明 (2)判断是否成立； 【答案】(1)证明见解析 (2)成立，详见解析 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据旋转的性质得出，，，然后证明即可； （2）根据全等三角形的性质，进行判断即可． 【详解】（1）证明：∵将绕点B按逆时针方向旋转至， ∴， ∴，，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：成立，理由如下， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴成立． 74．如图1，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，使得点C的对应点为点E，点A的对应点为点D，所在直线交所在直线于点F． (1)求证：； (2)如图2．若将绕点B顺时针方向旋转度，且，其它条件不变，如图2你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程：若不成立，请写出、与之间的关系，并说明理由． (3)当绕点B顺时针方向旋转角度满足，其它条件不变，请直接写出、与之间的关系为_____． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，，理由见解析 (3) 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质： （1）旋转得到，，证明，得到，根据，等量代换即可得出结论； （2）同（1）法，证明，得到，根据，等量代换即可得出结论； （3）同（1）法，证明，得到，根据，等量代换即可得出结论； 【详解】（1）证明：连接， ∵旋转， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）不成立，，理由如下： 连接， ∵旋转， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）连接， ∵旋转 ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 75．【猜想证明】 （1）在平面内，的直角顶点A放置在直线上，，，分别过B，C两点作直线的垂线，垂足分别为D，E． ①如图所示，旋转，当B，C两点在直线的同侧时．请直接写出______； ②如图，旋转，当B，C两点在直线的异侧时，点在A，E两点之间，猜想，，三条线段之间有怎样的数量关系，并证明你的结论； 【问题解决】 （2）如图，直线于点O，Q为直线上的任意一点．为直线上点右侧的一动点，连接，过点作，且，的长度为2，求的面积． 【答案】（1）①；②，见解析；（2）4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，需熟练掌握角角边的证明方法，由角角边的证明方法证明三角形全等是解决本题的关键． （1）①根据角角边的证明方法即可证明≌； ②根据角角边的证明方法证明与全等，由此得到，即可得证； （2）根据角角边的证明方法证明与全等，由此可得，再由边角边的证明方法证明与全等，由此可得，即可求解三角形的面积． 【详解】（1）①解：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴在与中，， ∴≌； 故答案为：； ②解：，理由如下： 直线l，直线， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ； （2）解：分别过、两点作直线的垂线，垂足分别为A、， 直线l，直线， ， ，， 在和中， 由， ， ， 直线， ，即， ， ，即， ， ，， 在和中， 由， ， ， ， ． 即的面积是4． 题型16 全等证明常见模型—半角（求值题型可用勾股定理） 76．如图，点分别在正方形的边上，且．把绕点顺时针旋转得到．若，则的长度为____________． 【答案】5 【分析】本题考查三角形全等和旋转问题，熟练掌握全等三角形的判定与性质，旋转的性质是解题的关键，根据旋转的性质可得到，再根据题意易证，得到，从而可得到的长度． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 【易错警示】 不会通过截长补短或旋转构造全等，难以拆分倍角得到半角。易漏证旋转后线段相等，错找对应边角。未证明两角相加等于半角，直接使用等量关系。图形复杂时分不清待证线段，推理缺少角度代换步骤，无依据判定线段相等造成失分。 77．四边形中，，面积为且的长为，则的面积为_________．                 【答案】 【分析】过点作于，过点作交的延长线于点，证明是等腰直角三角形，得出，再根据证明得出，即可求解． 【详解】解：过点作于，过点作交的延长线于点，   的面积为且， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 78．如图，正方形的边长为4，点E，F分别在上，若，且，则的长为______． 【答案】/ 【分析】延长至点，使，连接，，分别证明：和，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：延长至点，使，连接，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， 则：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及勾股定理．通过添加辅助线，证明三角形全等，是解题的关键．本题考查半角模型，遇到半角模型，通常经过构造全等三角形进行解题． 79．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠EAF=45°， （1）线段BE，EF，DF之间的关系是____________ （2）若正方形的边长为4，DF=2BE，则EF=______________ 【答案】 / 【分析】（1）延长到M，使，证明，得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可求解． （2）设，则，由（1）得，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）延长到M，使， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴设，则， 由（1）得， 在中，， ∴， 解得（舍去），． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键． 80．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务：如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】成立，见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：成立． 证明：将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ，， ， ， ． 题型17 全等证明常见模型—k字型 81．如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，连接，要求的面积，则只需知道（　　） A．的长 B．的长 C．的长 D．的面积 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，过点A作于点E，过点D作，交的延长线于点F，证明，，得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点A作于点E，过点D作，交的延长线于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 的面积为：． 故选：A． 82．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； 【问题提出】（2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的判定得出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴； （2）解：，理由如下： ，， ， ， 又， ∴， ，， ， 即． 83．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2），即“一线三等角”模型和“K字”模型． （1）已知，，请在上图2中选择其中一个模型进行证明，． 【模型应用】 （2）如图3，正方形中，，，求的面积（提示：延长，过C作延长线的垂线，垂足为F），请在答题卡对应的图中画出辅助线并完成解答． （3）如图4，四边形中，，，，，，，求的面积． 【答案】（1）证明见解析（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解答关键是在题目应用全等模型进行证明． （1）应用证明三角形全等即可； （2）过C作延长线的垂线，垂足为F，证明，得到，求的面积即可； （3）分别过C和E作延长线的垂线、，垂足分别为G、H，证明，得到边上的高为1，求的面积即可； 本题考查了全等三角形的性质和判定，解答关键是在题目应用全等模型进行证明． （1）应用证明三角形全等即可； （2）过C作延长线的垂线，垂足为F，证明，得到，求的面积即可； （3）分别过C和E作延长线的垂线、，垂足分别为G、H，证明，得到边上的高为1，求的面积即可； 【详解】证：（1）选第一个图形可证 ∵ ∴， ∴， 在和中 ∴； 选第二个图形可证 ∵ ∴， ∴， 在和中 ∴； （2）过C作延长线的垂线，垂足为F， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即边上的高为4， ∴． （3）分别过C和E作延长线的垂线、，垂足分别为为G、H， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是长方形， ∴， ∴， ∴，即边上的高为1， ∴． 84．通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：    【模型呈现】 （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：，． 【模型应用】 （2）如图2，，，，于点于点H，于点P，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． 【深入探究】 （3）如图3，，，，连接，且于点与直线交于点G． ①求证：； ②若，，则的面积为________． 【答案】（1）见解析；（2）50；（3）①见解析，②40 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质： （1）证明，即可得证； （2）同（1）法得到，，分割法求出图形面积即可； （3）①过点作于，过点作交的延长线于，易证，，得到，，再证明，即可得出结论； ②根据全等三角形的性质，求出的长，进而利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：（1）证明：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ． （2）由模型呈现可知，，， ，，，， 则 ． （3）①过点作于，过点作交的延长线于．    由【模型呈现】可知，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ． ②由①可知，，， ， ， ， ， 由①得 ， ， ， ， ． 85．通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．求证：，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题：                        图1 【模型应用】（2）如图2，且，且，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为______． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点．                    图3 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形性质，准确理解题意是解题的关键． （1）利用全等三角形的性质解答即可； （2）由“K字”模型可知，，推出，推出，再根据图中面积进行计算即可； （3）作于点，于点，证明，则，即可得出结论． 【详解】解：（1），，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）由“K字”模型可知，， ， ， 图中实线所围成的图形的面积 梯形的面积 ； 故答案为：． （3）作于点，于点， 由“K字”模型可知，， ， 同理，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即点是的中点． 题型18 全等三角形的判定与性质综合（压轴） 86．如图，已知，，，点，分别是，边上的动点，满足，连接，，则取得最小值时，线段的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图：过点A作且，连接交于，证明可得，从而将转化为，根据两点之间线段最短，当F、D、C三点共线时，取得最小值．易证，再利用全等三角形的性质以及线段的运算即可解答． 【详解】解：如图：过点A作且（点F在下方），连接交于， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当F、D、C三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在和中， ， ∴， ∴， ∴取得最小值时，线段的长为． 87．如图，在中，高和交于点，且，下列结论：①；②；③；④若于点，则．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据同角的余角相等可证，又因为，可得；利用可证，根据全等三角形的性质可证，证明，根据全等三角形的性质可证，根据可证结论成立；根据全等三角形的性质可证，根据可知，；过点作，可知四边形是矩形，证明，根据全等三角形的性质可证，，根据可证结论成立． 【详解】解：，， ， ，， ， 又， ， 故①正确； ， ， ， ， ， ， ，， 在和中，， ， ， ， 且， ， 在和中，， ， ， 故②正确； 由②可知， ， 由②可知， ， ， ， ， ， 故③不成立； 如下图所示，过点作， 则四边形是矩形， 由②可知， ， ， 在和中，， ， ，， 四边形是正方形， ， 由②可知， ， ， ； 综上所述，结论正确的有①②④． 88．如图，在和中，，，，，连接，交于点，与相交于，与相交于，连接．则下列结论中：①；②；③；④．正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由证明得出，则①②正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得，得出，则③正确；作于，于，则，由证明，得出，由角平分线的判定得出平分，假设，证明，可得到，从而得到，与矛盾，则④错误． 【详解】解：， ∴，即， 在和中， ， ，则①正确； ，，，则②正确； 由三角形的外角性质得：， ，则③正确； 如图，作于，于，则， 在和中， ， ， ，， 平分，即， ， ∴， 假设， ， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，即，与矛盾， 则假设不成立，则④错误； 综上，正确的结论有①②③． 89．如图，在中，是边上的高，．连接，交的延长线于点E，连接．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】先证即可判断①，利用及三角形内角和定理与对顶角即可判断②，点F作于点M，过点G作交的延长线于点N，证明，得出，同理得到，从而得出，证明，从而得到，即可判断③④，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，故①正确， ∵， ∴， 如图，记交于点，的交点为， ∵， ∴， ∴，故②正确， 过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N， ， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 同理， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故③正确，④正确． 90．如图，中，，是边的中线，平分，，与相交于点．下列结论一定成立的是（   ） ①与的面积相等；②；③；④ A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】利用和三角形面积公式可对进行判断；利用等角的余角相等可对进行判断；根据和的大小关系和全等三角形的判定方法可对进行判断；由于，，则根据三角形外角性质可对进行判断． 【详解】解：，是边的中线，． ，， ，所以成立； ， ． ，， ，所以成立； ， 错误，所以不成立； 平分， ． ，， ， ，所以成立． 故选：D. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法. 题型19 全等三角形辅助线添加问题（压轴） 91．如图，在中，是边上的中线，设，，若a，b满足，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】已知等式变形后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出a与b的值，即可求出的取值范围． 【详解】解：已知等式整理得：， 即， ∵， ∴ ∴， 解得：， ∴， 延长到E，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中，, ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了配方法的应用，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 92．如图，在四边形中，连接、，于点．若，则的长为___________． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，过点作，交延长线于点，先证明，再证明，利用列出等式求解即可． 【详解】解：过点作，交延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， 解得：． 故答案为：． 93．如图，在中，平分于点P．已知阴影部分的面积为，求点A到所在直线的最短距离________． 【答案】/ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形中线的性质，遇到角平分线和垂线，构造全等三角形是解题的关键． 延长交于，过作，证明，利用三角形的中线的性质可得，再利用面积公式求得即可求解． 【详解】解：延长交于，过作， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴阴影部分的面积， 解得， 又，解得， 点A到所在直线的最短距离． 故答案为：． 94．如图，四边形中，，，，，，，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线构造“三垂直”全等模型． 过点分别作，交直线于点，证明，则设，，则，则，求出，再由四边形的面积，然后整体代入求解即可． 【详解】解：过点分别作，交直线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形的面积， ∴四边形的面积 ， 故答案为：． 95．如图，在四边形中，，，分别是，上的点，连接，，，若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，通过延长线段构造全等三角形，将所求的线段转化到与已知线段、相关的线段上，进而求出的长度． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， ， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为． 题型20 全等三角形的新定义问题（压轴） 96．（1）理解定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 如图1，在中，，，． ①若是上一点，，则与______偏等积三角形（填“是”或“不是”）； ②若为上一点，当的长为______时，与是偏等积三角形； （2）运用定义：如图2，为上一点，与是偏等积三角形，，，且线段的长为偶数，则的长为______； （3）拓展加深： ①如图3，，，． 求证：与是偏等积三角形； ②如图4，与是偏等积三角形，，，求证：． 【答案】（1）①是；②3；（2）6；（3）见解析 【分析】本题考查三角形的中线，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，熟练掌握新定义，合理添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． （1）根据三角形的中线平分面积，结合新定义进行求解和判断即可； （2）过C作交的延长线于E，根据与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等，则有，再证明，得，再根据三角形的三边关系可知，进而可求解； （3）①先证明，再由，，说明与不全等，作于点F，交的延长线于点G，可证明得，即可证明与面积相等，即可解答． ②作，交的延长线于点，作于点，根据新定义，推出，证明，得到，进而得到． 【详解】解：（1）①∵点是上一点，且， 又∵， ∴， 即：为的中点， ∴为的中线， ∴， ∵， ∴不全等， ∴与是偏等积三角形； 故答案为：是； ②∵三角形的中线平分三角形的面积， ∴当为的中线时，与是偏等积三角形，此时； 故当时，与是偏等积三角形； 故答案为：3； （2）如图2，过C作交的延长线于E， 与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， 线段的长为偶数， ； （3）与是偏等积三角形． 理由：如图3， ， ， ， ， ， ，， 与不全等， 作于点F，交的延长线于点G，则， ， ， 在和中，， ， ， ， 与面积相等， 与是偏等积三角形． ②作，交的延长线于点，作于点， ∵与是偏等积三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 97．定义：如图1，A，B为直线l同侧的两点，作点A关于直线l对称的点，连接，连接交直线l于点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”． (1)由“等角点”的定义可知：如图1，点A和点关于直线l对称， ∴． ∵， ∴∠______＝∠______， 可得若满足∠______＝∠______，则点P为点A，B关于直线l的“等角点”． (2)如图2，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AB＝AC，AD＝AE，然后将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，连接BD，CE，得到图3，试写出BD与CE的数量关系，并说明理由． (3)在（2）的条件下，延长CE交BA的延长线于点N，延长BD至点M，使DM＝EN，连接AM，得到图4，求证：点A为点C，M关于直线BN的“等角点”． 【答案】(1)APC，BPD，APC，BPD； (2)BD=CE，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据等量代换直接得出结果，然后结合新定义求解即可； （2）由旋转的性质得出∠CAE=∠BAD，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）利用（2）的结论及各角之间的关系得出∠ADM=∠AEN，由全等三角形的判定和性质得出∆ADM≅△AEN，∠DAM=∠EAN，结合图形证明∠MAN=∠BAC，依据新定义即可证明． 【详解】（1）解：由“等角点”的定义可知：如图1，点A和点关于直线l对称， ∴∠APC=∠PC． ∵∠A′PC=∠BPD， ∴∠APC=∠BPD， 可得若满足∠APC=∠BPD，则点P为点A，B关于直线l的“等角点”； 故答案是：APC，BPD，APC，BPD； （2）BD=CE，理由如下： ∵∠DAE=∠BAC， ∴∠DAE＋∠CAD=∠BAC+∠CAD， ∴∠CAE=∠BAD， 在△CAE和△BAD中， ， ∴∆CAE≅△BAD(SAS) ∴BD=CE； （3）证明：由（2）得：∆CAE≅△BAD， ∴∠ADB=∠AEC， ∴180°–∠ADB=180°–∠AEC， ∴∠ADM=∠AEN， 在△ADM和△AEN中， ， ∴∆ADM≅△AEN(SAS)， ∴∠DAM=∠EAN， ∴∠DAM＋∠MAE=∠EAN+∠MAE， ∴∠MAN=∠DAE， ∵∠DAE=∠BAC， ∴∠MAN=∠BAC， ∴点A为点C，M关于直线BN的“等角点”． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，另外还考查了旋转的性质，理解题意，证明三角形全等是解题关键． 98．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试 （1）如图，在中，，，为上一点，当的长为_____时，与为偏等积三角形； 理解运用 （2）如图，与为偏等积三角形，点在上，AB=2，AC=4，且线段的长度为正整数，过点作，交的延长线于点，求的长； 综合应用 （3）如图，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，为的中点．试探究线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（）；（）；（），见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的中线性质，同角的补角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据“偏等积三角形”定义可得； （）根据“偏等积三角形”定义可得，然后证明，所以，，又，通过的长度为正整数，求得，从而求得；    （）作，交的延长线于， 证明，则，，又，所以，因为，，所以，证明，所以，因为，从而可得． 【详解】解：（）∵与为偏等积三角形， ∴当为中点时，， ∴， 故答案为：；     （）∵与为偏等积三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵的长度为正整数， ∴， ∴； （）， 理由如下： 如图，作，交的延长线于，   ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 99．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫作积等三角形． (1)【初步尝试】如图，在中，，，，，点P为上一点，当_____时，与为积等三角形． (2)【理解运用】如图，与为积等三角形，若，，且线段长为正偶数，求AD的长． (3)【综合应用】如图，在中，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接EG，求证：和为积等三角形． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）利用三角形中线的性质及积等三角形的定义即可解决问题； （2）过点C作，交的延长线于点E，证明，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）过点作，交延长线于点H，先证明，得到，依据三角形的面积公式可知，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可． 【详解】（1）解：如图1，中，     ∴； ∵与不全等，与为积等三角形， ∴ ∴ 故答案为：； （2）如图，过点C作，交的延长线于点E， ∵与为积等三角形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵线段长为正偶数 ∴. （3）如图，过点作，交的延长线于点H， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴ ∴ ∴ 在和中    ∴ ∴ ∵；     ∴ ∵是直角三角形，为钝角三角形， ∴和为不全等， ∴和为积等三角形． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了三角形的中线的性质，三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质，三角形的分类等知识．解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形解决问题． 100．新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，，为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，在中，为边上一点，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系等知识； （1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）延长至，使，连接证明，推出A，利用三角形的三边关系即可解决问题； 【详解】（1）解：过点作垂直于， ∵与是积等三角形， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，延长至，使，连接 ∵与为积等三角形， 在与中， ∴ ∴ 在中 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵为正整数， ∴或3； 1．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断． 【详解】解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即． 2．如图，，，，要根据“”证明则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用“”证明三角形全等，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知条件可知，两三角形是直角三角形，且有一条直角边相等，若用“”证明全等，需再有斜边对应相等，据此可解答． 【详解】解：如图，，，， 要根据“”证明， 需再有斜边对应相等， 即． 故选：D． 3．如图，点、在线段上，，，下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，在与中，，，所以结合全等三角形的判定方法逐项分析，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， A、添加，由，，，不能判定，故本选项符合题意； B、添加，可得到，由，，，可证明，故本选项不合题意； C、添加，由，，，可证明，故本选项不合题意； D、添加，由，，，可证明，故本选项不合题意； 故选：A． 4．在综合实践课上，小华先画了一个，然后利用尺规作出了，且．如图是他的作图过程，则可判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据作图过程，判断三角形全等的依据，由作图过程可知，，，即可解答． 【详解】解：根据作图过程可知，，，可知判定的依据是， 故选B． 5．如图，，垂足为C，A是上一点，且．若，，则的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．5.5 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：， ， 在和中： ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选：A． 6．如图，在中，，是中线，于点，于点，则图中全等三角形的对数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理．做题时要从已知条件结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找． 根据边边边定理证明，继而证明，进而可得. 【详解】解：∵，，， ∴． ∵，D是的中点， ∴． 在和中，， ∴． 在和中，， ∴． 综上所述：，，，共3对． 故选A． 7．已知中，，，则中线的长可以是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】通过延长中线构造全等三角形，将已知边转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求出中线的取值范围，即可选出正确答案． 【详解】解：延长至点，使，连接 ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ∵， 在中，由三角形三边关系得， 代入，得： ， 即， ∴． 只有选项A的在该范围内． 8．如图，，，垂足分别为B，E，，相交于点F，且．若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质和判定； 由垂直得，求出，证明，得到，，然后利用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 9．在与中，下列条件能判断与全等的个数是（　　） ①，，；②，，；③，，；④，，． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐一分析判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：①∵在与中，，，，是的对边，是的对边，符合判定定理， ∴，该选项条件能判断与全等； ②∵在与中，，，，是的对边，是的对边，符合判定定理， ∴，该选项条件能判断与全等； ③∵是中的对边，是中的对边，对应边不匹配，不符合全等三角形判定定理， ∴该选项条件不能判断与全等； ④∵是中的对边，是中的对边，对应边不匹配，不符合全等三角形判定定理， ∴该选项条件不能判断与全等； 综上，能判定全等的有个， 故选：． 10．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离，分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解题关键． 利用全等三角形判定，证得与全等，根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案． 【详解】解：， ， ，， ，， ，， 又， ， ，， ． 故选：C． 11．如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，要使，只需添加一个条件，则这个条件可以是____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理，已知一组边相等及一个角相等，再添加一个角相等，或者一条边相等即可求解． 【详解】解：， ， ， 若添加， 则； 若添加， 则； 若添加， 则； 故答案为：（答案不唯一） 12．如图，于点，，，射线于点，点在线段上移动，点在射线上随着点移动，且始终保持，当________时，才能使与全等． 【答案】2或4 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，正确分类、熟练掌握利用证明直角三角形全等的方法是关键． 分当时和当时两种情况解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ①∴当时， ∵，， ∴； ②当时， ∵，， ∴； 故答案为：2或4． 13．如图，在中，平分，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，已知，则的度数为____________． 【答案】/110度 【分析】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定及性质，掌握相关知识是解题的关键． 由平分得到，由作图可得，即可证明，得到，再根据邻补角即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， 由作图可得， 而， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．如图，，，若，，则的长是______． 【答案】5 【分析】根据平行线的性质得，结合已知条件可依据“”判定和全等得，由此得，则，再根据，得，据此即可得出的长． 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，理解平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即的长是 故答案为：． 15．如图，在中，已知与的面积相等，如果，那么的取值范围是________． 【答案】 【分析】由两三角形面积相等，得为的底边的中线，证明，得，根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边就可以求解． 【详解】解：延长到E，使， ，已知与的面积相等， 为的底边的中线， ， 在和中 ， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ． 16．如图，在四边形中，分别是上的点，且，则图中线段之间的数量关系为 _____________． 【答案】 【分析】将绕点顺时针旋转，则与重合，点的对应点为点，证明，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 如图所示，将绕点顺时针旋转，则与重合，点的对应点为点， ∴，即点共线， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 17．如图，的面积为．垂直于的平分线于点P．则的面积是______． 【答案】 【分析】如图所示，延长交于点，可证，得到分别为的中线，由三角形中线平分三角形面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵垂直于的平分线于点P， ∴，且， ∴， ∴，即点是的中点， ∴分别为的中线， ∴， ∵，， ∴． 18．把的中线延长到点E，使，连接．如果，的周长比的周长大2，那么___． 【答案】5 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据中线性质得，根据周长差可得，结合求出，再通过证明得出，进而可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大2， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ∵，，（对顶角相等）， ∴， ∴． 故答案为：5． 19．如图，在四边形中，、为对角线．且，，于点．若，，则的长度为____． 【答案】1 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．过点A作交的延长线于点F，根据证明，得到，，再根据证明，得到，最后根据线段的和差即可求解． 【详解】解：过点A作交的延长线于点F， ， ， ， 在和中， ， ， ∴，， 在和中， ， ， ， ，，， ， ， ∵，， ， ， 故答案为：1． 20．如图，在四边形中，平分，于点D，，，延长、交于点，则的值为__________，面积的最大值为__________． 【答案】 4 10 【分析】过C作于H，由角平分线定义得到，由垂直的定义得到，而，判定，推出，，得到，根据，即可求出；当的面积最大时，的面积最大，根据可求出面积的最大值，即可得到面积的最大值． 【详解】解：延长、交于E，过C作于H， ∵平分， ∴， ∵于点D， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴当的面积最大时，的面积最大， ∵， ∴； ∵的面积，， ∴面积的最大值， ∴面积的最大值为． 21．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】根据，得到，利用即可得证. 【详解】略 22．如图，，，，是依次排列在一条直线上的四点，，，且． (1)求证； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定与性质． （1）先由平行得到，再由即可证明； （2）可得，由得到，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，延长交于点， ∵，， ∴，， ∴ ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 23．（1）已知：如图①，在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．求证：． （2）如图②，将（）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意钝角，请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）结论成立，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质： （1）证明，可得到，，即可求证； （2）证明，可得，，即可解答． 【详解】（1）证明：∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴． （2）解：结论成立，证明如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 24．如图，在中，，于点，，平分交于点的延长线交于点．求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）由角平分线得到，再根据即可证明全等； （2）由全等得到．再根据互余关系得到，则，则； （3）由平行得到，再由即可证明全等． 【详解】（1）证明：平分， ． 在和中， ， ． （2）证明：∵ ． ，， ，， ， ． ； （3）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 25．如图，是的高线，交于点F，且． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质： （1）证明，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 26．如图，的两条高交于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）首先利用三角形的高线的性质证明 ，然后利用即可证明 ； （2）利用全等三角形的性质可以得到 、 的长度，然后利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明： 的两条高 ， 交于点 ， ， 即 ， 在 与 中， ； （2）解： ， ， ， ，， ， ， ． 27．如图，点，，，在同一直线上，，，若__________，则． 请从①；②；③这个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并加以证明． 【答案】或；证明见解析 【分析】根据平行线的性质可得，再已知，故再确定一对等角证明三角形全等，或者一对等边根据证明即可，注意不可以证明全等． 【详解】解：方法一：选择作为条件； 证明：， ． ， ，即． 在和中， ， ， ． 方法二：选择作为条件； 证明：， ， 在和中， ， ， ． 28．如图，，垂足分别为，连接． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义可得，由同角的余角相等可得，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，再结合四边形的面积计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即四边形的面积为10． 29．【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是_____． A．       B．        C．        D． （2）求得的取值范围是_____． A．        B．        C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”和“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于、交于，且．求证：． 【答案】（1）B；（2）A；（3）证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识点，熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． (1)根据，，推出和全等即可． (2)根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可． (3)延长到，使，连接，根据边角边证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】（1）是中线， ， 在和中， ； 故答案为：B； （2）由（1）知：， ，， 在中，，由三角形三边关系定理得：， ； 故答案为：A； （3）证明：如图2，延长到M，使，连接， 是中线， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ． 30．【探究】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为__________． A．    B． C． D． 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 【答案】（1）B；（2）；（3）见解析 【分析】（1）先利用三角形的中线的意义得出，再根据对顶角的性质得出，从而可证明； （2）先证明，根据全等三角形的性质可得出，再利用三角形三边关系求解即可； （3）先证明，从而可得，，再证明，从而可得，于是可得． 【详解】（1）解：因为是的中线， 所以， 延长至点E， 所以， 又， 所以， 故选：B； （2）解：延长至点，使，连接，如图， 则， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴的取值范围为； （3）证明：延长至，使，连接，如图： ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)，确定第三边的取值范围，灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）等知识点，解题关键是掌握上述知识点． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $